正多角形計算

A = n ÷ (4·tan(π ÷ n)) × s² P = n·s a = s ÷ (2·tan(π ÷ n))、内角 = (n − 2) × 180 ÷ n、対角線の長さの種類数 = ⌊n ÷ 2⌋ − 1

n

辺の数。このページで唯一、大きさではなく「どの図形か」を変える入力です。3以上の整数である必要があります。2辺は何も囲まず、半分の辺というものもありません。周長以外はすべてこの数の曲線的な関数なので、このページは3つの専用ページが「10通りの辺の長さ」を並べる代わりに、「同じ辺の長さを10通りの辺の数で」並べています

s

1辺の長さ（cm）。正多角形のページはどれもそうであるように、これが唯一の長さです。すべての辺が等しくすべての角が等しいという時点で形は決まっているので、1辺と辺の数で図形全体が決まります

A

面積（cm²）。辺の数 ÷ (4 × tan(π ÷ 辺の数)) に辺の長さの2乗を掛けたものです。辺の長さの2乗に掛かる係数は三辺で0.4330、そこから際限なく増え、正方形で1を超え、二十角形で31.5688、千角形で79,577.2097になります。辺の長さを固定したまま角が増えるほど地面を覆う面積が増えるからです。代わりに周長を固定すると増加は止まります。周長が6,000の千角形は2,864,779.5509で、同じ周長の真円は2,864,788.9757、違いは0.0003%です。π に近づく3.1416のほうは、面積を「中心から頂点までの距離の2乗」で割った値です

P

周長（cm）。辺の長さ×辺の数です。2つの入力のどちらに対しても完全に線形で、入力が正確なら必ず正確に出る唯一の出力なので、結果がおかしいときはまずこれを基準に他を疑うと早いです

a

辺心距離（cm）。中心から辺の真ん中までまっすぐ測った距離で、辺の長さ ÷ (2 × tan(π ÷ 辺の数)) です。図形に内接する最大の円の半径にあたり、その2倍が「向かい合う辺の間の幅」、つまり物差しを当てて測れる幅になります

内角

隣り合う2辺が図形の内側でなす角で、(辺の数 − 2) × 180 ÷ 辺の数 です。辺の長さにはまったく依存しないので、辺を固定して辺の数だけを動かす表ではどの行でも同じ数になります。このページが小数第2位まで出すのは、七角形の内角が128.571428… で、小数を切り捨てると129になってしまうからです。それは「粗い答え」ではなく「間違った答え」です

⌊n ÷ 2⌋ − 1

その図形が持つ対角線の長さの種類数です。頂点を結ぶ弦は辺の数の半分の種類にまとまり、そのうち1つは辺そのものなので、三角形は0種類、正方形と五角形は1種類ずつ、六角形は2種類、八角形は3種類になります。長さではなく個数なので単位は付かず、辺の長さを変えても動きません

π

円周と直径の比で、およそ3.14159265です。ここに出てくるのは、π ÷ 辺の数のtanが図形とその角を結び付けているからです。辺の数が増えるにつれてこの図形が近づいていく円を記述するのと、同じ定数です

名前の付いた図形ではないとき、あるいは測定ではなく図形そのものが問いの対象であるときに使うページです。六角形や八角形だと分かっているなら、その形のページのほうが尋ねる数が1つ少なく、対角線の長さまで出ます。こちらに来るのは辺の数を選んでいるときです。つまり測るのではなく選ぶ場面——栽培槽やあずまやの屋根、硬貨やタイルを何角形にするか——で、表を使えば同じ1辺を10通りの辺の数で1列に読み比べられます。この傾向は2つの半分に分かれていて、混同しやすいので分けて書きます。辺を固定した場合、辺を1本足すごとに面積は増え、しかも増え方は大きくなります。6cmの辺で三辺から四辺にすると20.4 cm²、四辺から五辺で25.9、五辺から六辺で31.6、そして二十辺から千辺までは2,863,643増えます。図形が丸くなるだけでなく周長も一緒に伸びるからです。代わりに周長を固定すると損得は逆になります。周長6,000では、五辺から六辺への1段が120,589 cm² を買うのに対し、二十辺から千辺までの980本ぶんを全部足しても23,591にしかなりません。表の最後の2列はこの比較のためのもので、ボルトの頭、床タイル、ハニカムが六角形なのはここに理由があります。六辺を超えると、切り出す辺と合わせる角が増える分だけの価値が面積に見合わなくなるのです。辺心距離の列は板の上に図形を割り付けるためのもので、その2倍が向かい合う辺の間の幅です。内角の列は部材から組み上げるためのもので、その半分が1ピースあたりの留め切り角度にあたり、同じ形なら大きさによらず一定です。円のページと比べるなら千辺の行が正直な比較になります。辺が6なら周長は6,000、面積は2,864,779.5509で、同じ周長の真円の2,864,788.9757に対して0.0003% の違いです。

1. 六角形、辺6

   1. 周長：6 × 6 = 36
   2. 内角：(6 − 2) × 180 ÷ 6 = 720 ÷ 6 = 120、正確
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan 30°) = 6 ÷ 1.154700… = 5.196152…、四捨五入して5.1962
   4. 面積：6 ÷ (4 × tan 30°) × 36 = 2.598076… × 36 = 93.530743…、四捨五入して93.5307
   5. 対角線の長さの種類数：⌊6 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   このページが開いたときの入力で、正六角形のページとこのページを突き合わせる行です。93.5307と5.1962は、hexagon-calculatorが何も触らない前に表示している2つの数です。最後の列の2という個数は、六角形のページが持つ2本の対角線——1つ角を飛ばすものと真向かいへ渡るもの——を、長さではなく個数として書いたものです。このページにできて、あちらにできない書き方です。内角の120は、結果パネルでは120.00、下の表では120と出ます。同じ数を2つの表示幅で書いているだけです。

2. 三角形、辺6

   1. 周長：3 × 6 = 18
   2. 内角：(3 − 2) × 180 ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60、正確
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan 60°) = 6 ÷ 3.464101… = 1.732050…、四捨五入して1.7321
   4. 面積：3 ÷ (4 × tan 60°) × 36 = 0.433012… × 36 = 15.588457…、四捨五入して15.5885
   5. 対角線の長さの種類数：⌊3 ÷ 2⌋ − 1 = 1 − 1 = 0

   このページが受け付ける最小の図形で、対角線が1本もない唯一の形です。三角形の2つの頂点を結ぶ弦はどれも3辺のいずれかなので、対角線として残るものがありません。0は空欄ではなく答えです。面積15.5885は同じ辺のequilateral-triangle-calculatorと一致し、一般式が形ごとの式からずれていないことの確認になります。辺心距離にも注目してください。三辺では表のどの形より短く、辺6に対して1.7321です。三角形に入る円は三角形に対して小さいからです。

3. 七角形、辺6

   1. 周長：7 × 6 = 42
   2. 内角：(7 − 2) × 180 ÷ 7 = 900 ÷ 7 = 128.571428…、四捨五入して128.57
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan 25.714285…°) = 6 ÷ 0.963149… = 6.229585…、四捨五入して6.2296
   4. 面積：7 ÷ (4 × tan 25.714285…°) × 36 = 3.633912… × 36 = 130.820846…、四捨五入して130.8208
   5. 対角線の長さの種類数：⌊7 ÷ 2⌋ − 1 = 3 − 1 = 2

   このページが存在する理由の行で、正八角形のページが警告していた行でもあります。十二角形までの辺の数は、七と十一を除いてすべて内角が整数になるので、小数をまったく出さないページならここで129と印字してしまいます。粗い答えではなく、間違った答えです。小数第2位はこのページが受け付けるどの辺の数にも足ります。千辺でも内角は179.64で、180まであと小数第2位ぶん残ります。七角形はまた、感じられるより少ない種類の対角線しか持たない最初の形でもあります。七角形の対角線は全部で14本ありますが、長さは2種類——角を2つ飛ばすものと3つ飛ばすもの——しかなく、残りは別の頂点から測った同じ2つの長さです。

4. 正方形、辺6

   1. 周長：4 × 6 = 24
   2. 内角：(4 − 2) × 180 ÷ 4 = 360 ÷ 4 = 90、正確
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan 45°) = 6 ÷ 2 = 3、正確
   4. 面積：4 ÷ (4 × tan 45°) × 36 = 1 × 36 = 36
   5. 対角線の長さの種類数：⌊4 ÷ 2⌋ − 1 = 2 − 1 = 1

   正方形は、一般式が浮動小数点数のはまりどころにぶつかる場所です。45度のtanは数学的には1ですが、このページは π ÷ 4のtanを浮動小数点数で計算して0.9999999999999999を得るので、面積は36.000000000000014として出てきます。それが36と表示されるのは、出力の途中で小数第4位に丸めているからで、その丸めはこのためにあります。もう1つ見るべきは最後の列です。正方形には対角線が2本あり、どちらも同じように図形を横切るので、⌊4 ÷ 2⌋ − 1はそれらを1種類と数えます。これは正しく、長さを印字しないことでこのページが避けている罠そのものです。

5. 千角形、辺6

   1. 周長：1,000 × 6 = 6,000
   2. 内角：(1,000 − 2) × 180 ÷ 1,000 = 179,640 ÷ 1,000 = 179.64、正確
   3. 辺心距離：6 ÷ (2 × tan 0.18°) = 6 ÷ 0.006283… = 954.926539…、四捨五入して954.9265
   4. 面積：1,000 ÷ (4 × tan 0.18°) × 36 = 79577.2097… × 36 = 2864779.5509…、四捨五入して2864779.5509
   5. 対角線の長さの種類数：⌊1,000 ÷ 2⌋ − 1 = 500 − 1 = 499

   このページの上限で、この一族の他のページが口で説明するしかなかった問いに答える行です。周長が6,000の正千角形の面積は2864779.5509 cm²、同じ周長の真円は2864788.9757で、0.0003% だけ大きくなります。辺心距離954.9265に対して円の半径は954.9297で、差は0.0032 cmです。ここまで来ると、多角形はもう実用上の意味で多角形ではありません。このページが千辺より先を受け付けないのはそのためで、ここから先は辺の長さが図形について何も語らなくなり、図形は「手間のかかる円」になります。

このページは正多角形専用です。すべての辺が同じ長さで、すべての角が等しい形だけを扱います。辺や角が不揃いな図形には単一の辺の長さも単一の内角もなく、このページにいくつ数を入れても記述できません。辺の数と辺の長さを入れると、その大きさの正多角形の答えを黙って返します。思い描いている図形が別物だということまでは教えてくれません。辺の数は3以上の整数である必要があり、そうでなければ丸めずにエラーを返します。千を超える数も同じく拒否します。それより先は、ここで扱えるどの用途にとっても図形が円になってしまうからです。出力は単位のドロップダウンが何であってもcmとcm² で返るので、インチで入れた辺はcmの答えで返り、自分で換算する必要があります。小数第4位は精度の主張ではなく表示幅で、測った辺には十分すぎる桁数です。入力が正確でない限り最後の2桁に意味はありません。内角は整数ではなく小数第2位まで出すので、整数の角はこのページで120.00、五角形と八角形のページで120と表示されます。同じ数を2つの幅で書いているだけで、ページ同士が食い違っているわけではありません。最後の2列は個数と角度で、どちらも辺の長さを変えても動きません。したがって、辺を変えても反応しないように見えるページは固まっているのではなく、5つの値のうち3つが変わっています。対角線の値はここに1つだけで、しかも長さではなく個数です。長さそのものは3つの専用ページにあり、その個数が辺の数に依存するため、固定された出力の一覧では抱えられないのが理由です。このページは2次元で、材料の厚みを入れる欄がないので、角柱の体積や、切り出した板の重さは出せません。また、対角線の列は対角線の本数ではなく長さの種類数です。七角形の対角線は14本あり、このページは2と言いますが、どちらも別の量について正しいことを言っています。

正多角形の面積は、辺の長さからどう求めますか

辺の長さの2乗に辺の数を掛け、それを4 × tan(π ÷ 辺の数) で割ります。辺の長さの2乗に掛かる係数は辺の数だけで決まり、三角形で0.4330、正方形で1、五角形で1.7205、六角形で2.5981です。そして辺の数が増えるほど際限なく大きくなり、七辺で3.6339、二十辺で31.5688、千辺で79,577.2097になります。円に近づくのはこの係数ではなく面積のほうで、しかも周長を固定したときに限られます。π に近づく3.1416は、面積を「中心から頂点までの距離の2乗」で割った値です。係数であって項ではないので、辺の長さを2倍にすると面積はどの形でも4倍になります。

辺の長さを変えても内角が変わらないのはなぜですか

正多角形の内角は辺の数だけで決まり、それ以外に何も依存しないからです。式にすると (辺の数 − 2) × 180 ÷ 辺の数 で、この中に辺の長さは一度も出てきません。三角形ならいつでも60度、五角形なら108度、六角形なら120度、八角形なら135度で、大きさによらず一定です。参考表の4列目が「測った値」ではなく「決まっている値」なのはこのためで、六角形の枠を作るときに切る留め角が、コースターでもテーブルでも30度で同じなのも同じ理由です。

対角線は何本ありますか

この問いには2つの別の問いが入っていて、このページが答えるのは2つ目です。対角線の本数は「辺の数 × (辺の数 − 3) ÷ 2」で、五角形は5本、六角形は9本、八角形は20本になります。対角線の長さの種類数は「⌊辺の数 ÷ 2⌋ − 1」で、五角形は1種類、六角形は2種類、八角形は3種類、七角形は2種類です。このページが印字するのは2つ目のほうで、隣の専用ページがそれを中心に組み立てられているからです。また、長さの個数だけが、どの辺の数でも成り立つ唯一の対角線の値だからでもあります。

辺心距離とは何で、何に使いますか

中心から辺の真ん中までまっすぐ測った距離で、図形に内接する最大の円の半径にあたります。多角形を板の上に割り付けるときの基準になる値です。辺心距離の2倍が向かい合う辺の間の幅で、辺のほうは物差しで測れますが頂点は測れないからです。板の上に形を写すときは、中心から辺心距離を辺の数だけ取っていけば、すべての辺の中点が決まります。三辺では図形に対して小さく、辺の数が増えるにつれて外接円の半径に近づいていきます。

五角形や八角形のページではなく、このページを使うのはどんなときですか

辺の数がすでに決まっているのではなく、これから選ぶときです。専用ページは尋ねる数が1つで済み、対角線の長さも出します。扱う形が分かっているからです。このページは2つの数を尋ねる代わりに、三辺から千辺までのどの辺の数でも扱え、同じ辺の長さを10通りで1列に読み比べられます。測りたい六角形が決まっているなら六角形のページのほうが手数が少なく、テーブルの天板を六角形にするか八角形にするかで迷っているなら、このページがその比較そのものです。

周長の列からは、面積の列では分からない何が分かりますか

面積が「覆える広さ」なのに対して、周長は「作るのにどれだけ辺がいるか」を表します。周長は辺の長さ×辺の数なので、辺を固定すると直線的に増え、面積はそれに遅れて追いかけます。6cmの辺で三角形から正方形にすると周長は6、面積は20.4増えますが、二十辺から千辺にすると周長は5,880増えて面積は2,863,643増えます。見た目がほとんど変わらない形に、はるかに多くの辺を使うことになります。逆に周長を固定すると損得は反対になります。周長6,000では、五辺から六辺への1本が120,589 cm² を買うのに対し、最後の980本を全部足しても23,591です。ボルトの頭や床タイルが、より多くの角を持つ形ではなく六角形なのは、六辺を超えると増える面積より増える辺のほうが高くつくからです。

• Regular Polygon — このページが端から端まで扱う一族。面積・辺心距離・内角・対角線の構造を、すべて辺の数の関数として定義している — Wolfram MathWorld (United States)
• Apothem — 正多角形の中心から辺の中点までの距離。内接円の半径にあたり、2倍すると向かい合う辺の間の幅になる — Wolfram MathWorld (United States)
• Polygon — このページが正則の場合に特殊化している一般の閉じた図形。対角線の本数と、対角線の長さの種類数との区別を含む — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版）的通知——この通知の添付資料リストの第5項が《义务教育数学课程标准（2022年版）》にあたる。正多角形の辺の数・内角・周長・面積は義務教育段階の数学課程の内容で、課標の原文と学段の区分はこの添付による — 中华人民共和国教育部