二次方程式計算

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

x²の係数です。0にはできません。aが0だと方程式は直線の姿をした別物になり、解は2つではなく1つになり、和と積の式はどちらもaで割ることになります。このページはその入力を拒否し、答えを別の問いのものに差し替えるのではなく、どれが欠けているかを告げます。

b

xの係数です。その符号は公式のプラスマイナスが読むもので、桁落ちの危険もここにあります。bが大きく2つの解が離れているとき、一方の平方根からもう一方を引くと桁が失われます。このページはそれが問題にならないことを願うのではなく、その引き算自体を避けています。

c

定数項です。2つの解の積にaを掛けたもので、計算ツールなしでできる最速の検算になります。期待した解の積がc ÷ aにならなければ、もっと手前のどこかが間違っています。cが0のときは一方の解が0、もう一方が−b ÷ aになり、特別扱いなしに式からそのまま出てきます。

Δ = b² − 4ac

判別式で、答えの形を決める1つの数です。正なら異なる2つの実数解、0なら1つの重解、負なら解は複素数で共役な組になります。このページはこれを2回使います。1回はどの解を計算するかを選ぶため、もう1回は結果の上に出すバッジを選ぶためです。2つの読みは同じ値から来ているので、食い違うことがありません。

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

解の公式そのものです。プラスマイナスが1つの式から2つの解を生み、実数の範囲で失敗しうるのは平方根の段だけです。Δが負なら実数の平方根は取れず、まさにその場合にこのページは複素数の範囲で答えます。2aで割ることは、aが0であってはならない理由でもあります。

x₁ + x₂ = −b ÷ a

解の和で、解と係数の関係として知られる式の一方です。解が複素数でもそのまま成り立つので印字する価値があります。x² − 2x + 5の解は1 + 2iと1 - 2iで、足すとやはり2になります。判別式が負のときに答えをでっち上げているのではと疑った読者は、この行を見て、自分が入力した方程式と矛盾していないことを確かめられます。

x₁ · x₂ = c ÷ a

解の積で、解と係数の関係のもう一方です。定数項の符号の誤りを捕まえる検算になります。最高次の係数が1の方程式ではそのままcです。x² − 3x + 2は(x − 1)(x − 2)と因数分解できるので、解の積は2、和は3になります。和と同じく、解が複素数でも変わりません。

b² − 4ac = 0

境界の場合で、2つの解が1つに潰れ、同じ値が2行に印字されます。珍しい端ではありません。完全平方式の条件そのものなので、因数分解の練習には必ず出てきます。結果の上のバッジがそのことを告げる形に変わり、解の個数が言葉で示されるのはこのページでそこだけです。

x²の項がある方程式の解が欲しいときに使います。実際には3つの場面になります。因数分解がすぐには見えない練習問題、係数が測定値から来ていて因数分解が使えない物理モデル、そして答えが複素数だと分かっていて実数解だけの扱いでは何も残らない場合です。すでにやった因数分解の確認にも使えます。解の和と積が印字されるので、(x − 1)(x − 2)を展開し直さなくても確かめられます。aが0だったときは直線の傾きのページへ進んでください。それは直線で、ax + by = cを扱うページが答えます。必要な操作が平方根そのものならn乗根のページへ、x²を解くのではなく計算したいだけなら指数のページへ進んでください。

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. 判別式を求める：Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δが正なので、2つの解は実数で異なる
   3. √Δ = 1なので、解は(3 + 1) ÷ 2 = 2と(3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. 降順に並べて2が1行目、検算も合う：2 + 1 = 3、2 × 1 = 2

   多くの読者が持ち込む方程式で、(x − 1)(x − 2)ときれいに因数分解できる場合です。だからパネルの数はどれも、因数を展開し直せば確かめられます。計算ツールを使うほどでもないと思うくらい簡単に見える答えですが、そこが要点です。パネルは答えをすでに知っている問題で途中を見せており、知らない問題でも同じ5行が返ります。

2. x² − x − 1 = 0

   1. 判別式：Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δは正だが平方数ではないので、解は無理数になる
   3. √5 = 2.2360679…なので、解は(1 + 2.2360679…) ÷ 2と(1 − 2.2360679…) ÷ 2
   4. 小数6桁で印字して1.618034と−0.618034

   黄金比の場合で、このページが分数を厳密なときにしか印字しない理由がここに出ます。(1 + √5) ÷ 2に等しい分数は存在しないので、答えは小数になります。1.618034を見た読者はそれが丸められた値だと分かりますが、同じ数が分数で書かれていれば厳密に見えてしまいます。2つの解の積はちょうど−1で、これは入力ではなく計算のほうを確かめてくれる種類の一致です。

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. 判別式：Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5なので、解は(−3 + 5) ÷ 4 = 1/2と(−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. 1つ目の解は分数で厳密に表せるので、0.5ではなく1/2と印字する
   4. 検算：1/2 + (−2) = −1.5、1/2 × (−2) = −1

   このページの解の印字方法を決める例です。どちらの解も厳密に表せますが、小さい方は整数で大きい方は分数です。「解は小数で出る」と思い込んだ読者は、1行目で外して2行目で当たることになります。分数を読めるようにしているのが和と積です。−1.5が1/2と−2の和だとすぐには分かりませんが、確かめるのは1行で済みます。

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. 判別式：Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δが負なので、解は複素数で共役な組になる
   3. 実部は−b ÷ 2a = 1、虚部は√16 ÷ 2 = 2
   4. どちらの解も印字され、解と係数の関係も成り立つ：和は2、積は5

   「実数解なし」と書いて止まるページと、このページが分かれるところです。2つの解は完全に確定した数で、2つの検算の行がそれを証明します。2と5は方程式が要求する和と積で、解が実数だったとしても同じ値が返ってきます。答えは無いと言われた読者は、それを信じる前にこの例の最後の2行を読んでください。

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. 判別式：Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δがちょうど0なので、2つの解は一致する
   3. 重解は−b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. パネルは2を両方の行に印字し、解を2回数えるので和は4になる

   バッジが存在する理由になった境界です。方程式は(x − 2)²なので両方の行が2を言い、その組はどこも間違いには見えません。ところが行を数えた読者は、解が1つしかないのに2つあると結論してしまいます。結果の上のバッジが「1つの重解」と告げ、和が2ではなく4になることが、その判定と計算の一致です。

このページは二次方程式を解いて、そこで止まります。三次・四次やx⁴の項がある方程式には独自の方法と独自のページがあり、ここからそれらへ広がるものはありません。最高次の係数が0の場合は、黙って一次方程式として扱うのではなく拒否します。bx + c = 0はその形を扱う直線の傾きのページへ回してください。判別式が負のときは解をa ± biの形の複素数として印字しますが、これは読んで確かめるには十分でも、複素数の計算ツールではありません。2つを手で掛けるのは読者の仕事になります。無理数の解は小数6桁で印字され、これは表示の限界であって精度の限界ではありません。背後の計算は倍精度いっぱいで走り、丸めは出口でだけ起きます。2つの解の順序は公式ではなく約束で決まっているので、逆順に並べている本やページがあっても、それは矛盾ではなく並べ方が違うだけです。係数は絶対値100万までに限っています。これは表示の範囲であって数学的な範囲ではありません。最後に、解の和と積もほかの出力と同じ小数6桁で印字されます。和が厳密に3分の1になる場合でも、分数ではなく0.333333で返ります。分数の扱いを受けるのは解の列だけで、この2つは受けません。

判別式が負のときはどうするのか

このページがそれでも印字する2つの解を読んでください。判別式が負というのは、解が2つの実数ではなく共役な複素数の組になるという意味で、どちらも完全に確定した数です。x² − 2x + 5の解は1 + 2iと1 - 2iです。多くの教科書は「実数解なし」で止まりますが、それは正しくても不完全です。方程式にはやはり2つの解があり、このページの和と積の行がそれを裏づけます。

どちらの解が1つ目なのか

2つのうち大きい方です。公式のプラスマイナスは解を順序づけないので、このページが選ぶ必要があり、降順を選んでいます。つまり解1が解2より小さくなることはありません。これは見た目より重要です。順序が決まっていないと、bの符号を変えるだけで2つの行が入れ替わり、2つの計算を見比べた読者は答えが変わったと思ってしまいます。

解が分数で出たり小数で出たりするのはなぜか

厳密に表せて分母が小さいときは分数、それ以外は小数で印字します。2x² + 3x − 2の解は1/2と−2で、1/2は厳密でもあり短くもあります。だから分数で書きます。そこを0.5と印字すると、丸めた値だという印象を与えてしまいます。黄金比は(1 + √5) ÷ 2で、これは分数ではありません。だから1.618034と書き、小数点がその値の近似であることを告げます。

aが0だったらどうなるのか

このページは解くのではなく入力を拒否します。aが0だと方程式はbx + c = 0、つまり解が−c ÷ bの1つだけの直線になり、解の和と積の式はどちらもaで割るので意味を失います。その形の方程式は直線の傾きのページが扱うので、拒否のメッセージはそこを指します。

判別式は何に使うのか

ほかを計算する前に、3つの場合のどれなのかを教えてくれる1つの数です。Δ = b² − 4acで、正なら異なる2つの実数解、0なら1つの重解、負なら共役な複素数の組になります。公式では平方根の中に入るので、その符号は「実数の平方根が取れるか」という問いそのものです。

因数分解の確認に使えるのか

使えますし、そのために解の和と積の行があります。x² − 3x + 2が(x − 1)(x − 2)と因数分解できると思うなら、解は1と2、和は3、積は2になるはずで、パネルはそう印字します。定数項の符号の誤りは、積の符号が違う形ですぐに出るので、かっこを展開し直すより速く分かります。

• Quadratic Equation — 解の公式、判別式、そして判別式が区別する3つの場合。このページが印字する複素数の解もそこに含まれる — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — 係数の1つの組み合わせが、解の個数と種類をどう決めるか — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — 多項式の係数と、解の和・積の関係。このページが検算として印字しているもの — Wolfram MathWorld (United States)