台形計算

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

平行な2辺（センチメートル）、つまり底辺です。どちらが長くてもかまいません。ページは2つの差から出発するので、どちらを上底と呼ぶかは気にしません。その平均(a + b) ÷ 2に高さを掛けたものが面積で、このページ全体がその式を軸に組み立てられています

c, d

平行でない2辺（センチメートル）、つまり脚です。この長さが図形の存在そのものを決めます。2つ合わせて底辺の差をまたげなければならないからです。等しい必要はなく、脚5と4の台形はごくふつうにあります。等しい場合を等脚台形と呼び、高さは脚の2乗から底辺の差の半分の2乗を引いた値の平方根になります

Δ

2つの底辺の差|b − a|（センチメートル）。2つの脚と2つの底辺が囲む三角形の底辺にあたり、3つの場合のどれに入るかを決める量です。脚がまたげるより小さいか、ちょうどの限界か、届かないほど大きいか。これが0のとき、つまり底辺が等しいときは平行四辺形になり、4辺では高さが決まらなくなるので、ページは答えずにエラーを告げます

x

底辺の差に沿って高さが落ちる位置（センチメートル）。差の一端から垂線の足までの距離です。辺c・dとΔが作る三角形に余弦定理を当てて求まり、ページは高さにたどり着くためだけに使います。0からΔの範囲の外に出ることもあり、それは片方の脚が短いほうの底辺の端を越えて外へ傾く場合です。それでも図形は台形のままで、計算も通ります

h

高さ（センチメートル）。2つの平行な底辺の間の垂直な距離で、面積の式が求めている数です。c² − x²の平方根として出て、小数第4位まで印字されます。差の平方根なので、脚が底辺の差をまたげない場合とは、根号の中が負になる場合のことです。ページが平方根に任せず先に三角不等式を確かめるのはそのためです

A, P

面積（平方センチメートル）と周長（センチメートル）。面積は底辺の平均かける高さで、これは2辺の和の半分かける高さと同じです。同じ高さの長方形の幅が2つの底辺の平均であれば、台形とその長方形は同じ地面を覆います。周長は4辺の合計で、高さが一切出てきません

手元にあるのが4つの辺であるときにこのページを使います。土地ではそれがふつうです。平行な2辺とそうでない2辺を持つ区画を、境界に沿って巻尺で測る場合、平行な辺も脚も測りやすいのに垂直な高さだけは測りにくいからです。区画を横切って歩を進めることになりますが、斜面や作物の中ではまさにそれができません。4辺だけが書かれた図面どおりに切ったパネルも同じで、ほかの誰かが指定した形を確かめるときにも使います。4辺を入力して、それがそもそも台形を表しているかを見てください。その確認のために見るのが表の7行目です。底辺10と4に脚4と2なら高さは0になります。差の6が2つの脚の合計にちょうど等しく、図形がぺたんと折り畳まれているからです。どちらかの脚をもう少し短くすると、ページは答えずにエラーを告げます。2つの底辺と高さはあるが脚がないときは台形の面積計算を使ってください。その組み合わせを直接受け取り、中間の段を飛ばします。2つの底辺が等しいときは平行四辺形の面積計算を使ってください。そのときの図形は平行四辺形で、このページの4辺では決まらないからです。短いほうの底辺が0のときは三角形の面積計算です。三角形は底辺が0の台形で、下の表の4行目はそうやって見つけた6-8-10の直角三角形、面積は24です

1. 上底4・下底10・脚5と5

   1. 底辺の差：10 − 4 = 6
   2. 脚が等しいので、それぞれが差の半分を受け持つ：6 ÷ 2 = 3
   3. 高さ：√(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. 底辺の平均：(4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. 面積：7 × 4 = 28
   6. 周長：4 + 10 + 5 + 5 = 24

   このページを開いたときの行で、手で確かめる行でもあります。5と3と4は3-4-5の三角形の変装だからです。脚5と底辺の差の半分3から、高さがちょうど4と出ます。この高さは、4辺から読み取れない唯一の量でもあり、それがこのページの要点です。同じ高さで幅が底辺の平均7の長方形と面積を比べてみてください。同じ28平方センチメートルになります。式がなぜ和を半分にするのかを、いちばんすっきり見せる比べ方です。

2. 上底7・下底10・脚5と4

   1. 底辺の差：10 − 7 = 3
   2. 脚が等しくないので、差は不均等に分かれる：(25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. 高さ：√(25 − 9) = √16 = 4
   4. 底辺の平均：(7 + 10) ÷ 2 = 8.5
   5. 面積：8.5 × 4 = 34
   6. 周長：7 + 10 + 5 + 4 = 26

   脚の長さが違う不等辺の台形で、高さは底辺の差の真ん中ではなく別の場所に立ちます。ここでは距離xが差の全体3に等しくなり、4センチメートルの脚が2つの底辺の右端の間で垂直に立っていることになります。脚が等しくないときはこうなります。高さはその脚自身の長さと同じになります。それでも高さはちょうど4なので、この行と1行目は高さが同じで面積が違い、28と34平方センチメートルになります。違うのは底辺だけです。台形の4辺がどれも働いている証拠で、同じ高さ4が2組の別の底辺に載っているのです。面積を決めるのは4辺がそろってのことで、高さだけではありません。

3. 上底0・下底10・脚6と8

   1. 底辺の差：10 − 0 = 10
   2. 脚が等しくない：(36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3.6
   3. 高さ：√(36 − 12.96) = √23.04 = 4.8
   4. 底辺の平均：(0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. 面積：5 × 4.8 = 24
   6. 周長：0 + 10 + 6 + 8 = 24

   台形の服を着た三角形です。片方の底辺が0なので図形は三角形に閉じ、ここにある数は6-8-10の直角三角形で、その面積24平方センチメートルは三角形の面積計算が出す答えと同じです。台形の式が三角形の式を内側に含んでいることも分かります。片方の底辺が0なら底辺の平均はもう片方の半分になり、それはまさに三角形の係数です。長さ0の辺を持つ図形の周長は残り3辺の合計で、ここでも24になります。これはこの数の偶然であって、規則ではありません。

4. 上底4・下底10・脚4と2

   1. 底辺の差：10 − 4 = 6
   2. 2つの脚の合計は4 + 2 = 6で、差にちょうど等しい
   3. 高さ：脚はちょうど差をまたげるだけなので、高さは0になる
   4. 底辺の平均：(4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. 面積：7 × 0 = 0
   6. 周長：4 + 10 + 4 + 2 = 20

   このページが受け付ける限界の行で、平方根を取る前に脚を確かめる理由でもあります。ここでは2つの脚の合計が底辺の差にちょうど等しいので、どちらも長いほうの底辺に沿って寝てしまい、2つの底辺は重なり、図形は何も囲みません。ページは拒否せず0と答えます。その4辺は本当に図形を表しているからです。平らな図形ですが。どちらかの脚を1センチメートル短くすると、そんな台形は存在しなくなります。それがエラーとして告げられる場合で、平方根の中の負の数は高さではないからです。

このページは台形の面積・周長・高さを4辺から求めるだけで、それ以外はしません。角度、対角線、中線の長さ、底辺に沿った高さの位置は出しません。どれも4辺から決まる量ですが、このページは報告しないだけで、とくに対角線は、このページが内部でやっているのと同じ三角形の計算をもう一度使えば出ます。逆算はしません。面積からその面積を生む辺へ戻る道はなく、与えられた面積を持つ台形の4辺の表し方は無数にあります。出力は入力がどの単位であってもセンチメートルと平方センチメートルです。ドロップダウンが各辺をセンチメートルに直してから計算するためです。このページは、平行な辺がちょうど1組ある台形で、底辺として入力した2辺がその平行な組であることを前提にしています。底辺と脚を入れ替えると、ページは別の図形の高さを計算し、エラーも出しません。底辺の差と組にして妥当な三角形を作る4つの数は、いつでも答えを生むからです。どちらの底辺も負になれない長さとして扱います。底辺が等しい場合は、答えずにエラーとして報告します。これは意図した挙動ですが、知っておく価値はあります。その場合の図形は平行四辺形で、高さは4辺では本当に決まらないので、数を返すページは数をでっち上げていることになります。3つの退化した場合のどれにいるのかは、エラーメッセージ以上には教えません。高さ0で折り畳まれた台形は答え、底辺の差をまたげない脚は拒否し、両者の違いは片方の脚の1センチメートルです。小数第4位はこの子類のほかの面積ページと共通の表示幅で、精度についての主張ではありません。1センチメートルまで測った辺は、高さを小数第4位より大きく動かします。ロスや切りしろや地面の凹凸は考えていないので、返る面積は記述されたとおりの図形の面積であって、発注する材料の量ではありません。

4辺から台形の面積を求めるにはどうするか

先に高さを求め、それから底辺を平均して掛けます。2つの底辺の差がΔで、その差と2つの脚が三角形を作り、台形の高さはその三角形の高さになります。底辺4と10に脚5と5なら、差は6、それぞれの脚が3ずつ受け持ち、高さは√(25 − 9) = 4、底辺の平均は7、面積は28平方センチメートルです。

4辺の組み合わせを拒否することがあるのはなぜか

ほとんどの4辺の組み合わせが台形を表さないからです。三角形の2つの短い辺が最も長い辺をまたげなければならないのとまったく同じように、2つの脚は底辺の差をまたげなければなりません。底辺10と4の差は6なので、脚4と2はぎりぎり届いて高さは0になりますが、脚3と2は6をまったくまたげず、そのような図形は存在しません。ページは平方根から負の数を返すかわりに、そう告げます。これが三角不等式そのものです。

2つの底辺が同じ長さだったらどうなるか

その図形は平行四辺形になり、4辺では決まらなくなります。辺が5、5、6、6は高さ5の6 × 5の長方形にも、高さがほとんどないほど倒した形にもなり、同じ4辺で面積が違います。このページはどちらかを選ぶのではなくエラーを返します。底辺と高さを受け取る平行四辺形の面積計算なら、その問いに直接答えます。

等脚台形とは何か、何が簡単になるのか

2つの脚が等しい台形です。底辺の差が2つの脚に等分に分かれるので、それぞれの脚と差の半分が直角三角形を作り、高さは√(脚² − (Δ ÷ 2)²)になります。底辺4と10で脚が等しい場合、Δは6、その半分は3、脚5なら√(25 − 9) = 4です。表の1行目がこの場合で、形は左右対称、2つの底角が等しく、2本の対角線も等しくなります。

三角形は台形の特別な場合か

片方の底辺が0のとき、計算の上ではそうなります。底辺の平均が残ったほうの底辺の半分になり、面積の式が底辺かける高さ割る2、つまり三角形の式に変わります。上底0・下底10に脚6と8を入れると、ページは24平方センチメートルを返し、これは三角形の面積計算が6-8-10の三角形に対して出す答えと同じです。三角形を台形に数えるかどうかは定義の問題ですが、式のほうは気にしません。

高さが4辺のどれでもないのはなぜか

台形において高さは辺ではないからです。2つの平行な底辺の間の垂直な距離で、境界ではなく図形の内側にあります。縁に沿って巻尺を回しても得られない唯一の量で、このページが役に立つのはそのためです。測れる4辺から高さを導きます。高さが短いほうの脚と等しくなるのは、その脚が両方の底辺に垂直に立っている退化した場合だけです。

• Trapezoid — 平行な辺が1組ある四辺形。このページが扱う図形で、底辺の平均を使う面積公式と、辺と高さの関係も載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — 2つの脚が等しい場合。底辺の差が等分に分かれ、高さは脚の2乗から差の半分の2乗を引いた値の平方根になる — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — 2つの脚と底辺の差が作る図形。与えられた4辺がそもそも台形を表すかどうかを決める三角不等式の出どころでもある — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——同通知の添付資料リストの第5項が『義務教育数学課程標準（2022年版）』にあたり、台形の認識と面積の計算は義務教育段階の数学課程の内容である。原文と学段の区分は同添付資料による — 中华人民共和国教育部