平方根計算
計算結果
平方根
- 厳密な形
- 6√2
平方根の計算ツールです。小数の値と、根号を残したままいちばん簡単に書いた厳密な形を、一度に返します。被開方数を入れると、その中に隠れている最大の平方数を外へ出し、その因数を根号の前に移します。だから72の平方根は、丸めた小数ではなく6√2として返ります。整数だけでなく小数も受け付けるところが、一般的なn乗根のページとの違いです。被開方数1.5はまず分数に戻され、それから√6 ÷ 2に簡単になります。
平方根とその簡単な形
| 被開方数 | 厳密な形 |
|---|---|
| 2 | √2 |
| 3 | √3 |
| 5 | √5 |
| 8 | 2√2 |
| 12 | 2√3 |
| 16 | 4 |
| 18 | 3√2 |
| 25 | 5 |
| 27 | 3√3 |
| 50 | 5√2 |
| 72 | 6√2 |
| 144 | 12 |
| 200 | 10√2 |
この表には16と144という完全平方が2行あり、厳密な形は根号の付かない整数です。根号を残す行（8が2√2、72が6√2、200が10√2）と並べると、このページの分かれ目が見えます。根号が生き残るのは、その下に平方因数を持たない数が残ったときだけです。この表の被開方数はどれも整数です。小数の被開方数の表はローカライズが必要になります。1,5と書く言語と1.5と書く言語があるからです。整数はどこでも同じように書きます。反対に厳密な形の列は言葉を含まない表記なので、10言語すべてで同じ文字列になります。
公式
√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
- x
- 被開方数で、根号の下の数です。負にはできません。負の被開方数には実数の平方根が無く、実数を2乗すると必ず0以上になるからです。だからこのページはそれを拒否し、代わりにn乗根のページの奇数乗根を指します。0はかまいません。0の平方根は0です。
- m²
- 被開方数を割り切る最大の平方数で、4、9、16、25、36…と続きます。これを見つけることが簡単化のすべてで、このページは大きいほうから探すので、最初に見つかった因数が最大のものになります。72なら36で、根号の下には2が残ります。
- m
- その平方数の平方根で、根号の前に出てきます。72の場合が6です。係数が1以外の整数ならそのまま印字するので、厳密な形は6√2と読めます。係数が1のときは印字せずに省きます。1√2はその数の書き方ではないからです。
- r
- 平方因数をすべて外へ出したあとに根号の下に残ったものです。平方因数を持たない、つまりどんな平方数でも割り切れない状態で、それがあるからこそこの形が最終形になります。何も残らない場合、つまり被開方数がもともと平方数だった場合は根号がまるごと消え、144の平方根のように厳密な形はただの数になります。
- √x
- 小数で表した値で、6桁で報告します。厳密な形を評価したのと同じ数で、6√2は8.485281です。それでも置き換えるのではなく隣に印字します。2つは別の問いに答えるからです。小数は読者が測るためのもので、厳密な形は読者が証明するためのものです。
計算例
72の平方根を簡単にする
- 72を割り切る最大の平方数を探す
- 36が割り切る：72 ÷ 36 = 2なので、72 = 36 × 2
- 36の平方根は6で、前に出てくる：√72 = 6√2
- 厳密な形を評価すると8.485281
2列の並びを取る価値があると分かる例です。小数としては√72は8.485281で、それ以上言うことはありません。厳密な形としては6√2で、これを2乗するとちょうど72に戻ることが一目で分かります。検算は1行です。6√2の2乗は36 × 2で、72になります。
小数1桁の被開方数
- 小数の被開方数はまず分数に戻す：1.5 = 3/2
- √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ dで、根を分子と分母に分ける
- すると√(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2になる
- 小数は1.224745
厳密な形がスラッシュではなく割り算記号を使うのは意図的です。√6/2と書くと読みが2通りになり、6の半分の平方根、つまり√3とも読めてしまいます。このページは√6 ÷ 2と印字するので、読みは1つだけです。n乗根のページが意図的に受け取らないのがこの場合で、あちらは整数の被開方数を要求します。
小数が完全平方だった場合
- 2.25は分数では9/4
- どちらの部分も完全平方：√9 = 3、√4 = 2
- 根号の下には何も残らないので、厳密な形は分数の3/2
- 小数では1.5
根号が空になると、厳密な形は根号ではなくなります。ただの分数で、それが被開方数が完全平方だったという合図です。あとの計算では1.5より3/2のほうが好ましいです。3を掛けて2で割るほうが、小数では保てない厳密さを保てます。
適用限界
被開方数は負にはできません。負の数の平方根は実数ではなく、実数を2乗しても負にはならないからです。0は受け付け、0を返します。被開方数は小数2桁までで、3桁目は丸めずに拒否します。簡単化は小数を分数に戻してから試し割りで行うので、小数が1桁増えるたびに作業が10倍になります。だからこのページは、少し違う数の簡単な形を黙って印字するのではなく、限界をそのまま告げます。厳密な形は数ではなく表記です。根号と割り算記号は言葉を運ばないので、どの言語でも同じように書きます。反対に小数は6桁に丸めていて、これは表示の限界であって精度の限界ではありません。指数は2に固定です。このページは平方根だけを簡単にします。立方根、4乗根、その他の指数、そして負の数の奇数乗根は、このページがリンクしているn乗根のページの担当です。
よくある質問
- 平方根を簡単にすると何が起きるのか
- 最大の平方数を根号の下から外へ出すことです。72の平方根は6√2と同じ数で、近似も丸めもされていません。ただ6√2のほうが整った書き方で、あとの計算で使っても厳密さが保てる形です。簡単にしても値は変わらず、綴り方が変わるだけです。
- どこまで簡単になれば終わりなのか
- 根号の下に、平方数で割り切れるものが残っていないときです。6√2の2は平方因数を持ちません。4でも9でも割り切れず、それより大きい平方数でも割り切れないので、この形が最終です。このページが止まる場所の決め方も同じで、最大の平方因数を大きいほうから探し、最初に見つかったところで止めます。
- 厳密な形が割り算記号で書かれているのはなぜか
- スラッシュだと読みが曖昧になるからです。√6/2は6の平方根を2で割ったものとも、6の半分の平方根とも読めて、この2つは別の数です。後者は√3になります。√6 ÷ 2と印字すれば読みは1つです。係数が1のときに省くのも同じ理由で、短くするためではなく誤読できないように表記を選んでいます。
- 小数の被開方数は入力できるのか
- はい、小数2桁までです。このページは小数を分数に戻し、√(n ÷ d) = √(n · d) ÷ dで分子と分母の根を別々に取ります。1.5の平方根は√6 ÷ 2で、2.25の平方根は厳密に3/2です。3桁目は拒否します。1桁増えるたびに試し割りが10倍になるからです。
- 小数の平方根が分数で出ることがあるのはなぜか
- 被開方数が分数の完全平方になっていると、根号の下に何も残らず、厳密な形がただの分数に潰れます。2.25の平方根が3/2です。整数の被開方数が完全平方のときに厳密な形がただの整数に潰れるのと同じ規則です。根号が空になれば、それを書き囲むものが残りません。
- ここで負の被開方数が拒否されるのはなぜか
- 2乗して負になる実数が無いので、負の被開方数の平方根は実数にすらなりません。このページの平方根は指数が2に固定で、負を許す奇数の指数の半分がありません。n乗根のページは負の数の立方根を受け取ります。負の数の奇数乗は負のままになるからで、このページはそちらを指しています。
参考文献
- Square Root — 定義、主平方根、そして被開方数から平方因数を外へ出す規則 — Wolfram MathWorld (United States)
- Radical — 根号、被開方数、そして主平方根は負でないほうを取るという約束 — Wolfram MathWorld (United States)
- Square Number — 簡単化が探す完全平方。4から、被開方数が許すところまで — Wolfram MathWorld (United States)