平行四辺形の面積計算
計算結果
面積
- 周長
- 22.0000 cm
平行四辺形計算ツールは、底辺と高さ、そして斜めの辺を1つ入力すると、面積と周長を返します。平行四辺形とは2組の対辺がそれぞれ平行な四角形のことで、長方形もひし形も正方形もその特別な場合です。長方形を横に押し倒した形が、一般の平行四辺形にあたります。平行四辺形の面積は幾何でもっとも簡単な式、底辺 × 高さで、これは長方形が使うのと同じ式です。ここは立ち止まる価値のある事実です。押し倒した長方形は元より明らかに狭くなっているのに、式は同じ面積だと言うからです。謎は、高さが斜めの辺ではないことで解けます。高さは底辺と向かい合う辺の間の垂直距離で、斜めに沿ってではなくまっすぐ上に測った長さであり、面積が実際に依存している数です。長方形を押し倒すと斜めの辺は長くなりますが垂直の高さは変わらないので、長方形と押し倒した双子の面積はまったく同じになります。斜めが効いてくるのは周長のほうで、このページが2つではなく3つの数を求める理由でもあります。底辺と高さは面積を決めますが、図形を押し倒す自由は残ります。押し倒すと周長は変わり、面積は変わりません。平行四辺形には同じ長さの辺が2本ずつ2組あるので、平行四辺形の周長はその2つの長さの和の2倍です。そしてその2つの長さとは底辺と斜めの辺であって、底辺と高さではありません。高さと斜めの辺は、長方形を除くすべての平行四辺形で別の数です。ここからこのページ唯一の拒否が生まれます。高さより短い斜めの辺はどんな平行四辺形も表しません。高さは斜めの辺に、それが底辺となす角の正弦を掛けたものだからです。底辺6、高さ4、斜めの辺1は、描くことのできない3つの数であり、ページは数を返さずにそう告げます。単位のドロップダウンが何であっても、すべてセンチメートルと平方センチメートルで扱い、入力が正確なら2つの出力も正確です。
底辺と高さと斜めの辺から決まる平行四辺形
| 底辺（cm） | 高さ（cm） | 斜めの辺（cm） | 面積（cm²） | 周長（cm） |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 4 | 5 | 24 | 22 |
| 3 | 4 | 5 | 12 | 16 |
| 12 | 5 | 13 | 60 | 50 |
| 10 | 1 | 10 | 10 | 40 |
| 2.5 | 2 | 3 | 5 | 11 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 4 |
| 100 | 1 | 1 | 100 | 202 |
| 5 | 0 | 3 | 0 | 16 |
平行四辺形が8つで、最初の行がこのページの読み込み時の値です。2行目は三角形のページと読み比べる行です。底辺3と高さ4でここは面積12、同じ底辺と高さの三角形は面積6で、対角線で切ると明らかな2対1の関係がそれです。4行目は長くて低いもので、底辺10、高さ1、斜めの辺10。ほとんど平らに潰れた図形で、面積は垂直の高さが支配し、周長は2つの辺の長さが支配して高さをほとんど気にしないことが、この表で一番はっきり見える場所です。7行目はそれをさらに押し進めます。底辺100、高さ1、斜めの辺1は長さ100センチメートル、高さ1センチメートルの薄片で、面積は100平方センチメートル、周長は202になります。6行目はこのページが許す境界で、斜めの辺が高さに等しく、角が直角になり図形は正方形です。8行目の最後は高さ0で、上の辺が下の辺に潰れています。面積は正直に0、周長はそれでも16のままです。4本の辺はすべてそこを歩いて回れるからです。図形が線に潰れた行で矛盾して見える2つの数は、結果パネルで出会う前に表で出会っておく価値のあるものです。ここにある数はすべて、ページのビルド時に3つの入力から計算し直したもので、単位はセンチメートル、このページにはπも平方根も出てこないのでどれも正確です。
公式
面積 = 底辺 × 高さ、周長 = 2 × (底辺 + 斜めの辺)
- 底辺
- 平行四辺形が乗っている2本の平行な辺のうち、片方の長さ（センチメートル）。2組ある平行な辺のどちらを底辺と呼んでもかまいません。大事なのは、選んだほうに対して垂直に高さを測ることです
- 高さ
- 底辺から向かい合う辺までの垂直距離（センチメートル）。斜めの辺に沿ってではなく、まっすぐ上に測った長さです。面積が依存している数はこれで、多くの人が斜めの辺と取り違えます。長方形でない平行四辺形では、この2つは必ず別の長さになります
- 斜めの辺
- 2本ある斜めの辺のうち片方の長さ（センチメートル）。面積はこれをまったく使わず、周長はこれなしでは出せません。周長は底辺の2倍にこの長さの2倍を足したものです。底辺となす角の正弦で高さを割った値にあたるので、高さ以上でなければなりません
- 面積
- 内側の広さ（平方センチメートル）で、底辺 × 高さ。長方形が使うのと同じ式です。同じ底辺と高さをもつ三角形のちょうど2倍で、それは参考表の2行目が示しています
- 周長
- まわりを一周する長さ（センチメートル）で、底辺の2倍に斜めの辺の2倍を足したもの。辺が2本ずつ等しいからです。高さはまったく登場しません。底辺と高さだけを求めるページがこの数を出せなかったのはそのためです
- センチメートルと平方センチメートル
- 2つの出力の単位で、ドロップダウンが何に設定されていても常にこれです。周長は長さ、面積は長さの2乗なので、この2つは比べられませんし、片方を2倍してももう片方は2倍になりません
- 小数点以下4桁
- 2つの出力を書くときの幅です。2桁ではなく4桁なのは、参考表は整数で動いていますがこのページは整数に限られておらず、ドロップダウン経由でメートル入力された底辺は小数で届くからです
大事なのは面積の式のほうで、それが長方形を含むすべての平行四辺形に共通の底辺 × 高さであることを知っておく価値があります。この式が本当に役に立つのは、斜めの図形が同じ底辺と高さのまっすぐな図形より小さいわけではないと示す場面です。傾いた柵で押し出された畑は面積を少しも失いません。目が報告する内容とは違います。ただし、地面に沿って測った辺しか手元にない区画の面積が要るなら注意してください。高さは垂直距離であって、巻尺から出てくる数であることはまれですし、斜めの辺では代用できません。周長のほうは同じ区画の2つの辺の長さが要り、そこがこのページが3つ目の数を求める場所です。拒否のほうは、偶然ではなく意識して出会っておく価値があります。高さより短い斜めの辺を入れると、その2つの数は互いに矛盾します。よくある原因は、底辺と斜めの辺は測ったのに垂直の高さを推測したり、もう片方の辺で代用したりしたことです。隣の三角形のページは同じ底辺と高さを使って面積を半分で返し、長方形のページは斜めの辺が高さに等しいときに同じ面積を返します。この2つが、このページが正しく動いているかを確かめる一番手早い検算です。
計算例
底辺6、高さ4、斜めの辺5
- 面積：6 × 4 = 24平方センチメートル
- 周長：2 × (6 + 5) = 22センチメートル
- 高さの4は周長に使われず、斜めの辺の5は面積に使われない
このページが読み込まれるときの入力で、3つの数がなぜ要るのかを見せる2つの計算です。面積は底辺と高さから、周長は底辺と斜めの辺から出て、どちらの出力も3つすべては使いません。図形は3-4-5の長方形を押し倒したもので、数がこれほど整っているのはそのためです。
底辺3、高さ4、斜めの辺5
- 面積：3 × 4 = 12平方センチメートル
- 周長：2 × (3 + 5) = 16センチメートル
- 12は、同じ底辺と高さの三角形の面積3 × 4 ÷ 2 = 6のちょうど2倍
2倍の関係が見える行です。平行四辺形を対角線で切ると、同じ底辺と同じ高さの三角形が2つできます。だから平行四辺形の面積は三角形のちょうど2倍で、12に対して6になります。三角形の式にある2分の1は、ここから逆向きに読んだものです。
底辺12、高さ5、斜めの辺13
- 面積：12 × 5 = 60平方センチメートル
- 周長：2 × (12 + 13) = 50センチメートル
- 5-12-13の三角形は2番目に小さい整数辺の直角三角形で、数が丸いのはそのため
長くて低い平行四辺形で、2つの出力が最も離れる行です。面積が60なのに対し周長は50で、両者は別の量を別の単位で測ったものであり、片方が必ず大きいという規則はないと教えてくれます。3つの欄に入っている5と12と13は直角三角形の辺で、傾きがちょうど垂直になる平行四辺形を作る一番きれいな方法です。
底辺1、高さ1、斜めの辺1
- 面積：1 × 1 = 1平方センチメートル
- 周長：2 × (1 + 1) = 4センチメートル
- 斜めの辺が高さに等しいので、角は90度で、図形は正方形になる
このページが拒否せずに許す境界です。斜めの辺が高さに等しいとき、角の正弦は1、角は直角になり、平行四辺形は正方形になります。退化した図形ではなく、この一族の正真正銘の一員です。このページが適用する規則は、斜めの辺が高さ以上でなければならないというもので、高さより長くなければならないというものではありません。その違いが出るのがこの場合です。
底辺5、高さ0、斜めの辺3
- 面積：5 × 0 = 0平方センチメートル
- 周長：2 × (5 + 3) = 16センチメートル
- どちらの数もそれぞれの式に従っており、同じ潰れた図形について別のことを述べている
2つの出力が矛盾して見えて矛盾していない場合です。高さが0というのは上の辺が下の辺まで降りてきて図形が線分に潰れたということで、囲む面積はまったくありません。0が正しい答えです。一方の周長は4本の辺の長さの合計で、式が計算しているのはそれであり、周長の意味もそれです。底辺に沿って進み、斜めの辺を戻り、また底辺を進み、また斜めの辺を戻る。潰れた結果の長さ2 × 5 = 10ではありません。このページが出すのは4本辺の図形の周の長さで、それは2つの数のどちらかが間違いに見える前に知っておく価値があります。
適用限界
高さは底辺と向かい合う辺の間の垂直距離で、このページは測ったのが斜めの辺だったかどうかを判別できません。高さの欄に斜めの辺を入れると面積が大きくなりすぎます。このページが見るもっともよくある間違いで、巻尺が届くのは斜めの辺のほうだからです。周長は底辺と斜めの辺を使い、高さを一切考慮しません。したがって高さだけを入れて斜めの辺を入れなければ、ページはそもそも動きません。高さより短い斜めの辺は拒否されます。どんな平行四辺形も表さないからです。高さは斜めの辺に、それが底辺となす角の正弦を掛けたものに等しく、正弦が1を超える角はありません。出力はドロップダウンが何であってもセンチメートルと平方センチメートルです。小数点以下4桁は表示幅であって精度の主張ではありません。このページは2組の対辺が平行な真の平行四辺形を前提にしているので、向かい合う辺が等しくない四角形を検査することはなく、角度も対角線も、辺の間の角を直接入力する手段もありません。高さ0は受け付けられ、面積0と0でない周長を返します。これは算術的には正しく、物理的には図形ではなく線分です。そのときの周長が表すのは、潰れた結果の長さではなく4本の辺を回る道のりです。
よくある質問
- 面積に2つしか要らないのに3つ求めるのはなぜか
- 周長が面積の使わない数を必要とするからです。面積は底辺 × 高さ、周長は底辺の2倍に斜めの辺の2倍を足したもので、高さと斜めの辺は長方形でないすべての平行四辺形で別の長さです。底辺と高さは面積を固定しますが、図形は押し倒す自由が残ります。押し倒すと周長は変わりますが面積はそのままです。
- 高さと斜めの辺は同じものか
- 違います。それがこのページが見るもっとも多い間違いです。高さは底辺から向かい合う辺までまっすぐ上に測った垂直距離で、斜めの辺は辺そのものの長さです。両者が等しくなるのは長方形だけです。30度傾いた平行四辺形では斜めの辺は高さの2倍になるので、高さの欄に斜めの辺を入れると面積が2倍になります。
- 高さより短い斜めの辺を受け付けないのはなぜか
- そのような平行四辺形が存在しないからです。高さは斜めの辺に、その辺が底辺となす角の正弦を掛けたもので、正弦は1を超えません。したがって斜めの辺は常に高さ以上です。斜めの辺が高さに等しいときは角が90度で図形は長方形になり、だからこのページは等しい場合を拒否せずに許します。
- 面積が長方形と同じなのはなぜか
- 同じ底辺と同じ垂直の高さをもつ平行四辺形と長方形は、どんなに傾いていても同じ面積を囲むからです。平行四辺形の片端の三角形を滑らせると、もう片端にぴったり収まり、同じ底辺と高さの長方形になります。長方形を傾けると斜めの辺は長くなりますが、囲む面積は変わりません。
- 面積が0なのに周長が0でないのはどちらが間違いか
- どちらも間違いではありません。高さが0というのは上の辺が下の辺まで降りたということで、図形は線分になり面積を囲みません。0が正しい答えです。周長は4本の辺の長さの合計です。底辺に沿って進み、斜めの辺を戻り、また底辺を進み、また斜めの辺を戻る。底辺5で斜めの辺3ならその道のりは16センチメートルあります。潰れた結果の長さ10ではありません。
- 三角形の面積を出したいときはどうするか
- 同じ底辺と同じ垂直の高さを共有していれば、このページの面積を半分にしてください。平行四辺形を対角線で切ると面積の等しい三角形が2つでき、三角形の式の2分の1はまさにそこから来ています。測ったのが辺であって底辺と高さではないなら、このサイトの別のページが3辺から直接求めます。
参考文献
- Parallelogram — 2組の対辺が平行な四角形。底辺 × 高さの面積式と、同じ底辺と高さの平行四辺形と長方形は面積が等しいという注記 — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — 平行四辺形を対角線で切るとできる図形。三角形の面積に2分の1が付き、平行四辺形には付かない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine — 平行四辺形の斜めの辺と高さとその間の角を結ぶ関数。斜めの辺が高さより短くなりえない理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。平行四辺形の面積と周長、底辺と高さは義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部