正六角形計算

A = (3√3 ÷ 2) × s²、P = 6s、d_long = 2s、d_short = √3 × s、辺心距離 = (√3 ÷ 2) × s、内角 = 120°

辺

6つの辺のうちどれか1つの長さ（センチメートル）。入力がこれだけなのは、正六角形は6辺がすべて等しく6つの角がすべて120度に固定されているため、この数ひとつで図形全体が決まるからです

面積

六角形の内側の広さ（平方センチメートル）。3√3を2で割った値に辺の2乗を掛けたものです。その定数がどこから来るかは、六角形を構成する正三角形6枚を見れば分かり、覚えるべき公式ではありません

周長

まわりを一周する長さ（センチメートル）。6つとも同じなので辺かける6です。辺が正確ならつねに正確になる唯一の出力で、他の値を突き合わせる基準になります

最も長い対角線

ある頂点から中心をまっすぐ通り向かいの頂点までの距離（センチメートル）。ちょうど辺の2倍で、六角形に外接する円の直径でもあり、この図形を横切って取れる最も広い寸法でもあります

最も短い対角線

頂点を1つだけ挟んだ2つの頂点の間の距離（センチメートル）。√3かける辺です。辺心距離の2倍より少し小さく、辺の1.5倍より少し大きく、六角形を長方形と2つの三角形に分けます

辺心距離

中心から辺の真ん中までまっすぐ出た距離（センチメートル）。√3を2で割って辺を掛けた値です。六角形に内接する円の半径であり、最も短い対角線のちょうど半分でもあります。中心から見た値と頂点から見た値が同じ長さなのです

√3

3の平方根、およそ1.7320508。面積・最も短い対角線・辺心距離に現れ、辺1の正三角形の高さでもあります。三角形の辺を高さに変える数です

内角

隣り合う2辺が六角形の内側でなす角で、正六角形ならどれも120度、したがって辺にはまったく依存しません。多角形の角の合計は（辺の数 − 2）× 180度という規則から出ます。6辺なら三角形4枚分、720度を6つの等しい角で分けるわけです。このページで唯一、大きな六角形でも同じ値を印字する出力です

小数第4位

すべての出力を書く幅。面積・最も短い対角線・辺心距離はほとんどつねに√3を抱えるのでめったに終わりません。周長と最も長い対角線は正確で、小数第4位まで印字するのは主張ではなく幅です。内角はちょうど120なので小数点以下をまったく付けずに整数で印字します。幅は出力ごとに決まっており、ページ全体で1つではありません

このページは六角形を物として扱うためのもので、蜂の巣がその代表例です。面を張るときに六角形のタイルが使う材料を知りたいなら面積が要る値で、辺1の六角形の面積が約2.6、辺1の正方形が1であることは覚えておく価値があります。同じ辺の長さで六角形のほうが広く覆い、その効率のよさが梱包材やパネルで蜂の巣構造がまねされる理由です。板からタイルを切り出すなら、辺心距離が中心の間隔を教えてくれ、2本の対角線は仕上がった図形に必要な余裕を教えてくれます。最も長い対角線は最も広い部分を横切り、最も短い対角線は二面幅、つまりナットがスパナに入るかどうかを決める寸法です。ボルトの頭は二面幅で表記され、それは辺心距離の2倍にあたり、合うソケットも同じように表記されます。ですから最も長い対角線ではなく辺心距離の出力に手を伸ばしてください。図面を検算するなら、2本の対角線の比は固定です。最も短い対角線は最も長い対角線のちょうど2分の1に√3を掛けたものですから、この比から外れた六角形は丸め誤差ではなく入力の打ち間違いです。

1. 辺が6の場合

   1. 周長：6 × 6 = 36
   2. 最も長い対角線：2 × 6 = 12
   3. 辺心距離：(√3 ÷ 2) × 6 = 5.196152…、小数第4位で丸めて5.1962
   4. 最も短い対角線：√3 × 6 = 10.392304…、小数第4位で丸めて10.3923
   5. 面積：(3√3 ÷ 2) × 36 = 93.530743…、小数第4位で丸めて93.5307
   6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120度で、正六角形ならどれも同じ

   このページが開いたときに入れている入力です。6つの出力のうち2つ、周長36と最も長い対角線12は正確で、3つは√3を抱えて4桁を印字します。6つ目が内角の120度で、下の表が8行すべてに印字しているのと同じ数です。一度やっておく価値のある確認は、辺心距離が最も短い対角線のちょうど半分であること、5.1962と10.3923です。これはこの辺に限らずどの辺でも成り立ちます。

2. 辺が1の場合

   1. 周長：6 × 1 = 6
   2. 最も長い対角線：2 × 1 = 2
   3. 最も短い対角線：√3 × 1 = 1.7320508…、小数第4位で丸めて1.7321
   4. 辺心距離：0.8660254…、小数第4位で丸めて0.866
   5. 面積：(3√3 ÷ 2) × 1 = 2.5980762…、小数第4位で丸めて2.5981
   6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120度で、正六角形ならどれも同じ

   単位六角形で、定数を覚えるならこれです。辺1の正六角形は面積2.5981、最も短い対角線1.7321、辺心距離0.8660になります。辺1の正方形の面積1も上回り、これが蜂の巣の算術です。辺心距離が0.8660ではなく0.866と印字されるのは、小数第4位が末尾の0で、印字はできるだけ短い形になるからです。内角の120には印字すべき小数部がそもそもありません。

3. 辺が2の場合

   1. 周長：6 × 2 = 12
   2. 最も長い対角線：2 × 2 = 4
   3. 最も短い対角線：√3 × 2 = 3.4641016…、小数第4位で丸めて3.4641
   4. 辺心距離：1.7320508…、小数第4位で丸めて1.7321
   5. 面積：(3√3 ÷ 2) × 4 = 10.392304…、小数第4位で丸めて10.3923
   6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120度で、正六角形ならどれも同じ

   人を驚かせる行です。この六角形の面積は10.3923で、辺6の六角形の最も短い対角線も10.3923です。別の六角形の別の量が同じ4桁を印字するのは数の偶然であって計算の重複ではなく、参考表でそれを見つけて悪いほうに考える前に知っておく価値があります。対照的に、内角は驚きのない唯一の列です。どの行も120です。

4. 辺が10の場合

   1. 周長：6 × 10 = 60
   2. 最も長い対角線：2 × 10 = 20
   3. 最も短い対角線：√3 × 10 = 17.320508…、小数第4位で丸めて17.3205
   4. 辺心距離：(√3 ÷ 2) × 10 = 8.660254…、小数第4位で丸めて8.6603
   5. 面積：(3√3 ÷ 2) × 100 = 259.807621…、小数第4位で丸めて259.8076
   6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120度で、正六角形ならどれも同じ

   10センチの六角形で、小さめのタイルくらいの大きさです。辺心距離8.6603はこのページ2つ目の偶然で、辺5の六角形の最も短い対角線と同じ4桁です。どちらも5√3を別の場所から見たものだからです。この行から持ち帰る価値があるのは、最も長い対角線20に対する最も短い対角線17.32で、六角形は二面幅より頂点をまたいだほうが約15パーセント広く、だからナットと合うスパナが二面幅で表記されるのです。

5. 辺が0の場合

   1. 周長：6 × 0 = 0
   2. 最も長い対角線：2 × 0 = 0
   3. 最も短い対角線：√3 × 0 = 0
   4. 辺心距離：(√3 ÷ 2) × 0 = 0
   5. 面積：(3√3 ÷ 2) × 0 = 0
   6. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 120度で、正六角形ならどれも同じ

   0は空欄ではなく正規の入力です。辺0の六角形は1点であり、大きさの5つの値はすべて0なので、0の並んだ行は何かが埋まらなかった印ではなく本物の答えです。例外は内角で120度のままです。大きさではなく辺が6つあることの性質だからで、図形は潰れましたが別の図形になったわけではありません。このページは0と空欄を区別しており、空欄のときは計算のもとがないので結果をまったく表示しません。

このページは正六角形専用です。6辺がすべて同じ長さで、6つの角がすべて120度であることが条件です。正でない六角形には単一の辺の長さがなく、1つの数では表せません。その場合このページは、思い描いている図形が別物だとは告げずに、その辺を持つ正六角形の値を黙って返します。内角はどんな大きさでも120度に固定され、表のどの行でも、辺が0の行でも変わらず印字されます。外角と中心角は出しませんし、正でない六角形の角はそもそも一意に決まらないので出せません。出力は単位のドロップダウンを何にしてもセンチメートル・平方センチメートル・度なので、インチで入力した辺は自分で換算する必要のあるセンチメートルの答えで返ってきます。小数第4位は精度についての主張ではなく表示幅で、実測した辺には過剰であり、入力が正確でないかぎり最後の2桁に意味はありません。面積は辺の2乗で増え、周長と対角線は辺そのもので増えるため、六角形を大きくするとこれらの値は違う割合で動きます。まったく動かないのが内角です。辺心距離と最も短い対角線は、片方がもう片方のちょうど半分であるにもかかわらず2つの出力として印字します。別々の職種で別々に使われる寸法であり、片方を半分にさせるより両方を出すほうが親切だからです。穴の開いた六角形、曲面に描かれた六角形、六角形のタイルやナットの厚みには対応していません。その3つ目の次元を入れる欄がこのページにはありません。

なぜ六角形は測定1つで足りるのですか

このページが扱うのが正六角形で、6辺がすべて等しく6つの角がすべて120度に固定されているからです。この2つの事実が残すのは大きさだけなので、辺1つの長さで決まります。これが、2つの数が要る長方形や、3つの数が要る一般の三角形と、正六角形を分けている点です。

辺心距離とは何で、何の役に立つのですか

六角形の中心から辺の真ん中までまっすぐ出た距離で、内側にぴったり収まる最大の円の半径です。役に立つのは、平らな面を持つ物が実際にこの寸法で測られるからです。ナットと、それに合うスパナはどちらも二面幅で表記され、それは辺心距離の2倍にあたります。頂点をまたぐ最も長い対角線ではありません。

どちらの対角線がどちらですか

最も長い対角線はある頂点から中心をまっすぐ通り向かいの頂点までで、ちょうど辺の2倍です。最も短い対角線は頂点を1つ挟んだ2つの頂点の間で、√3かける辺です。長いほうは短いほうより約15パーセント長く、短いほうは辺心距離のちょうど2倍です。

出力によって小数第4位までだったりまったくなかったりするのはなぜですか

幅が出力ごとに決まっているからで、ページ全体で1つではありません。面積・最も短い対角線・辺心距離はどれも√3を含み、それが終わらないので答えもめったに終わらず、4桁まで印字します。周長は辺かける6、最も長い対角線は辺かける2なので、辺が正確ならどちらも正確です。固定の幅として4桁まで印字し、末尾の0は単に表示されません。内角はちょうど120なので、小数点をまったく付けずに整数で印字します。

同じ辺の正方形と比べるとどうですか

六角形のほうが広く覆います。辺1の正六角形の面積は約2.6平方単位で、辺1の正方形の1に対して、同じ長さの辺を使っています。ただし六角形は辺が6つあるぶん周長も長いので、辺の長さあたりの面積として述べるときだけ比較が公平になります。蜂の巣、梱包の仕切り、ラジエーターパネルが六角形の区画を使うのはこの効率のためです。

辺は0でもよいのですか

はい、5つの出力がすべて0で返り、それは大きさのない六角形の正直な記述です。0は空欄ではなく本物の入力として扱われるので、0の並んだ行は答えです。空欄は別で、何も入っていなければ計算のもとがないため結果をまったく表示しません。

辺を変えても内角が変わらないのはなぜですか

大きさではなく図形の性質だからです。多角形の角の合計は（辺の数 − 2）× 180度で、6辺なら720度、正六角形はそれを6つの角で等しく分けるので1つあたり120度になります。この計算のどこにも辺の長さは出てこないので、辺1の六角形も辺10の六角形も角は120度です。1点に潰れた六角形でさえ120を報告しますが、それは大きさを失っても形は失っていない図形の正直な答えです。

• Hexagon — 6辺の多角形。このページが計算する面積・辺心距離・2本の対角線と、それらすべてを生む正三角形6枚への分割が載っている — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 正六角形が属する族。辺心距離が中心から辺までの距離として定義され、辺心距離と外接円の半径の関係をこのページは2つの出力として印字している — Wolfram MathWorld (United States)
• Equilateral triangle — 正六角形の6分の1。その高さは辺の√3 ÷ 2倍で、辺心距離と最も短い対角線が√3を得るのはここから — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。正多角形の辺・周長・面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部