正八角形計算

面積 = 2(1 + √2) × s²、周長 = 8s、辺心距離 = s(1 + √2) ÷ 2、最も短い対角線 = s√(2 + √2)、中間の対角線 = s(1 + √2)、最も長い対角線 = s√(4 + 2√2)、内角 = 135°

辺

8本の辺のうちどれか1本の長さ（センチメートル）。正多角形では入力はこれ1つだけです。8本の辺がすべて等しく、8つの角がすべて135度に固定されているので、この数だけで図形全体の大きさが決まります

面積

正八角形が覆う広さ（平方センチメートル）で、2 × (1 + √2) × 辺² です。定数は約4.828で、これは覚えておく価値のある数です。辺の上に描いた正方形と比べると、八角形はそのおよそ4.8倍を覆います

周長

まわりを一周する長さ（センチメートル）で、辺 × 8です。8本すべてが同じだからです。辺が正確な値なら必ず正確になる唯一の出力なので、結果がおかしいと思ったときに他の値と見比べる基準になります

辺心距離

中心から辺の真ん中までまっすぐ測った距離（センチメートル）で、辺 × (1 + √2) ÷ 2です。八角形に内接する最大の円の半径にあたり、平らな辺どうしの間隔を決める数でもあります。辺心距離の2倍が、平坦な辺から辺へ測った八角形の幅です

最も短い対角線

頂点を1つ挟んだ2つの頂点の間の距離（センチメートル）で、辺 × √(2 + √2) です。中間の対角線より少し短く、辺よりは少し長いという位置にあり、八角形では辺との差が小さいので、図面の上では取り違えやすい2本です

中間の対角線

頂点を2つ挟んだ2つの頂点の間の距離（センチメートル）で、辺 × (1 + √2) です。辺心距離のちょうど2倍になります。どちらも同じ式で、2の位置だけが違うからです。正八角形の作図そのものがこの対角線を基準に組み立てられます

最も長い対角線

1つの頂点から中心をまっすぐ通り抜けて反対の頂点まで届く距離（センチメートル）で、辺 × √(4 + 2√2) です。図形を横切って測れる最も長い線であり、同時に八角形の外接円の直径でもあるので、半分にすればその円の半径になります

内角

隣り合う2辺が八角形の内側につくる角で、135度です。辺の数だけで決まり、辺の長さにはまったく依存しません。だから参考表のこの列はどの行も同じ数になります。辺1の八角形も辺10の八角形も内角は同じで、違うのは大きさだけです

√2

2の平方根で、約1.4142136です。周長と内角を除く7つの出力すべてに現れます。正八角形が正方形の角を切り落とした形だからで、角を45度で落とすところに2の平方根がちょうど現れます

このページは正八角形を「物」として扱うためのもので、よくあるのは平板を切り出す場合と、丸い金物に合わせる場合です。板——天板、タイル、敷石、支柱の端板——から八角形を切り出すなら、面積は材料の量を、辺心距離は墨の取り方を教えてくれます。最初に取るべき数は辺心距離です。その2倍が平坦な辺から辺への幅で、切り出した八角形は角にさしがねを当てにくいので、平らな辺で測ることになるからです。次に最も長い対角線が角から角への幅を与え、これは元の丸い材料の中に収まるかどうかを決めます。同じ数が外接円の直径でもあるので、その直径の丸い材料なら八角形がぴったり収まります。8ピースを接合するもの——額縁、灯籠、あずまやの屋根——を作るなら、内角の135度が要る数です。1ピースあたりのマイターはその半分の67.5度で、この設定は大きさに関係なくどの正八角形でも同じです。丸い金物に合わせる場合は、最も長い対角線が「丸い開口を通るか」の答えになり、辺心距離が「どれだけ平らな面が取れるか」の答えになります。同じ辺の正方形と比べたいだけなら、面積の定数4.83と正方形の1が比較のすべてです。八角形は同じ辺でより広い面積を覆いますが、辺の数も2倍あるので、材料を買うときは面積より周長の列のほうが公平な指標になります。

1. 辺が6の場合

   1. 周長：8 × 6 = 48
   2. 辺心距離：6 × (1 + √2) ÷ 2 = 7.242640…、四捨五入して7.2426
   3. 中間の対角線：6 × (1 + √2) = 14.485281…、四捨五入して14.4853
   4. 最も短い対角線：6 × √(2 + √2) = 11.086554…、四捨五入して11.0866
   5. 最も長い対角線：6 × √(4 + 2√2) = 15.678754…、四捨五入して15.6788
   6. 面積：2 × (1 + √2) × 36 = 173.823376…、四捨五入して173.8234
   7. 内角：(8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135、正確な値

   このページが読み込まれるときの入力です。この1行だけで2つの検算が見えます。中間の対角線14.4853は辺心距離7.2426のちょうど2倍で、これは辺6だけでなくどの辺でも成り立ちます。どちらも同じ式から出ていて、2の位置だけが違うからです。もう1つ、最も長い対角線15.6788は八角形の外接円の直径なので、辺6の八角形は直径15.6788センチメートルの円の中に収まり、それより小さい円には入りません。この行は同じ辺の長さで隣の2ページとも比べられます。辺6で、ここは173.8234、六角形のページは93.5307、五角形のページは61.9372です。同じ辺でも、辺の数が増えるほど囲める面積が増えます。

2. 辺が1の場合

   1. 周長：8 × 1 = 8
   2. 辺心距離：(1 + √2) ÷ 2 = 1.207106…、四捨五入して1.2071
   3. 中間の対角線：1 + √2 = 2.414213…、四捨五入して2.4142
   4. 最も短い対角線：√(2 + √2) = 1.847759…、四捨五入して1.8478
   5. 最も長い対角線：√(4 + 2√2) = 2.613125…、四捨五入して2.6131
   6. 面積：2 × (1 + √2) = 4.828427…、四捨五入して4.8284
   7. 内角：135

   辺1の八角形で、2つの定数が最も素の形で出る行です。面積は4.8284、中間の対角線は2.4142で、これは同じ数を半分にしたものです。注目したいのは最も短い対角線1.8478で、頂点を1つ飛ばす対角線が辺の2倍より短くなっています。八角形の頂点は六角形の頂点ほど離れておらず、それがこの図形を丸く見せています。辺1の正方形の面積1と比べると、八角形は4.83倍の広さを覆います。

3. 辺が5の場合

   1. 周長：8 × 5 = 40
   2. 辺心距離：5 × (1 + √2) ÷ 2 = 6.035533…、四捨五入して6.0355
   3. 中間の対角線：5 × (1 + √2) = 12.071067…、四捨五入して12.0711
   4. 最も短い対角線：5 × √(2 + √2) = 9.238795…、四捨五入して9.2388
   5. 最も長い対角線：5 × √(4 + 2√2) = 13.065628…、四捨五入して13.0656
   6. 面積：2 × (1 + √2) × 25 = 120.710678…、四捨五入して120.7107
   7. 内角：135

   5センチメートルの八角形で、小さなタイルやフェンスの支柱の端くらいの大きさです。この行は、同じ表の別の行と一致してミスに見える箇所を持っています。ここの中間の対角線12.0711は、辺10のときの辺心距離と同じ4桁です。辺を2倍にするとこの表の長さがすべて2倍になるので、辺10の辺心距離がとる値は必ず辺5のどこかに現れます。ここではそれが、小さなほうの八角形の辺心距離のちょうど2倍の中間の対角線として出ています。同じ計算を2回しているわけではありません。

4. 辺が10の場合

   1. 周長：8 × 10 = 80
   2. 辺心距離：10 × (1 + √2) ÷ 2 = 12.071067…、四捨五入して12.0711
   3. 中間の対角線：10 × (1 + √2) = 24.142135…、四捨五入して24.1421
   4. 最も短い対角線：10 × √(2 + √2) = 18.477590…、四捨五入して18.4776
   5. 最も長い対角線：10 × √(4 + 2√2) = 26.131259…、四捨五入して26.1313
   6. 面積：2 × (1 + √2) × 100 = 482.842712…、四捨五入して482.8427
   7. 内角：135

   10センチメートルの八角形で、敷石や装飾タイルによくある大きさです。墨を取るのに使うのは辺心距離の12.0711です。その2倍の24.1421が平坦な辺から辺への幅で、作業台の上に取るのはこの距離になります。最も長い対角線の26.1313は角から角への幅なので、この直径の丸い穴がこの八角形の落ちる最小の穴です。2つの幅——平坦な辺で24.14、角で26.13——を並べると八角形が一行で言い表せます。角は平坦な辺より8パーセントほど張り出しており、それが正方形から角を落として得たもののすべてです。

5. 辺が0の場合

   1. 周長：8 × 0 = 0
   2. 辺心距離：0 × (1 + √2) ÷ 2 = 0
   3. 中間の対角線：0 × (1 + √2) = 0
   4. 最も短い対角線：0 × √(2 + √2) = 0
   5. 最も長い対角線：0 × √(4 + 2√2) = 0
   6. 面積：2 × (1 + √2) × 0 = 0
   7. 内角：(8 − 2) × 180 ÷ 8 = 135

   0は空欄ではなく正規の入力です。この行は内角とは何かを最も明快に示します。辺0の八角形は1点に潰れており、7つの値のうち6つが0ですが、内角は135度のままです。内角は大きさではなく形の性質なので、大きさが完全に失われても残ります。入力欄を空にしたままにするのは別のケースで、そのときは何も表示されません。

このページは正八角形だけを扱います。8本の辺がすべて同じ長さで、8つの角がすべて135度の図形です。正八角形でない八角形——角の落とし方が不揃いなものや細長いもの——には単一の辺の長さがなく、1つの数では表せません。その場合このページは、思い描いている図形が別物であるとは告げずに、その辺の長さの正八角形の値を黙って返します。出力の単位は、単位のドロップダウンが何であってもセンチメートルと平方センチメートルです。インチで入力した辺はセンチメートルの答えで返るので、自分で換算してください。小数点以下4桁は表示幅であって精度の主張ではありません。実測した辺に対しては過剰で、入力が正確でない限り下2桁に意味はありません。内角は135度で正確なため小数点なしで表示されますが、どの行でも同じ数です。辺を変えても反応しないように見えても固まっているわけではなく、7つのうち6つは動いています。このページは平面のもので、材料の厚みを入れる欄がないので、八角柱の体積や八角形の板の重さ、八角形の穴の深さは出せません。八角形を並べたときの隙間を埋める正方形のことも扱いません。それは1つの図形の計測ではなく割り付けの話です。

辺を変えても内角が変わらないのはなぜか

正八角形の角は辺の数だけで決まり、それ以外の何にもよらないからです。正多角形の内角は（辺の数 − 2）× 180 ÷ 辺の数で、8本なら135度になります。この式のどこにも辺の長さは現れません。辺1の八角形も辺100の八角形も角はまったく同じで、違うのは大きさだけです。参考表の最終列がどの行も同じ数なのはそのためで、マイターの67.5度がどんな八角形にも使える理由でもあります。

3本の対角線はそれぞれどれか

最も短い対角線は頂点を1つ飛ばし、辺 × √(2 + √2) で、辺1なら1.85です。中間の対角線は頂点を2つ飛ばし、辺 × (1 + √2) で2.41です。最も長い対角線は中心をまっすぐ通り、辺 × √(4 + 2√2) で2.61です。六角形に2本しかないのは、6つの頂点では距離の種類が2通りしかないからです。8つの頂点なら3通りになります。中間のものが辺心距離のちょうど2倍で、これが他と見分ける一番早い手がかりです。

辺心距離とは何で、八角形ではなぜ重要か

中心から辺の真ん中までまっすぐ測った距離で、内側に収まる最大の円の半径です。八角形では他の多くの図形より重要になります。切り出したものを測るのは平らな辺だからです。辺心距離の2倍が平坦な辺から辺への幅で、角と違って平らな辺にはさしがねを当てられます。切り出す八角形に墨を取るなら、最初に置く数が辺心距離です。

同じ辺の正方形と比べてどれくらい大きいのか

面積でおよそ4.83倍です。辺1の正八角形は4.8284平方単位を覆い、辺1の正方形は1です。この数がこの図形の説明そのものです。八角形は正方形の四隅を落とした形で、角を落とすと面積は減りますが4つの平らな辺はほぼ元の幅のまま残ります。ただし八角形の辺は4本ではなく8本なので、縁取りや枠の材料を買うときは面積ではなく周長で比べてください。

八角形が通る最小の丸い穴はどれか

最も長い対角線と同じ直径の円です。それが図形を横切る最も長い線で、角から角へ中心を通るからです。辺10なら26.1313センチメートルになります。同じ数を逆に読むと、八角形が8つの角でちょうど内側から接する円の直径にもなります。丸い材料から八角形を切り出すときに無駄を最小にしたいなら、こちらが役に立ちます。

八角形だけで床を敷き詰められるか

いいえ、そして隙間のほうが面白いところです。八角形を平らに並べると、4つごとに小さな四角い穴が残ります。その正方形があるからこそ八角形の敷き詰めが模様として成立します。古典的な八角形と正方形の床は、八角形が面を覆い、正方形が隙間を埋めているのです。このページは八角形1つを測るだけで割り付けは扱いません。床に必要な枚数はここに出る数とは別の計算になります。

• Octagon — 8本の辺をもつ多角形。このページが計算する面積・辺心距離・3本の対角線・内角と、正方形の角を切り落とす作図法 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 正八角形が属する図形の族。内角が辺の数で決まること、辺心距離が中心から辺までの距離として定義されること。中間の対角線がそのちょうど2倍になるのはこの定義から出る — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — 正多角形の中心から辺の中点までの距離。内接円の半径にあたり、2倍するとこの図形の平坦な辺から辺への幅になる — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。正多角形の内角・周長・面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部