台形の面積計算
計算結果
面積
台形の面積計算は、2つの平行な辺と、その間の距離を受け取り、その図形が覆う面の広さを平方センチメートルで返します。台形は向かい合う1組の辺が平行な四角形で、その2本が底になり、あとはそこから決まります。式は2つの底の平均に高さを掛けたもので、平均を取る部分こそが理解する価値のあるところです。このページが隣のページたちより一般的である理由がそこにあります。台形の面積の求め方は、上底と下底を足して2で割り、高さを掛ける、という1行に尽きます。台形を1つ取り、同じものを写して半回転させ、斜めの辺の一方で貼り合わせると、底が2つの底を足したものになり、高さは変わらない平行四辺形が出てきます。台形の取り分はその半分で、これは2つの底の平均に高さを掛けたものと同じことを言っています。2つの底がたまたま等しいときは、平均を取っても何も変わらず、式は底×高さに縮みます。それが平行四辺形です。片方が0のときは、平均がもう片方の半分になり、式は三角形のものに縮みます。つまり台形は、独自の規則が要る変わった図形ではなく、一般的な場合そのもので、ほかの2つは両端でそれが姿を変えたものです。入力を始める前に知っておくと、意外なほど時間が節約できることが1つあります。どちらの底をどちらの欄に入れてもかまいません。式はほかの何よりも先に2つを足すので、長いほうの辺で立っている台形と、短いほうで立っている同じ台形は同じ答えになりますし、上底が下底より長くても誤りではありません。図形が上下逆さまになっているというだけです。気をつける必要があるのは高さという言葉のほうです。これは2つの底の間の垂直な距離で、斜めの辺のどちらの長さでもありません。三角形のページと同じ理由です。
2つの平行な辺とその間の距離から台形の面積を求める
| 上底（cm） | 下底（cm） | 高さ（cm） | 面積（cm²） |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
8つの台形と4つの列で、そのうち2行がこのページの存在理由です。4行目は平行四辺形の行で、底が2つとも8、高さ5なら40になり、平行四辺形のページが同じ図形に対して印字する数と同じです。この表とあちらの表はその行で出会います。5行目は三角形の行で、上底0、下底10、高さ4なら20になり、三角形のページに底10、高さ4を入れたときの数と同じです。この2行を並べて読むと、台形が一般的な場合で、ほかの図形がその両端だと分かります。1行目はこのページが読み込まれるときの組で、6行目はその鏡像です。上底12の下に下底4が来るのは長いほうの辺で立っている図形で、2つの入力を入れ替えても同じ56に届きます。試して、答えが変わらないのを見てください。7行目は小さな平行四辺形で、底が2つとも2、高さ3で、一般的な式が特別扱いなしに処理します。ここにある値はすべてページを組み立てるときに3つの入力からセンチメートルで再計算したもので、小数第4位は結果パネルが使うのと同じ小数第4位です。
公式
A = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- 2つの平行な辺の一方で、単位はセンチメートルです。どちらをaと呼びどちらをbと呼ぶかは関係ありません。2つは足し合わされるので、入れ替えても同じ答えになります
- b
- もう一方の平行な辺で、単位はセンチメートルです。aより長くても短くてもかまいません。上底が下底より長いのは、図形が逆さまになっているだけです
- h
- 2つの底の間の垂直な距離で、単位はセンチメートルです。どちらの底に対しても直角に測ったもので、斜めの辺に沿って測ったものではありません
- (a + b) ÷ 2
- 2つの底の平均で、この式の種明かしそのものです。台形の面積は、幅が2つの底の平均である長方形のように振る舞います
- 2
- 割る数であり、このページがほかの2つの図形を含んでいる理由です。底が等しいときは半分にすることと平均を取ることが打ち消し合って底×高さに戻り、片方の底が0のときは平均がもう片方の半分になって三角形の半分にする操作が現れます
- 面積
- 台形が囲む面の広さで、単位は平方センチメートルです。ドロップダウンが何を言っていても、常にこの単位です
- 小数第4位
- 表示の桁幅です。2つの底を足して半分にすることはセンチメートルの整数では正確なので、小数は入力自体が小数を運んでいるときにだけ現れます
台形の形をしていて、面積で値段が付くもの、面積で覆うものすべてに使えます。屋根は典型例で、この形が職人の語彙に名前を持っている理由です。寄棟屋根、妻側から見た切妻、ドーマーの間の台形はどれもこの式で、屋根は平方メートルで発注します。土地も古くからの例です。平行な2辺とそうでない2辺を持つ区画は台形で、それより辺の多い区画はたいてい台形と三角形に分けられます。測量士が計算機のはるか前から不規則な地面を測ってきた方法です。その2つ以外でも、片端が広い形ならどこでも同じ図形が現れます。先細りの私道、分かれていく2本の道路の間の土地、吸音パネル、広がっていくダクトの一部、台形の天板、ダムの面、排水路。台形と関係のない理由でも知っておく価値があります。底が等しい場合が平行四辺形を、底が0の場合が三角形を与えるので、この1つの式が平行な1組を持つあらゆる四角形の面積を覆います。四角形の面積をこの1つだけ覚えておけば、あとの2つも、長方形もただで手に入ります。このページが一般的なほうだと言われるのはその意味です。
計算例
上底6、下底10、高さ4
- 2つの底を足す：6 + 10 = 16
- 半分にして平均の幅を出す：16 ÷ 2 = 8
- 高さを掛ける：8 × 4 = 32
このページが読み込まれるときの組です。底の順序が関係ないことを示す行でもあります。上に10、下に6を入れても、また32になります。ほかの何よりも先に2つが足されるので、この2つの欄は実は上と下ではなく、ただの2つの平行な辺です。
上底12、下底4、高さ7
- 2つの底を足す：12 + 4 = 16
- 半分にする：16 ÷ 2 = 8
- 高さを掛ける：8 × 7 = 56
上底が下底より長い台形で、これは誤りでもなく、問題になるような別の図形でもありません。長いほうの辺で立っているというだけです。ほかの何よりも先に2つの底が足されるので、上に4、下に12を入れても同じ56になります。両方試して、答えが変わらないのを見てください。
上底8、下底8、高さ5
- 2つの底を足す：8 + 8 = 16
- 半分にする：16 ÷ 2 = 8
- 高さを掛ける：8 × 5 = 40
平行四辺形の行です。2つの底が等しいと平均するものが残っておらず、式は平行四辺形のページと同じこと、つまり底×高さを行って40になります。半分にすることと平均を取ることがちょうど打ち消し合うので、このページはあちらと競合せず、あちらを含んでいます。
上底0、下底10、高さ4
- 2つの底を足す：0 + 10 = 10
- 半分にする：10 ÷ 2 = 5
- 高さを掛ける：5 × 4 = 20
三角形の行で、式のもう一方の端です。上底が0というのは図形が点まで絞られたということで、底10、高さ4の三角形になります。三角形のページはまさにその2つの数に対して20を出します。0と10の平均は5で、それは底の半分であり、三角形自身の半分にする操作が反対側から現れたものです。
上底1、下底9、高さ10
- 2つの底を足す：1 + 9 = 10
- 半分にする：10 ÷ 2 = 5
- 高さを掛ける：5 × 10 = 50
狭い帯がずっと広い帯の上に載った形で、先細りの区画や広がっていくダクトは実際こう見えます。1と9の平均は5で、5は0と10の平均でもあります。これは1つ上の行と同じ事実を、別の数の組から見たものです。ここでは小数は要りませんでしたし、丸めもしていません。
適用限界
このページが計算するのは面積だけで、それ以外は出しません。周長も、斜めの辺も、高さも、角も出しませんし、面積から逆に足りない測定を求めることもできません。面積だけでは台形は決まらないので、逆にたどり着く先がないからです。高さは2つの底の間の垂直な距離であって、斜めの辺の長さではありません。手元にある唯一の測定が斜めの縁に沿ったものなら、それはこの欄に入れる数ではありません。2つの底と高さは同じ単位でなければならず、答えはドロップダウンが何を言っていても常に平方センチメートルなので、インチで測った図形は平方センチメートルの値で返り、平方インチで読むには6.4516で割る必要があります。図形は平行な辺をちょうど1組だけ持つ必要があります。平行な辺のない一般の四角形は三角形に分ける必要があり、平行な辺を2組持つ図形は平行四辺形で、これは計算できますが専用のページがあります。曲面上に描かれた台形は対象外で、台形の面を持つ立体の体積も対象外です。
よくある質問
- どちらの底をどちらの欄に入れるかは関係あるか
- いいえ、それを使い始める前に知っておく価値があります。式はほかの何よりも先に2つを足すので、底6と底10はどちら向きに入れても同じ答えになります。上底が下底より長いことも誤りではありません。台形が逆さまに立っているというだけです。
- 高さとは正確には何か
- 2つの平行な辺の間の垂直な距離で、両方に対して直角に測ったものです。斜めの辺のどちらの長さでもありません。斜めの辺は、図形が傾いていれば必ず長くなります。三角形のページと同じ警告で、理由も同じです。斜めの辺を入れると、もっともらしく見えるだけの大きな面積が出てしまいます。台形の高さは、この垂直な距離のことです。
- このページが平行四辺形を覆うなら、平行四辺形のページはなぜあるのか
- 平行四辺形の面積が欲しい人のほとんどは、それを2つの底が等しい台形とは考えないからです。その一歩を踏ませるのは手間でしかありません。2つのページは完全に一致します。こちらに底を2つとも8、高さ5を入れると40になり、平行四辺形のページも同じ図形に対してそれを印字します。重なりは意図したもので、どちらの表にもその点に乗る行があります。
- 底の片方が0だったらどうなるか
- そのとき台形は点まで絞られて三角形になっており、答えは正しいものです。上底0、下底10、高さ4なら20になります。三角形のページが底10、高さ4に対して出すのと同じ20で、同じ図形だからです。0は空欄ではなく本物の値として扱われます。欄を空のままにするのは別のことで、結果はまったく表示されません。
- 面積から足りない底を求められるか
- 面積だけからは求められません。面積は台形を決めません。同じ面積で辺のまったく違う台形が無限にありますから、逆に解く先がありません。面積と高さと片方の底が分かっていれば、もう片方の底は式を並べ替えて出せますが、それはこのページが提供するものではなく、手で行う算術です。
- 平行な辺が2組ある図形でも使えるか
- 正しい数は出ます。平行な辺を2組持つ図形は平行四辺形で、この式は2つの底が等しいときに底×高さへ縮むことはすでに示しました。それこそが平行四辺形の場合です。ただしそうした図形には専用のページがあり、長方形を台形として扱うより、そちらを使うほうがふつうは分かりやすいです。
参考文献
- Trapezoid — 図形そのもの、底と脚という語彙、そしてこのページが計算する面積の式 — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — 台形の2つの底が等しくなったときに何になるか、そしてそこへ縮む底×高さの結果 — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — この図形が属する族と、その中で台形が平行四辺形や長方形に対してどこに座るか — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、台形の面積は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部