正五角形計算

面積 = √(25 + 10√5) ÷ 4 × s²、周長 = 5s、辺心距離 = s ÷ (2 × tan36°)、対角線 = φ × s、内角 = 108°

辺

5本の辺のうちどれか1本の長さ（センチメートル）。他のすべての正多角形と同じく、入力はこれだけです。5本の辺がすべて等しく、5つの角がすべて108度に固定されているので、辺だけで図形全体が決まります

面積

正五角形が覆う広さ（平方センチメートル）で、25に5の平方根の10倍を足したものの平方根を4で割り、辺の2乗に掛けたものです。定数はおよそ1.7205で、持ち歩く価値のある数です。正五角形は1辺の上に描いた正方形のおよそ1.72倍を覆います

周長

まわりを一周する長さ（センチメートル）で、辺 × 5です。5本すべてが同じだからです。辺が正確な値なら正五角形の周長も必ず正確になる唯一の出力で、結果がおかしいと思ったときに他の値と見比べる基準になります

辺心距離

中心から辺の真ん中までまっすぐ出た距離（センチメートル）で、辺を36度の正接の2倍で割ったものです。正五角形に内接する最大の円の半径にあたり、その2倍が平坦な辺から辺へ測ったこの図形の幅です

対角線

1つ角を挟んだ2つの角の間の距離（センチメートル）で、辺 × 黄金比です。六角形の2本ではなくこのページに1本しかないのは、正五角形の5本の対角線がすべて同じ長さだからです。どれも角をちょうど1つ飛ばしており、長いものと短いものの組がありません

内角

隣り合う2辺が正五角形の内側につくる角で、108度。辺の数だけで決まります。辺の長さには依存しないので、参考表のこの列はどの行も同じ数になります。その半分の54度が、5枚の枠に必要なマイターです

φ

黄金比で、およそ1.6180339887。対角線が辺にこの数を掛けたものになっています。正五角形の対角線が互いを切る比そのものであり、この図形が算術から期待される以上にデザインや植物に現れる理由です

√5

5の平方根で、およそ2.2360680。面積には25足す10√5という形で現れ、黄金比が分数ではなく無理数である理由でもあります。1に5の平方根を足して2で割った数です

このページは正五角形を物体として扱うためのもので、五角形は構造より装飾であることが多く、そこが求める数の種類を変えます。板から1枚切り出すなら——天板、看板、敷石、花壇——面積は使う材料を教え、辺心距離は中心からの墨の取り方を教えます。辺心距離の2倍が平坦な辺から辺への幅で、さしがねを当てられるのはその向きだからです。対角線は、できあがったものが入る場所に収まるかを教えてくれます。図形を横切る最も長い線で、角から角へ中心を通るからです。5枚の部材から何かを作るなら——額縁、灯籠、あずまやの屋根、プランター——108度の内角が要る数です。1枚あたりのマイターはその半分の54度で、この設定は大きさに関係なくどの正五角形でも同じです。黄金比は、必要でなくても対角線の列を見る理由になります。図形の署名のようなもので、対角線が辺の1.618倍になっていない五角形は、見た目がどうであれ正五角形ではありません。1つを測るのではなく図形を見比べるなら、このページと同じ辺の長さの表が、一番公平な比較を与えます。辺6で正五角形は61.9372、六角形は93.5307、八角形は173.8234を覆います。同じ辺でも辺の数が多いほど広い面積が手に入り、円へ向かっていきます。

1. 辺が6の場合

   1. 周長：5 × 6 = 30
   2. 対角線：φ × 6 = 1.6180339… × 6 = 9.708203…、四捨五入して9.7082
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan36°) = 6 ÷ 1.453085… = 4.129145…、四捨五入して4.1291
   4. 面積：1.7204774… × 36 = 61.937187…、四捨五入して61.9372
   5. 内角：(5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108、正確な値

   このページが読み込まれるときの入力です。ここで走らせる検算は、対角線を辺で割ることです。9.7082 ÷ 6は1.618、つまり黄金比で、この比は表のどの行でも、これまでに存在したどの正五角形でも成り立ちます。この行は同じ辺の長さで隣の2ページとも並びます。辺6で、ここは61.9372、六角形のページは93.5307、八角形のページは173.8234です。同じ辺、辺が増えるほど面積が増えます。3つの中では正五角形が最も小さく、同時に面積に対して最も幅広です。辺が5本しかなく、3つの中では最も円から遠いからです。

2. 辺が1の場合

   1. 周長：5 × 1 = 5
   2. 対角線：φ × 1 = 1.6180339…、四捨五入して1.618
   3. 辺心距離：1 ÷ (2 × tan36°) = 0.688190…、四捨五入して0.6882
   4. 面積：1.7204774… × 1 = 1.7204774…、四捨五入して1.7205
   5. 内角：108

   辺1の正五角形で、定数が素の形で立つ行です。面積は1.7205でこれは面積の定数そのもの、対角線は1.618でこれは黄金比そのものです。どちらもこの形で覚えておく価値があります。面積を辺1の正方形の面積1と比べ、三角形の0.433、六角形の2.598とも比べてください。辺が5本なら正方形と六角形の間に来ます。この一族が従う型です。

3. 辺が3の場合

   1. 周長：5 × 3 = 15
   2. 対角線：φ × 3 = 4.854101…、四捨五入して4.8541
   3. 辺心距離：3 ÷ (2 × tan36°) = 2.064572…、四捨五入して2.0646
   4. 面積：1.7204774… × 9 = 15.484296…、四捨五入して15.4843
   5. 内角：108

   黄金比が一番ぎこちなく、それゆえ一番説得力をもって現れる行です。対角線は4.8541、辺は3で、4.8541 ÷ 3は1.618になります。辺1でも辺3でも辺6でも同じ3桁が出る比は、算術の性質ではなく図形の性質です。この行は面積と周長が表で最も近い行でもあります。15.4843に対して15で、これは等しいのではなく惜しいだけであり、そもそも両者は別の単位で測った別の量です。

4. 辺が10の場合

   1. 周長：5 × 10 = 50
   2. 対角線：φ × 10 = 16.180339…、四捨五入して16.1803
   3. 辺心距離：10 ÷ (2 × tan36°) = 6.881909…、四捨五入して6.8819
   4. 面積：1.7204774… × 100 = 172.047740…、四捨五入して172.0477
   5. 内角：108

   10センチメートルの正五角形で、敷石くらいの大きさです。墨を取るのに使うのは辺心距離の6.8819です。その2倍の13.7638が平坦な辺から辺への幅になります。この行には、ミスに見える前に見つけておく価値のある一致があります。ここでの辺心距離6.8819は、表のもっと上の辺2のときの面積と同じ4桁です。どちらも同じ平方根の式に別の方向からたどり着いたもので、片方は長さ、片方は面積であり、この2つの大きさで4桁が一致することにそれ以上の意味はありません。

5. 辺が0の場合

   1. 周長：5 × 0 = 0
   2. 対角線：φ × 0 = 0
   3. 辺心距離：0 ÷ (2 × tan36°) = 0
   4. 面積：1.7204774… × 0 = 0
   5. 内角：(5 − 2) × 180 ÷ 5 = 108

   0は空欄ではなく正規の入力です。この行は内角とは何かを最も明快に示します。辺0の正五角形は1点に潰れており、5つの値のうち4つが0で、内角はそれでも108度です。大きさではなく形の性質なので、大きさが完全に失われても残ります。入力欄を空にしたままにするのは別のケースで、そのときは何も表示されません。動かすものが何もないからです。

このページは正五角形だけを扱います。5本の辺がすべて同じ長さで、5つの角がすべて108度の図形です。正五角形でない五角形——家の形をしたものや細長いもの——には単一の辺の長さがなく、1つの数では表せません。その場合このページは、思い描いている図形が別物であるとは告げずに、その辺の長さの正五角形の値を黙って返します。出力の単位は、単位のドロップダウンが何であってもセンチメートルと平方センチメートルです。インチで入力した辺はセンチメートルの答えで返るので、自分で換算してください。小数点以下4桁は表示幅であって精度の主張ではなく、実測した辺に対しては過剰で、入力が正確でない限り下2桁に意味はありません。内角は108度で正確なため小数点なしで表示されますが、どの行でも同じ数です。辺を変えても反応しないように見えても固まっているわけではなく、5つのうち4つは動いています。このページの対角線は1本で2本ではありません。これは省略ではありません。正五角形の5本の対角線はすべて同じ長さなので、長いものと短いものの組が印字できないのです。このページは平面のもので、材料の厚みを入れる欄がないので、五角柱の体積や五角形の板の重さは出せません。対角線から描く五芒星も扱いません。あれは正五角形1つ分ではなく、正五角形いくつか分の三角形でできた図形です。

正五角形の対角線がいつも辺の1.618倍なのはなぜか

その数が黄金比で、正五角形はそれが最も素直に現れる場所の1つだからです。黄金比は、全体が大きいほうに対する比と、大きいほうが小さいほうに対する比が等しくなる比として定義され、正五角形の対角線はまさにその比で互いを切ります。すると対角線の辺に対する比も同じ値になります。どの大きさの正五角形でも成り立つので、参考表の対角線の列はどの行でも辺で割って確かめられます。

六角形のページは対角線が2本なのに、このページは1本なのはなぜか

正五角形には対角線の長さが1種類しかないからです。どの対角線も1つ角を挟んだ2つの角を結び、対称性によって5本すべてが同じ長さになります。六角形は違います。角が6つあると、1つ飛ばすものとまっすぐ横切るものという2種類の距離が生まれるので、あちらのページは両方を出します。正五角形で長い対角線と短い対角線を出せば、同じ数を2回印字して、存在しない違いを探させることになります。

辺を変えても内角が変わらないのはなぜか

正五角形の角は辺の数だけで決まり、それ以外の何にもよらないからです。正多角形の内角は（辺の数 − 2）× 180 ÷ 辺の数で、5本なら108度になり、この式のどこにも辺の長さは現れません。辺1の正五角形も辺100の正五角形も角は同じで、違うのは大きさだけです。参考表の最終列がどの行も同じ数なのはそのためで、マイターの54度がどんな正五角形にも使える理由でもあります。

辺心距離とは何で、ここでは何に役立つのか

中心から辺の真ん中までまっすぐ出た距離で、内側に収まる最大の円の半径です。正五角形では墨を取るための数になります。その2倍が平坦な辺から辺への幅で、角と違って平らな辺にはさしがねを当てられます。板の上に正五角形を描くなら、中心から辺心距離を5回測れば、5本の辺すべての中点が取れます。

正五角形だけで床を敷き詰められるか

いいえ、この一族でそれができないのはこの図形だけです。1点のまわりに正五角形を3つ置くと隙間が残ります。108度の3倍は324度で、1回転は360度だからです。足りない36度は決して埋まりません。五角形の床に埋めるための2つ目の図形が要るのはそのためで、正五角形が構造より装飾で使われ、完全に敷き詰まる六角形がタイルと蜂の巣の形になる理由でもあります。

辺は0でもよく、それは空欄と同じか

0は正規の入力です。5つの出力のうち4つが0で返り、大きさのない正五角形にとってそれは正直な答えです。内角は大きさにまったく依存しないので、それでも108度のままです。空欄は別で、何も入っていなければ何も表示されません。動かすものが何もないからです。この区別は入力中に効いてきます。数を打ち直すために欄を空にしたときに、0の列が一瞬光るのは困ります。

• Pentagon — 5本の辺をもつ多角形。このページが計算する面積・辺心距離・対角線・108度の内角と、対角線が互いを切る黄金比の比 — Wolfram MathWorld (United States)
• Regular polygon — 正五角形が属する図形の族。内角が辺の数で決まること、辺心距離が中心から辺までの距離として定義されること — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — 正多角形の中心から辺の中点までの距離。内接円の半径にあたり、2倍するとこの図形の平坦な辺から辺への幅になる — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。正多角形の辺の数・内角・周長・面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部