半角の公式計算

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2)　｜　cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2)　｜　tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

出発点の角度。度またはラジアンで入れます。負でもよく、1周を超えても構いません。何かを半分にする前に範囲へ戻されます

θ/2

半分の角。常に0から半周までの範囲で報告されます。ページのほかの数はすべて、打ち込んだ角ではなくここで読み取られます

cos θ

もとの角のコサイン。サインとコサインの公式が要る入力はこれだけで、2つの根号はどちらもこれで組み立てられています。だから扱いにくい角でも正確な読みが出せます

sin θ

もとの角のサイン。タンジェントの2つの分数形が使います。割る側なので0であってはならず、そして0になる角は、半分がちょうど直角にぶつかる角です

角を半分にすることが決まっていて、公式を手で解かずにその半分における3つの比が欲しいときに使います。発振器を駆動周波数の半分で見る、2つの鏡面のなす角、中心角の半分から見た弦、1周の半分や4分の1の歩み——そういう場面です。下の公式は計算ツールが適用しているのと同じ3つの式なので、手計算の検算にもなります。残りは隣の2つのページが受け持ちます。持っているのが半分ではなく角そのものなら、2倍角の公式が逆向きに進み、両方が定義されるところでは2つのページが一致します。入力欄の角ではなくその半分における3つの比が欲しいときは、三角関数のページがそこを読み取り、何も半分にしません。

1. 角度30度、半分にして15度

   1. 30度の半分は15度なので、すべてはそこで読み取られる
   2. サインの公式：30度のコサインは0.866、1から引いて0.134、その半分は0.067、平方根は0.2588
   3. コサインは同じ根号の中をプラスにしたもの：1に0.866を足して1.866、その半分は0.933、平方根は0.9659
   4. タンジェントはその比で、0.2588を0.9659で割って0.2679——分数形も一致する：0.134を0.5で割って0.268

   ページが読み込まれるときの角で、このページが狙っている誤解を示す角です。30度のサインは0.5なので、その半分は0.25になるはずです。ところが15度のサインは0.2588で、半分より少しだけ大きい。2つの読みは、間違った答えがもっともらしく見えるほど近く、ページが正しいほうを印字しているのはまさにそのためです。もとの角のコサインがここでは正確に出ることにも注目してください。2分の√3です。それでも半分の角は無理数になりました。角を半分にすると、表に載るのではなく表から降りるのです。

2. 角度90度、半分にして45度

   1. 90度の半分は45度
   2. 90度のコサインは0なので、どちらの公式も2分の1の平方根になり、それが0.7071
   3. ここで2つの根号が同じ数になるのは、中身が同じだから：1から0を引いたものと1に0を足したもの
   4. 読みが等しいとはタンジェントが丸めなしでちょうど1ということ

   有名な角が、このために有名ではない角から出てくる唯一の行です。45度は3つの比を正確に書き下せる数少ない角の1つ——サインとコサインがどちらも2分の√2で、タンジェントが1です。そこへ行く道は覚えた表ではなく半角で、この行がその道です。サインとコサインが等しくなる行でもあり、それは45度と225度、表のほかにはどこにもありません。

3. 角度400度、40度と同じ

   1. 400度は40度に整数周を1つ足したもの
   2. 整数周1つは角の向きを何も変えないので、読みは40度で取られる
   3. 40の半分は20なので、3つの比は20度のもの：0.342、0.9397、0.364

   同じ入力欄に40度を入れれば、4つの数のどれもがまったく同じになります。それがこの行の要点です。範囲へ戻す前に半分にすると、ここでは200度、あちらでは20度という、同じ問いへの2つの違う答えが出てしまいます。順序が逆に固定されているのはそのためです。750度も同じで、その半分は15度の角の読みになります。

4. 角度マイナス30度、半分にして165度

   1. マイナス30度は330度で、1周にあと3分の1周のところ
   2. 330の半分は165
   3. 165は第2象限なので、サインは正でコサインは負
   4. だからタンジェントは負で、マイナス0.2679

   人を引っかける行です。負の角は負の半分にはなりません。角が先に範囲へ戻されるからです。負の角の半分は、円の上半分の角になります。ここでのサインは30度の行と同じ0.2588で、これは偶然ではありません。15度と165度は垂直軸についての鏡像なのでサインを共有し、コサインは符号が反対になります。タンジェントはコサインと一緒に符号が反転します。

このページがしないことが3つあります。1つ目、タンジェントは180度、540度、マイナス180度、およびそれらが表す角に整数周を足し引きしたすべての角で拒否されます。それぞれの半分が直角になり、そこにはタンジェントの値がないからです。拒否は読み全体を巻き込み、半分の角のサインとコサインがそこでは普通の数——1と0——であってもそうなります。2つ目、3つの比は小数第4位までで、そのほとんどは無理数です。印字される半分の角のほうは話が別で、整数の度を半分にしても最悪でも0.5度にしかならず、小数第2位あれば正確に表せます。3つ目、このページは逆に走らせられません。ある角の半分は、そこから1周にあるものすべてと共有されていて、それ以外とは共有されません。20度という読みは、もとが40度か400度か、そのあいだの無限個の角のどれかだと言っているだけです。そして195度の半分は、入力欄が受け付ける範囲の外の角から来ることになるので、その向きにはここで答えがまったくありません。

半分の角のサインは、もとのサインの半分なのか

いいえ、これがこのページが据えている誤解です。30度のサインは0.5なので、その半分は0.25です。ところが15度のサインは0.2588です。2つは、間違った答えがもっともらしく見えるほど近く、ページが手順つきで正しいほうを印字しているのはそのためです。半分の角のサインが実際に何かというと、もとの角のコサインを1から引いて2で割ったものの平方根。サインの分数ではなく、コサインの根号です。

半角の公式は3つあるのか

はい。半分の角のサインは、もとの角のコサインを1から引いて2で割ったものの平方根。半分の角のコサインは、同じ根号の中をマイナスではなくプラスにしたもの。半分の角のタンジェントは3通りに書けます——コサインを1から引いたものをサインで割る、サインをコサインに1を足したもので割る、コサインを1から引いたものをコサインに1を足したもので割ったものの平方根——どれも同じ数になります。ふつうは平方根を取らずに済む分数形のほうが使いやすいはずです。

負の角が負の角に半分にならないのはなぜか

角は半分にしたあとではなく、半分にする前に範囲へ戻されるからです。マイナス30度は330度で、330の半分は165です。先に半分にするとマイナス15度になり、それは実在する角ですが、出力が報告する範囲になく、また鏡像の2つの角のどちらを指しているかについてページのほかの部分と食い違います。読みは常に円の上半分のほうです。

180度が拒否されるのはなぜか

180の半分は90で、90度のタンジェントに値がないからです。90度のサインとコサインは問題ありません——1と0です——が、このページはタンジェントも一緒に報告するので、答えの一部をまるごとの答えとして出すのは、出さないより悪いのです。同じ拒否は、180度と同じ角である540度とマイナス180度、およびそれらから整数周にあるすべての角にも及びます。

2倍角の公式とは何が違うのか

同じ3つの関係を反対向きに読んだものです。2倍角の公式は角から出発してその2倍におけるサイン・コサイン・タンジェントを与え、半角の公式は角から出発してその半分における3つの比を与えます。効いてくる違いは丸めの行き先です。2倍にすると整数の度のままなので、30度の2倍の読みはちょうど60度です。半分にすると表から降りることが多く、30度の半分は15度でその読みは無理数になります。

角度はラジアンでも入れられるのか

入れられます。入力欄の隣に単位の選択があり、半分の角はどちらでも度で報告されます。出力が宣言しているのがその単位だからです。6分のπラジアンと30度は同じ角なので、同じ4つの数を返します。気をつけるのは、単位が打ち込む角に効いて、常に度で表示される半分には効かないことです。

• Half-Angle Formulas — このページが適用している3つの公式と、半分を円の上半分に保つことでページが解消している符号の問題 — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — 同じ関係を逆向きに読んだもの。これらの公式に最初に出会うことの多いページ — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — サイン・コサイン・タンジェントの定義と、それぞれが値を持たない角 — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — 直角三角形の比を一から歩く入門 — Math is Fun (United Kingdom)