貯蓄目標計算

毎期の積立額 = (目標額 − 残高 × (1 + i)^n) × i ÷ ((1 + i)^n − 1) をセント単位で切り上げ | i = 年あたりのリターン ÷ 1年の積立回数、n = 年数 × 1年の積立回数

目標額

目指している残高で、入力した通貨での額です。このページは全体が目標額から逆算するので、違う通貨で入れた目標は違う通貨の積立額を返し、ページ側ではそれを検出できません。

すでに持っている残高

この目標のためにすでに取ってある額です。積立額と並んで複利がかかるので、積立額を解く前に目標から差し引かれます。5,000の元手は10年の目標で毎月の額をおよそ53下げ、元手が十分大きければ答えは負ではなくゼロになります。

i

期あたりのリターンで、年あたりのリターンを1年の積立回数で割ったものです。これは名目の市場金利であって銀行のAPYではありません。ポートフォリオの期待リターンは約束ではなく、ここでもそう扱うので、12で割るのであって根を取るのではありません。割ると同じ数を根にしたときより成長率がわずかに高くなるので、示される残高は2つの読みのうちわずかに気前のよいほうになります。

n

積立の回数で、年数に1年の積立回数を掛けたものです。成長率の中と年金の長さとしての2回登場し、だから締め切りを延ばすと積立額は最初は急に下がり、あとではほとんど下がらなくなります。

年あたりのリターン

インフレ前で、そのお金が1年に稼ぐと期待する額です。この種の目標がたいてい走る25年という期間では、この期待がほとんどの仕事をしています。このページの下のほうの表は、そこが5ポイント違うと積立額が3分の1以上変わることを示しています。そしてこのページで最も間違っている可能性が高い数でもあります。

ゴールが固定で積立額が未知のときに使います。住宅の頭金、学費の請求、いつまでにと自分に約束した金額などです。逆の問い——ある毎月の積立額がいくらになるか——には答えませんし、年ごとに変動するリターンもモデル化しないので、出てきた数は毎年見直す下限として扱い、放置する自動送金の指示とはしないでください。目標残高と積立期間という2つが決まっていて、毎月の額だけが自由だという場面が、まさにこのページの担当です。

1. 既定の目標

   1. 期数：10 × 12 = 120。期あたりの率：5% ÷ 12 = 0.4167%。
   2. 成長率：1.004167^120 = 1.64701。
   3. すでに持っている5,000は最後には5,000 × 1.64701 = 8,235.05になります。
   4. 埋めるべき残り：50,000 − 8,235.05 = 41,764.95。
   5. 年金係数：(1.64701 − 1) ÷ 0.004167 = 155.282。
   6. 切り上げ前の積立額：41,764.95 ÷ 155.282 = 268.96で、切り上げると268.97。
   7. 支払うのは268.97 × 120 = 32,276.40、これに最初の5,000を足して37,276.40。
   8. 得られる利息：50,001.32 − 37,276.40 = 12,724.92。

   残高は50,000ちょうどではなく1.32だけ行き過ぎます。それが切り上げの仕事です。切り上げない積立額268.9649では、最後に42セントほど足りなくなっていました。

2. ゼロから始める場合

   1. 先に複利がかかるものは無いので、50,000の全体が積立から出ることになります。
   2. 切り上げ前の積立額：50,000 ÷ 155.282 = 321.9945で、切り上げると322.00。
   3. 支払うのは322.00 × 120 = 38,640.00。
   4. 得られる利息：50,000.89 − 38,640.00 = 11,360.89。

   ひとつ上の行と比べてください。同じ目標で同じ10年ですが、5,000の元手が毎月53.03の積立額を置き換えました。元手は120期すべてのあいだ利息を生み、個々の積立はそれが入ったあとの期しか生まないからです。

3. リターンがゼロの場合

   1. リターンがゼロなら成長率は1なので、持っている残高は5,000のままで、不足は45,000です。
   2. 上の閉じた式は (1 − 1) = 0で割ることになるので、代わりに不足額を積立の回数で割ります：45,000 ÷ 120 = 375.00。
   3. 何も複利しないので、積立額は正確で切り上げも不要です。
   4. 支払う総額：5,000 + 45,000 = 50,000。得られる利息は0。

   答えは374.99でも375.01でもなく正確に375.00です。リターンがゼロなら割り算が割り切れるからです。このページのほかの行はどれも、1期あたり1セント未満の丸めの余りを抱えています。

4. 同じ目標を10年ではなく30年で

   1. 期数：30 × 12 = 360。成長率：1.004167^360 = 4.46774。
   2. すでに持っている5,000は5,000 × 4.46774 = 22,338.72になります。目標の半分近くが、手を触れずに。
   3. 埋めるべき残り：50,000 − 22,338.72 = 27,661.28。
   4. 年金係数：(4.46774 − 1) ÷ 0.004167 = 832.259。
   5. 積立額：27,661.28 ÷ 832.259 = 33.2367で、切り上げると33.24。
   6. 支払うのは33.24 × 360 = 11,966.40、これに5,000を足して16,966.40。
   7. 得られる利息：50,003.00 − 16,966.40 = 33,036.60。

   期間を3倍にすると積立額はおよそ8分の1になります。理由は長く払い込むからではなく——総額では3分の1しか払いません——元手と初期の積立が3倍長く複利されるからで、利息の行33,036.60は結局、入れたものすべてより大きくなります。

5. すでに目標を超えている場合

   1. 持っている60,000は60,000 × 1.64701 = 98,820.57になります。
   2. 引き算 (50,000 − 98,820.57) が負なので、解かれる積立額も負になります。負の積立額は誰も実行できない行為です。
   3. ページはそれを0.00で止め、それでも既存のお金だけが到達する残高を報告します。
   4. 得られる利息：98,820.57 − 60,000.00 = 38,820.57。

   98,821近い残高の隣に並ぶ積立額0.00は、空の結果ではなく正しい読みです。何も足す必要が無いと言っており、足さなければそのお金がどうなるかを示しています。

積立額はセント単位で切り上げるので、最後の残高は目標ちょうどではなく少し上に来ます。既定のケースで1.32です。反対のやり方のほうが悪い結果になります。セント単位の四捨五入は、目標のおよそ半分を数セント届かなくし、目標の名を冠したページが目標を外す数を返すべきではありません。年あたりのリターンは12で割る名目金利であって、銀行のAPYではありません。ポートフォリオではなく預金口座の値段を付けているなら、それは数の間違った読みで、結果を実際より良く見せます。対処はFAQに書いてあります。インフレはモデル化していません。今日のお金で述べた目標は明日のお金で達成されるので、10年後の50,000は今の50,000より買えるものが少なくなります。目標が実質のものなら、目標額のほうを自分で引き上げるか、このサイトの老後資金のページがやっているようにリターンからインフレ期待を引いてください。口座にかかる税金もモデル化していません。課税口座の利息と配当は発生のつど課税され、このページが前提にしている放置の複利を鈍らせます。入力したリターンでその目標が達成可能かどうかは、ここでは何も確かめません。30パーセントのリターンは不可能な締め切りを簡単なものに変え、ページは何も言わずにそれを印字します。あなたの期待が妥当かどうかを見分ける手立てが無いからです。

積立額が四捨五入ではなく切り上げなのはなぜか

このページが目標の名を冠しているからで、セント単位の四捨五入ではおよそ半分の確率で目標を外します。既定のケースの正確な答えは毎月268.9649です。セント単位に丸めると268.96になり、120回の積立のあと50,000に42セントほど届きません。切り上げると268.97になり、1.32上で終わります。どちらも1セント単位の違いですが、目標に届くのは片方だけで、確実にするための余分な費用は1期あたり最大1セントです。

最後の残高が目標を上回っているのは誤りか

いいえ、それが切り上げです。行き過ぎは積立1回につき最大1セントと、その1セントが稼いだ分なので、期間とともに大きくなります。10年で1.32、30年で3.00です。目標ちょうどを見ることが目標に届くことより大事なら、積立額を1セント下げて残高を少し下で終わらせてください。上の答えの理由により、ページはそうはしません。

すでに目標より多く貯めている場合は

積立額は0.00で返り、示される残高は既存のお金だけが締め切りまでに到達する額です。その時点で計算は平気で負の積立額を返しますが、負の額を払い込むのは行為ではないので、ページは0で止めます。結果は空の答えではなく「これ以上は不要」と読んでください。パネルのほかの2つの数は、放置した場合にそのお金がどうなるかを依然として教えてくれます。

年あたりのリターンは銀行の金利なのかAPYなのか

名目の年あたりリターンで、ページはそれを12で割って期あたりの率にします。ポートフォリオの予想リターンにはそれが正しい読みで、預金口座には間違った読みです。定期預金や貯蓄口座に積み立てているなら、銀行が提示する率は複利をすでに含んだAPYで、それをここに入れると複利をもう一度かけることになり結果を過大にします。そうした場合は、率を割るのではなく根を取るこのサイトのAPYのページを使ってください。

リターンがゼロだとどうなるのか

ページは式を切り替えます。閉じた式は成長率から1を引いたもので割り、リターンがゼロだと成長率はちょうど1なので分母がゼロになります。それでも答えはきちんと定義でき、単に不足額を積立の回数で割ったもの——45,000を120か月で割ると毎月375.00です。リターンがゼロというのは退化した入力ではなく現実的に計画すべき前提で、だからリターンの表のいちばん上に専用の行があります。

リターンは毎月複利なのか年1回複利なのか

頻度の欄で選んだとおりで、その選択が変えるのは年あたりリターンの分け方だけで、意味は変わりません。毎月の積立は年あたりリターンを12で割ったものを使い、年1回の積立はそのまま使います。名目金利を12に分けると、年率そのものよりわずかに多く複利することに注意してください。5パーセントを12で割って12回複利すると5.116パーセントになります。これは名目金利の性質であって、このページが決めていることではありません。

貯蓄計算とは何が違うのか

方向です。正直に言えば、片方はもう片方を別の文字について解いたものです。貯蓄計算は積立額を受け取って残高を教え、こちらは残高を受け取って積立額を教えます。もうひとつの違いは金利で、あちらは率を銀行のAPYとして扱って根を取り、こちらは名目の予想リターンとして扱って割ります。毎月いくら貯めるかを決めるならこちら、毎月の習慣が何になるかを知りたいならあちらです。

• 12 CFR 1030.2(c) — Annual percentage yield: 金利と複利の頻度に基づき、365日の期間について口座に支払われた利息の総額を反映する百分率（このページが意図的に使わない定義であり、FAQがその違いを説明している理由） — Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• 12 CFR 1030.4(b)(1)(i) — 口座の開示：実効年率と金利を、その率がどのように決まるかの説明とともに示すこと — Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• National Rates and Rate Caps — FDICが毎月公表する全国の預金金利で、預金口座が実際に支払う額についての最も権威ある数字に近いもの。入力するリターンはこれより良いものであるべきで、悪いものであってはならない — Federal Deposit Insurance Corporation (United States)
• 中国人民银行《关于人民币存贷款计结息问题的通知》（中国人民銀行、人民元預金・貸金の利息計算と決済に関する通知、銀発 [2005] 129号、2005年9月21日施行） — 人民元預金の利息規則：年率から日率・月率への換算式、四半期ごとの利息決済、決済日前に解約した場合は解約日までの利息を付すこと — People’s Bank of China (China)