FOIL計算
計算結果
展開形
- 最初の項
- 1.000000
- 外側の項
- 3.000000
- 内側の項
- 2.000000
- 最後の項
- 6.000000
FOIL計算は二項式の展開を行う道具で、2つの二項式を掛け、4つの積が足し合わさってできる二次式を表示します。FOILは掛ける順序のことです。最初、外側、内側、最後——2つの先頭の項、外側の2項、内側の2項、そして2つの定数です。4つの積はそれぞれ名前を付けて完成した展開形の隣に並ぶので、(x + 2)(x + 3)は1、3、2、6と読め、続けて展開形のx² + 5x + 6になります。負の係数も同じように扱い、真ん中の2つの積が一部打ち消し合えばそれを展開形が示します。計算の結果ゼロになる項は、係数0を付けて印字するのではなく落とします。分数の係数は分数のままにするので、答えは正確なままです。
4つの係数と、それが生む展開形
| a | b | c | d | 展開形 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | x² + 2x + 1 |
| 1 | 2 | 1 | 3 | x² + 5x + 6 |
| 1 | -2 | 1 | -3 | x² - 5x + 6 |
| 1 | 2 | 1 | -3 | x² - x - 6 |
| 1 | -1 | 1 | 1 | x² - 1 |
| 2 | 1 | 3 | 4 | 6x² + 11x + 4 |
| 1 | 5 | 1 | -5 | x² - 25 |
| 1 | 3 | 1 | 0 | x² + 3x |
| 1 | 0 | 1 | 7 | x² + 7x |
| -1 | 2 | 1 | 3 | -x² - x + 6 |
| 2 | -3 | 4 | 1 | 8x² - 10x - 3 |
| 1 | 10 | 1 | -10 | x² - 100 |
各行が(ax + b)(cx + d)の4つの係数を取り、それらが掛け合わさってできる二次式を示します。行は任意ではなく符号の組み合わせを覆うように選んであります。符号こそ、名前の付いた4つの積だけでは分からないものだからです。3行目は定数が2つとも負で、それでも正の項で終わります。4行目は片方ずつで、係数1を省略した負の真ん中の項を印字します。5行目は真ん中の項が完全に消えます。8行目は最後の項が欠け、9行目は内側の積が欠けており、どちらも係数0を付けて印字するのではなく落としています。10行目は負の先頭係数を裸のマイナスとして書きます。最初の4列は整数で最後は記法なので、この表はサイトが提供する10の言語で同じです。
公式
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd
- a, c
- xの係数で、2つの二項式から1つずつ取ります。どちらもゼロにはできません。xの項がゼロの二項式はただの定数で、それを掛けるのはこの方法ではありません。2つの積が展開の先頭の項になるので、答えの先頭の係数はaやcではなくacになります。
- b, d
- 2つの定数です。ゼロでも負でも分数でもよく、4つの積のうち2つを決めます。外側の組adと内側の組bcは足し合わさって真ん中の項になり、その積bdは末尾の定数になります。どちらも負のときに最後の項が再び正になるのが分かります。
- F, O, I, L
- 4つの積を、この方法が名付けた順に並べたものです。最初（ac）、外側（ad）、内側（bc）、最後（bd）。展開の真ん中の項は外側と内側の積の和で、FOILの中で2つの数が単に書き写されるのではなく合わさる唯一の段階です。
- x
- 2つの二項式が書かれている変数です。ここでは値を持ちません。答えは数ではなく式なので、主結果が数値の列ではなくテキストになっているのはそのためです。
2つの二項式を手で掛けて、結果を1段ずつ確かめたいときに使います。逆向き、つまり展開された二次式を積の形に書き戻すのは因数分解で、平方完成のページは同じ式を反対の端から始めます。
計算例
(x + 2)(x + 3)
- 最初：x × x = x²なので、1つ目の積は1
- 外側：x × 3 = 3xなので、外側の積は3
- 内側：2 × x = 2xなので、内側の積は2
- 最後：2 × 3 = 6
- 外側と内側が合わさって真ん中の項になる：3x + 2x = 5x
- 展開形はx² + 5x + 6
標準的な場合で、4つの積がすべて正で、しかも互いに異なります。真ん中の項は外側と内側の積を足したもので、読み手がいちばん飛ばしやすい段階です。両方の数が答えの隣に印字されていることが、その段階を確かめられるものにします。
どちらのxの係数も1でない場合
- 最初：2x × 3x = 6x²なので、先頭の係数は6
- 外側：2x × 4 = 8x
- 内側：1 × 3x = 3x
- 最後：1 × 4 = 4
- 真ん中の項：8x + 3x = 11x
- 展開形は6x² + 11x + 4
先頭の係数が単独の数ではなく積なので、どちらの二項式からも読み取れません。方法そのものは何も変わりません。真ん中の項はやはり外側と内側の積の和で、4つの数のうち2つが合わさる唯一の場所です。
2乗の差
- 最初：x × x = x²
- 外側：x × (−5) = −5x
- 内側：5 × x = 5x
- 最後：5 × (−5) = −25
- 外側と内側の積は−5xと+5xで、ちょうど打ち消し合う
- 真ん中の項が残らないので、展開形はx² − 25
真ん中の項が積ではなく和であることを示す場合です。名前の付いた4つの積はどれもゼロでないのに、展開形の項は2つしかありません。真ん中の項になるはずの2つが等しく反対だからです。4つの積を足さずに印字するページなら、項を1つ落としたように見えるでしょう。
適用限界
それぞれの二項式でxの係数はゼロにできません。どちらかがゼロだと組み合わせるxの項がなく、式は定数かける二項式になり、方法の最初の段階が何も生みません。そのためその入力は名指しで断ります。4つの係数はどれも大きさ100万までに限られます。外側と内側の積は丸める前に足し合わされ、いちばん大きな途中の値が読み手の目で確かめられる範囲を超えて育つからです。分数の結果は、分母が1,000以下で割り切れるときは分数として、それ以外は小数6桁として印字するので、(x + 1/2)(x + 3)は0.5ではなく2分の1を印字します。このページは掛け算をしますが、因数分解はしません。展開された二次式から2つの二項式に戻るのは逆向きの問いで、このページはそれを試みません。
よくある質問
- FOILは何の略か
- 最初、外側、内側、最後です。2つの二項式から取る4組の項を、その順に名指ししています。2つの先頭の項、書かれた積の外側にある2つ、内側にある2つ、そして2つの定数です。4組を掛けて足し合わせると展開された二次式になります。
- 外側と内側の積はなぜ足すのか
- どちらもxの項を生み、同類項はまとまるからです。FOILの中で任意なものはありません。4つの積が組の完全な一覧で、結果はその和です。外側と内側の項だけが合流でき、2つの二項式の展開が4項ではなく3項になる理由がそこにあります。
- FOILは負の係数でも使えるのか
- 使え、符号はそれが属する項と一緒に動きます。(x + 5)(x − 5)では外側の積が−5x、内側の積が+5xで、打ち消し合って真ん中の項がまったく消え、2つの項だけが残ります。定数がどちらも負なのは別の場合で、最後の積が再び正になります。
- xの係数はゼロでもよいのか
- このページではよくありません。xの係数がゼロの二項式は実質ただの定数で、それを掛けるのはこの方法ではなくふつうの算術です。最初の段階が書き留めるものを何も生みません。その入力は黙って定数として扱われるのではなく、断られて名指しされます。
- 答えから項が1つ欠けることがあるのはなぜか
- その係数がゼロになったからです。外側と内側の積が打ち消し合うとxの項はまったくなくなり、展開形はx² + 0x − 25ではなくx² − 25と書かれます。空の項を落とすのはこのページの印字が全体で使っている約束事で、名前の付いた4つの積は何が起きたかをそのまま示しています。
- 分数の答えが分数のまま印字されるのはなぜか
- 分数は正確なままですが、小数はその綴りの1つにすぎないからです。(x + 1/2)(x + 3)のxの係数は2分の7で、それを3.5と印字するのはここでは正しくても、次の段階で掛けた瞬間にずれます。印字は分母が割り切れて1,000以下のときは分数を使い、どうしても必要なときだけ小数6桁に落ちます。
参考文献
- Quadratic Equation — 展開が左辺を作る方程式であり、係数が流れ込む標準形 — Wolfram MathWorld (United States)
- Completing the Square — 同じ二次式を反対から見たもの。展開形から平方の形へ — Wolfram MathWorld (United States)
- Parabola — 展開された二次式が描く曲線と、その係数を正しく取る価値がある理由 — Wolfram MathWorld (United States)