2倍角計算

sin 2θ = 2 sin θ cos θ　｜　cos 2θ = cos²θ − sin²θ　｜　tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

出発点の角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周を超えても構いません。このページが2倍にするのはこの角で、出てきた数ではありません

2θ

2倍にした角。度で最初に報告されます。ページのほかのすべては、打ち込んだ角ではなくその角で読み取られるからです

sin θ, cos θ

もとの角のサインとコサイン。公式はどちらかを2倍するのではなく2つを掛け合わせるので、答えは何かの2倍にはなりません

角を2倍にすることが決まっていて、公式を手で解かずにどこへ着地するかを知りたいときに使います。回転を2回適用する、位相が1歩の2倍ずつ進む、波長や周期を2倍の周波数で読む——そういう場面です。下の2倍角の公式は計算ツールが適用しているのと同じ3つの式なので、手計算の検算にもなります。2倍にした側の読みがあって、もとの角を戻したいときは半角の向きで、このページが行う計算ではありません。打ち込んだ角そのものにおける3つの比が欲しいときは、三角関数のページがまさにそれをして、両方が定義されるところでは数が一致します。

1. 角度30度、2倍にして60度

   1. 30度の2倍は60度なので、すべてはそこで読み取られる
   2. sin 60は√3/2でおよそ0.866、cos 60は2分の1
   3. タンジェントはその比で√3、およそ1.7321

   ページが読み込まれるときの角で、このページがなぜ存在するかを示す角です。30度のサインは0.5なので、その2倍は1になるはずです。ところが60度のサインは0.866で、前者をどう2倍しても後者にはなりません。公式が0.866の出どころを説明してくれます。0.5と0.866——30度のサインとコサイン——の積の2倍です。2倍にした角はもとの2倍の大きさですが、比はそうではありません。

2. 角度22.5度、2倍にして45度

   1. 22.5度の2倍は45度
   2. 45度では点が直線y = xの上に来るので、サインとコサインが等しい
   3. 読みが等しいとはタンジェントが丸めなしでちょうど1ということ

   22.5度は45度の半分で、この行は半角の公式をふつう欲しくなる向きに読んだものです。45度は3つの比が正確に出る数少ない角の1つで、ふつうの表の射程外にあるので、そこへ行く道は覚えた値ではなく2倍にした値になります。2つの比がどちらも0.7071になるのは、その角で2つの座標が等しいからで、タンジェントは0.9999ではなくちょうど1です。

3. 角度90度、2倍にして180度

   1. 90度の2倍は180度、半周
   2. 点はx軸の負の側にあるので、コサインはマイナス1、サインは0
   3. タンジェントは0をマイナス1で割ったもので、0

   2倍にした角が極値に届く唯一の行で、コサインが取り得るいちばん小さい値、マイナス1になります。90度ではこのページの何も失敗しません。90度は三角関数のページが拒む角ですが、ここではそこを読んでいないからです。読んでいるのは180度で、そこではまったく行儀よく0です。読みを別の角へ移すだけで、極から離れられます。

4. 1周を超える角、750度

   1. 750度は30度に整数周を2つ足したもの
   2. 2倍すると1,500度になり、これは60度に整数周を4つ足したもの
   3. 整数周4つは何も変えないので、読みは60度のときと同じ

   4つの列が30度の行とまったく同じで、そうなるべきです。750度と30度は同じ角なので、2倍した角も同じでそこでの3つの比も同じになります。大きな角を特別扱いするものはここにはありません。2倍にした角は読み取る前に範囲へ戻され、整数周は捨てられます。100万度の5度下も同じ理由で同じように振る舞います。

このページがしないことが3つあります。1つ目、2倍にした角のタンジェントは45度、135度、および2倍すると直角か4分の3周になるすべての角——負の角や1周を超える版も含めて——で拒否されます。拒否は角をまるごと巻き込み、2倍にした角のサインとコサインがそこでは普通の数であってもそうなります。2つ目、読みは小数第4位までで、そのほとんどは無理数です。2倍にした30度の正確なサインは2分の√3で、0.866は丸めた着地点です。ここではコサインのほうが行儀が悪くなります。公式が2つの2乗を引き算し、45度の近くではその2つがほぼ等しいので、出てくる小さな答えは大きな2つの数の差なのです。3つ目、このページは逆算しません。2倍にした角のサインが0.866だと分かっても、その2倍の角は60度か120度か、もとの角はそのどちらかに2倍でなる無限個の角のどれかになり、比から角を1つ取り出すのにはこのページが決めない判断が要ります。

2倍にした角のサインは、もとのサインの2倍なのか

いいえ、これがこのページが据えている誤解です。30度のサインは0.5ですが、60度のサインは0.866であって1ではありません。角を2倍にすることは、その比を拡大することではありません。2倍にした角のサインが実際に何かというと、もとの角のサインとコサインの積の2倍です。1つの読みを2倍するのではなく、2つの違う読みを掛け合わせます。

45度が拒否されるのはなぜか

45度の2倍は90度で、90度のタンジェントに値がないからです。90度のサインとコサインは問題ありません——1と0です——が、このページはタンジェントも報告するので、答えの一部をまるごとの答えとして出すのは、出さないより悪いのです。同じ拒否は、2倍すると270度になる135度と、そのどちらかから半周にあるすべての角にも及びます。

2倍角の公式は3つあるのか

はい。2倍にした角のサインは、もとのサインとコサインの積の2倍。2倍にした角のコサインは、コサインの2乗からサインの2乗を引いたもので、これは1から2sin²θを引いた形や、2cos²θから1を引いた形とも書けます。3つとも同じ数で、使うのは手元にある比に対応する形です。2倍にした角のタンジェントは、もとのタンジェントの2倍を、その2乗を1から引いたもので割ったものです。

22.5度を知っておく価値があるのはなぜか

その2倍が45度で、45度は比が正確に出る数少ない角の1つだからです。サインとコサインがどちらも2分の√2、タンジェントがちょうど1。22.5度はどの標準的な表にも載っていませんが、載っている角の半分なので、2倍角の公式を逆向きに読めばたどり着けます。その逆向きの読みが半角の公式です。

角度は負でも、1周より大きくてもよいのか

どちらも構いませんし、扱いも同じです。角を2倍にして、結果を範囲へ戻すので、750度は30度とまったく同じに読まれ、マイナス30度は330度とまったく同じに読まれます。整数周は2倍にした角の向きを何も変えないので捨てられます。気をつけるのは、読みが常に0から1周までの範囲で報告されることだけです。

角度はラジアンでも入れられるのか

入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、2倍にした角はどちらでも度で報告されます。出力が宣言しているのがその単位だからです。3分のπラジアンと60度は同じ角なので、同じ4つの数を返します。確かめるべきなのは、比べている出典がどちらの単位を前提にしているかです。公表されている表の多くは度を意味しています。

• Double-Angle Formulas — このページが適用している3つの公式と、加法定理からの導き方 — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — 2倍角の公式がその特別な場合になる加法定理。主張ではなく導出つき — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — サイン・コサイン・タンジェントの定義と、それぞれが値を持たない角 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 直角三角形の比を一から歩く入門 — Math is Fun (United Kingdom)