頂点形計算
計算結果
頂点形
- 頂点x
- 1.000000
- 頂点y
- -1.000000
2次関数の頂点形はy = a(x - h)² + kで、これを持つ価値は放物線の頂点がそのまま見えることにあります。点(h, k)が計算なしで読み取れるのです。標準形ax² + bx + cの3つの係数を入れると、同じ曲線がもう一方の書き方で返ってきて、その隣に頂点が2つの数として並びます。気をつけるのは括弧の中の符号だけです。(x - 3)は頂点をx = 3に置き、(x + 3)はx = -3に置きます。この2つは別の点です。頂点を通る縦の直線が対称軸で、放物線はそれを境に鏡像になっています。
8つの2次関数と、それぞれの頂点形
| a | b | c | 頂点形 |
|---|---|---|---|
| 1 | -6 | 5 | y = (x - 3)² - 4 |
| 1 | 6 | 5 | y = (x + 3)² - 4 |
| 1 | 0 | -9 | y = x² - 9 |
| -1 | 0 | 4 | y = -x² + 4 |
| 2 | -4 | 1 | y = 2(x - 1)² - 1 |
| 1 | 2 | 1 | y = (x + 1)² |
| -2 | 4 | 3 | y = -2(x - 1)² + 5 |
| 0.5 | 3 | 0.5 | y = (1/2)(x + 3)² - 4 |
どの行も標準形の2次関数と、それが同じ曲線である頂点形で、上のフォームに答えるのと同じコードで計算しています。行は答えが取りうる形を覆うように選んでいます。ふつうの上に開く曲線、その鏡像、括弧が潰れるy軸上の頂点、先頭の係数が-1の下に開くもの、係数が2のもの、x軸に乗った頂点、係数が-1でない下に開くもの、そして先頭の係数が分数で括弧が要るものです。最後の列を下へ読むと、2つの座標が別々に動くのが見えます。括弧の中の数は符号を反転させた頂点のxで、外の数はそのままの頂点のyです。
公式
y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k
- a
- 広がり具合と向きです。標準形と同じ数で、頂点形にしても変わりません。今は括弧の前に座っています。正なら上に開き、負なら下に開き、その大きさが放物線の細さを決めます。|a|が1より大きければ素のx²より細く、1より小さければ広くなります。
- h
- 頂点のx座標で、括弧はこれを中心に組み立てられます。括弧の中に入るときに符号が反転します。頂点がx = -3なら(x + 3)と書きます。対称軸でもあり、曲線のいちばん高い点か低い点は縦の直線x = hの上にあります。
- k
- 頂点のy座標で、そこで曲線が取る値です。上に開くときは最小値、下に開くときは最大値になります。平方が残りを引き受けたあとに余るもので、k = 0は頂点がちょうどx軸に乗る特別な場合です。
- x, y
- できあがった式の2つの変数です。それを満たす組はどれもこの曲線の上にあり、だから頂点形は放物線の完全な記述になります。標準形と同じ記述を、いちばん面白い点がそのまま読めるように並べ替えたものです。
2次関数が標準形で手元にあり、知りたいのが曲線の向きが変わるところ、つまり利益の最大値や費用の最小値、投げたボールのいちばん高い点であるときに使います。概形を描きたいときにも使えます。頂点と開く向きで形の大半が決まるからです。頂点のほうが与えられていて標準形が欲しい、という逆の問いにも同じ式が使えます。どの2次関数にも頂点は1つあり、3つの係数だけで見つかります。
計算例
y = 2x² - 4x + 1、先頭の係数が1以外の場合
- 頂点のx：h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
- 頂点のy：k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
- 括弧はh = 1を中心に作るので、(x - 1)になる
- 先頭の係数2を括弧の前に置く：y = 2(x - 1)² - 1
検算は展開して戻すことです。2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2で、-1を足すと2x² - 4x + 1に戻り、出発点になります。だからこれは別の曲線ではなく書き直しなのです。同じ放物線を、係数ではなく向きの変わる点で記述したものです。前の2はちゃんと働いていて消えません。先頭の係数が1のときだけ、括弧が単独で立つことになります。
y = -x² + 4、xの項が無く下に開く場合
- 頂点のx：h = -0 / (2 × -1) = 0
- 頂点のy：k = 4 - 0 = 4
- h = 0なので括弧は(x - 0)になってしまい、裸のx²に潰れる
- 先頭の係数-1は負号1つで書く：y = -x² + 4
頂点形と標準形が同じ文字列になる場合で、そこが要点です。bが0のときは頂点がすでにy軸の上にあるので、動かすものも平方完成するものもありませんでした。答えは変化ではなく説明として読んでください。この曲線は下に開き、(0, 4)で向きを変えます。原点より4だけ上です。
y = 0.5x² + 3x + 0.5、先頭の係数が分数の場合
- 頂点のx：h = -3 / (2 × 0.5) = -3
- 頂点のy：k = 0.5 - 9 / 2 = 0.5 - 4.5 = -4
- 括弧はh = -3を中心に作るので、(x + 3)になる。符号が反転する
- 2分の1は分数として印字し、括弧でくくる。1/2(x + 3)²は1を2(x + 3)²で割ったものと読まれるから：y = (1/2)(x + 3)² - 4
展開すると確かめられます。(1/2)(x + 3)² = 0.5x² + 3x + 4.5で、4.5 - 4が定数を0.5に戻します。分数が出るのは係数が分数だったからで、何かを近似したからではありません。1/2は厳密で、0.5は同じ数ですが、印字されるのは人が手で書くほうの形です。
適用限界
先頭の係数aは0にできません。a = 0だと平方完成するものが無く、報告すべき頂点もありません。グラフが直線になるからです。このページは答えをでっち上げずに入力を拒否します。係数はどちらの向きも100万までに限っています。aが極端に小さくbが極端に大きい場合も拒否します。頂点が数の意味を成さなくなる場所まで押し出されるからです。このページは式を印字するだけで、解いたりはしません。解も、曲線がx軸と交わる場所も、別のxでのyの値も告げません。解は二次方程式のページが、頂点形を展開し直すのはFOIL（展開）のページが担当します。数は分母が十分小さくて読めるときは分数で、それ以外は小数6桁で印字するので、頂点が3分の1のときは0.333333と出ます。単位はどこにも関わりません。2次関数の係数は測定値ではなく数だからです。
よくある質問
- 頂点形とは何か
- y = a(x - h)² + kのことです。2次関数を、頂点がそのまま見える形で書く書き方で、放物線の向きの変わる点は点(h, k)になり、どちらの座標も計算なしで式から読み取れます。標準形ax² + bx + cは同じ曲線を表していて、2つは互いの並べ替えです。aはどちらでも同じ数です。
- 平方完成の計算ツールとは何が違うのか
- 計算は同じで、頂点もまったく同じものが出ます。2つのページはまったく同じ3つの係数を受け取るからです。違うのは返ってくるものです。あちらは書き直した式a(x - h)² + kを印字し、そこへ至る手順を説明します。このページは放物線の方程式y = a(x - h)² + kを印字し、グラフを読むこと、つまりどこで向きを変えるか、どちらへ開くか、どれだけ細いかを扱います。
- 放物線が上に開くか下に開くかはどう見分けるのか
- 括弧の前にある数aの符号で決まります。正なら上に開くので頂点が曲線のいちばん低い点になり、kが最小値です。負なら下に開くので頂点がいちばん高い点になり、kが最大値です。このページは判定を印字しません。aの符号は出力の1つではないからです。ただし式の中の、括弧のすぐ前にあります。
- 対称軸はどこにあるのか
- x = hです。頂点を通る縦の直線で、括弧の中に出てくるのと同じhです。放物線はその直線を境に鏡像になっていて、頂点が向きの変わる点になるのはそのためです。左側にあるものはすべて右側の何かの映しです。2つの解があるとき、それらが対称軸から同じ距離にあることも意味し、平均はhになります。
- 式が分数になることがあるのはなぜか
- 厳密な値が分数だったからです。数桁で終わり分母が小さい小数は分数として印字します。0.5は1/2、0.25は1/4です。手で書くときはそう書きますし、1/2はおよそ0.5ではなく厳密にその数だからです。それより長いものは小数6桁に丸めて印字するので、頂点が3分の1のときは0.333333として現れます。
- 答えから最後の項が消えることがあるのはなぜか
- 頂点のyが0で、式に何も足さないほうがよいからです。足せば常に0になる項が1つ増えるだけです。それが起こるのは、曲線がx軸を横切らずに接するとき、つまり頂点が軸の上に乗り、2次関数が完全平方になっているときだけです。だからy = (x + 1)²は切り詰められた形ではなく、完全な頂点形です。
参考文献
- Parabola vertex — このページが報告する点と、曲線がそこで向きを変える理由 — Wolfram MathWorld (United States)
- Vertex — 一般の曲線についての同じ概念。放物線の向きの変わる点はその一例 — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadratic polynomial — ax² + bx + cと、それが書けるいくつかの形。頂点形もその1つ — Wolfram MathWorld (United States)