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平方完成計算

範囲：-1,000,000〜1,000,000

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計算結果

(x + 3)² - 4

平方完成した形

頂点x
-3.000000
頂点y
-4.000000

平方完成とは、二次式を頂点が読み取れる形に書き直す操作です。ax² + bx + cはa(x − h)² + kになり、放物線の頂点は(h, k)に来ます。方程式を解くページではありません。根を求めるのは別のページで、こちらが変えるのは式の形であり、その形のおかげで頂点の位置と放物線の開く向きが一目で分かります。分数になる値は小数にせず分数のまま印字するので、計算は厳密なまま保たれます。x² + xは(x + 0.5)² − 0.25ではなく(x + 1/2)² − 1/4と書かれます。

二次式と、その平方完成した形

abc平方完成した形
165(x + 3)² - 4
1-43(x - 2)² - 1
121(x + 1)²
10-9x² - 9
2412(x + 1)² - 1
3613(x + 1)² - 2
110(x + 1/2)² - 1/4
5-1035(x - 1)² - 2

各行はax² + bx + cの3つの係数を取り、同じ式を書き直したものを返します。行は恣意的ではなく印字の規則を網羅するように選んであります。2行目は負のbから正の頂点を引き出し、3行目は末尾の定数が完全に落ちた完全平方式、4行目は頂点がy軸の上にあるので括弧が出てこず、5行目は先頭の係数2が前に出ています。7行目は分数の場合で、奇数の係数の半分が0.5にならず1/2のまま厳密に残ります。最初の3列はすべて整数で、4列目は記号で組み立てた記法なので、この表は10の言語すべてで同じものになります。小数の係数の表は言語ごとに書き分けが要ります。1.5はそのうちのいくつかの言語で1,5と書かれるからです。

公式

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a
先頭の係数で、ゼロにはできません。aがゼロだと2乗の項が消え、式は二次関数ではなく直線になり、完成させるべき平方がなくなります。aの符号が放物線の開く向きを決め、正なら上に、負なら下に開きます。大きさは曲線の細さを決めます。
b
1次の項の係数です。頂点の水平位置を決めるのはこれで、hは−bを2aで割った値になります。bが正なら頂点は左へ、bが負なら右へ寄ります。bの2乗はkにも入るので、aが小さくbが大きいと頂点は縦に大きく動きます。
c
定数項です。放物線全体を上下にずらし、頂点を横にはまったく動かしません。cはkにだけ現れ、hには現れません。省略時にゼロとみなさず必須の入力にしているのは、省くと印字される形のkが誤った値になるのに、ページ上では何かが仮定されたことが一切見えないからです。
h
頂点のx座標で、−b ÷ 2aに等しくなります。2乗の項をゼロにするxの値のことで、ここでの頂点という言葉の意味がそれです。aが正なら曲線の最低点、負なら最高点になります。印字される形では符号が括弧の中に折り込まれるので、頂点が−3なら(x − (−3))²ではなく(x + 3)²と書かれます。
k
頂点のy座標で、c − b² ÷ 4aに等しくなります。xがhに等しいときに式全体が取る値なので、aが正なら二次式の最小値、負なら最大値です。kがちょうどゼロになるときは定数の部分が丸ごと落ち、完全平方式は(x + 3)² + 0ではなく(x + 3)²と書かれます。

計算例

  1. x² + 6x + 5を平方完成する

    1. xの係数を半分にする：6 ÷ 2 = 3なので、括弧は(x + 3)
    2. それを2乗する：(x + 3)² = x² + 6x + 9で、もとの式より4大きい
    3. 余分を引く：(x + 3)² − 4
    4. 頂点は(−3, −4)にあり、先頭の係数が正なので放物線は上に開く

    標準的な計算例で、展開すれば検算できるものです。括弧は、その2乗が最初の2項をちょうど再現するように選びます。その2乗が行き過ぎた分を引き戻せば、同じ式が別の形で出てきます。この形になれば、頂点は計算なしで読み取れます。

  2. 分数が出てくる形

    1. 1の半分を取って括弧を作る：(x + 1/2)
    2. 2乗するとx² + x + 1/4で、x² + xより4分の1大きい
    3. その4分の1を引く：(x + 1/2)² − 1/4
    4. 頂点は(−1/2, −1/4)にあり、2つの数値列はこれを−0.5と−0.25として報告する

    分数印字の存在意義が出る場面です。奇数の係数の半分は分数になり、計算の間ずっと分数のままなので、印字される形は厳密です。一方0.5と0.25はその小数表記の1つにすぎません。2つの数値列は数であって記号ではないので、必然的に小数を使います。ここでは互いのために両方を読む価値があります。

  3. 完全平方式になる場合

    1. 6の半分を取って括弧を作る：(x + 3)
    2. 2乗するとx² + 6x + 9で、もとの式とちょうど一致する
    3. 余りが出ないので、印字される形から定数項が消える
    4. 頂点はx軸の上、( −3, 0)にある

    定数を+ 0と印字せずに落とす理由が見えるケースです。式がすでに完全平方式のとき、頂点はx軸に接し、完成した形は3項ではなく2項になります。末尾が消えていること自体が情報で、その二次式がそのxの値に重解を持つこと、つまり根のページなら答えを1つだけ返す事実を伝えています。

適用限界

先頭の係数はゼロにできません。aがゼロだと式は1次になり、グラフは直線で、平方を完成させるという考え方自体が当てはまりません。このページはhを求める途中でゼロ除算に突入する代わりに、その入力を断ります。3つの係数はそれぞれ100万までに限られます。頂点の座標はbの2乗とともに大きくなるので、その範囲を超えるとkの列が数千億の桁に達し、読者が使える数ではなくなるからです。印字される形の値は、分母が割り切れて1,000以下のときは分数、それ以外は小数6桁で表示します。頂点の座標を示す2列はつねに小数です。そこに入るのは記号ではなく数だからです。このページは二次方程式を解きません。式を頂点が読める形に直し、頂点の座標を報告するだけです。根、つまり放物線がx軸と交わる点は、ここからリンクしている二次方程式のページで計算します。放物線が上に開くか下に開くかも印字しません。それは先頭の係数の符号で決まり、その符号は3つの結果のどれでもなく、最初に入力した欄に見えています。

よくある質問

平方完成をすると何が起きるのか
二次式がa(x − h)² + kという頂点の読める形に書き換わります。この形なら、放物線の頂点を計算し直さなくても式から直接読み取れます。手順は、xの係数の半分を取り、その括弧を2乗し、2乗で増えた分を引くだけです。式の値は何も変わりません。変わるのは形だけです。
数が分数で印字されるのはなぜか
奇数の係数の半分は分数になり、その分数は残りの計算を通じて厳密なままだからです。1/2を0.5と書くのは害がないように見えますが、次の手順で掛け算に使った瞬間に丸めが必要になり、答えがずれていきます。印字される形は、分母が割り切れて1,000以下のときは分数を使い、それができないときだけ小数6桁に落とします。
放物線が上に開くか下に開くかはどう分かるのか
先頭の係数aの符号で決まります。正なら上、負なら下に開きます。このページはその結論を印字しません。aの符号は3つの結果のどこにも現れず、入力した最初の欄に見えているからです。頂点の読める形もその符号を反映しています。aが正なら頂点は二次式の最小値、負なら最大値になります。
このページは二次方程式を解くのか
解きません。式を頂点が読める形に直し、頂点の座標を報告するだけです。解くというのは式がゼロになるxの値、つまり放物線がx軸と交わる点を求めることで、それは下にリンクしている二次方程式のページが行います。2つのページは同じ3つの係数を受け取り、片方は式を、もう片方は根を返します。
答えから定数項が消えることがあるのはなぜか
その値がゼロになったからです。二次式がすでに完全平方式のときは頂点がx軸に乗り、印字される形は末尾を+ 0と書かずに落とします。x + 3の2乗は(x + 3)² + 0ではなく(x + 3)²です。末尾が消えていることには意味があり、そのxの値に重解があることを教えてくれます。
先頭の係数がゼロではいけないのはなぜか
2乗の項がなくなり、式が直線になって、完成させるべき平方が存在しなくなるからです。頂点を求めるために2aで割る計算もゼロ除算になります。直線の頂点は同じ意味での確定した点ではありません。このページは意味の通らない形を出す代わりに、その入力を名指しして断ります。

参考文献

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