債券利回り計算

市場価格 = Σ [ 利払い額 × (1 + i)^(−k) ] + 額面 × (1 + i)^(−n) をiについて解く　（k = 1 … n、利払い額 = 額面 × 表面利率 ÷ 1年の利払い回数、n = 残存期間 × 1年の利払い回数）

市場価格

今日この債券を買うのに払う額で、このページが解く代わりに与えられる唯一的な量です。

利払い額

額面 × 表面利率 ÷ 1年の利払い回数で、既定の債券では20になり、年2回支払われます。

額面

満期に返済される金額であり、利払いを計算する基準でもあります。

残存期間

残っている長さを年で入れたもので、1年の利払い回数を掛けるとこれから来る支払いの回数になります。

最終利回り（i）

このページが解く未知数です。残っているすべての支払いを市場価格まで割り引く年率にあたります。

債券の価格を提示され、その表面利率だけでは何とも比べられないときに使います。表面利率は債券の生涯を通じて固定で、あなたがいくら払うかについては何も言いません。古い4%の債券と新しい4%の債券は表面利率が同じでも、片方が922.05で片方が1,000なら利回りはまったく違います。最終利回りは、満期まで持ち、各回の利払いを同じ率で再投資した場合に実際に得られる収益率として読んでください。その隣の直接利回りは、今年1年だけの率直な現金対現金の数です。2つが大きく離れていれば、その債券の価格は額面から遠く、収益の大半は利払いではなく額面へ向かう価格の動きから来ています。このページが役に立つ場面は、価格がその債券の支払い総額に近いか上回っているときです。直接利回りはまだ表面利率のように見えるのに、最終利回りはゼロ以下になっています。

1. 額面1,000、表面利率4%、残り10年、年2回払いを922.05で買う

   1. 利払い額は1,000 × 4% ÷ 2 = 20で、10年のあいだに20回支払われる
   2. 利回り5%のとき、1期あたりの率は5% ÷ 2 = 2.5%
   3. 20回の利払いの現在価値：20 × (1 − 1.025^(−20)) ÷ 0.025 = 311.78
   4. 額面の現在価値：1,000 × 1.025^(−20) = 610.27
   5. 2つを足すと311.78 + 610.27 = 922.05で、入力した価格と一致する。だから利回りは5%
   6. 直接利回り：毎年支払われる40 ÷ 922.05 = 4.34%。この債券が利払いの上に返す77.95のディスカウントこそ、ここで無視されているもの

   債券価格のページの既定ケースを逆向きに読んだもので、こう読むのが両ページが同じ計算をしていることの最も安い確認になります。あちらは5%で価格付けして922.05を出し、こちらは922.05を渡されて5を返します。額面よりわずか7.8%安いだけの債券で2つの利回りが0.66ポイント違うことにも注意してください。価格が下がるにつれてこの隔たりは速く広がり、それは次の例で分かります。

2. 同じ債券を728.19で——利回り8%

   1. 利払い額は半年ごとに20のままで、動いたのは価格だけ
   2. 利回り8%のとき、1期あたりの率は4%
   3. 20回の利払いの現在価値：20 × (1 − 1.04^(−20)) ÷ 0.04 = 271.8066
   4. 額面の現在価値：1,000 × 1.04^(−20) = 456.3869
   5. 合わせて271.8066 + 456.3869 = 728.1935で、入力した728.19に丸められる
   6. 直接利回り：40 ÷ 728.19 = 5.49%で、最終利回りは8%

   5.49と8のあいだの2.51ポイントが、この債券が買値より多く返す271.81そのものです。深いディスカウントの債券が表面利率や直接利回りでは判断できない理由がここにあります。ここで直接利回りだけを読むと、収益をおよそ3分の1過小に見積もることになります。

3. ゼロクーポン債——額面1,000、利払いなし、610.27で買う

   1. 表面利率をゼロにする。満期まで何も支払わない債券になる
   2. 1,000 × 1.025^(−20) = 610.27。利回り5%では価格の全体が割り引かれた額面になる
   3. 割る利払いが無いので直接利回りはゼロ。ゼロクーポン債に意味のある直接利回りは存在しない
   4. 389.73のディスカウントが収益のすべてで、満期に一度にやってくる

   利回りが表面利率でも直接利回りでもないことの最もきれいな証明です。この債券は0%しか支払わないのに5を返し、それを語る列は最終利回りのほかにありません。直接利回りが無意味な債券についても利回りを報告できる理由でもあり、債券デスクが一日中やっていることの大半がこれです。

これは債券利回りの理想的な形で、実際の決済は4つの点で乱れています。次回の利払いがちょうど1期先にある債券を価格付けするので、経過利子を扱えません。利払い日のあいだでは、すでに経過した分の利払いを売り手が受け取る権利があり、実際の請求書はそれを提示価格に上乗せします。そのためここで出るのはクリーン価格で、ダーティ価格ではありません。残りの利払いがすべて1期分であることも前提にしているので、最初や最後の期が不均等な債券は対象外です。表面利率は実際の日数で日割りするのではなく、その年の利払い回数で均等に分けた年率として扱っており、実際の決済を規律する30/360とactual/actualの区別もありません。報告される最終利回りは、各回の利払いを満期まで同じ率で再投資することを前提にしています。これが標準的な定義であり、標準的な但し書きでもあります。より低い率で再投資すれば実現収益は下がります。答えの精度は入力した価格で頭打ちになります。小数2位の価格は利回りをおよそ1,000分の1ポイントに固定し、1セント変えれば動きます。逆に、その債券が将来支払うすべての合計を上回る価格には正の利回りが存在せず、このページは負の数を印字する代わりにそう告げます。デフォルト・リスク、流動性、税、期限前償還条項、減債基金はどれも扱っておらず、どの数にも通貨は付いていません。

最終利回りとは何か

債券がまだ負っているすべての支払い——残りの各回の利払いと満期の額面——が、今日の価格まで割り引かれる単一の年率です。その価格で買って満期まで持てば得られる収益率であり、表面利率も価格も違う債券どうしを比べられる唯一の利回りです。既定のケースでは、額面1,000で表面利率4%の年2回払い、残り10年、市場価格922.05の債券の最終利回りは5%です。

債券の最終利回りはどう計算するのか

価格の式——市場価格は割り引いた利払いの合計に割り引いた額面を足したもの——を書き下し、それが成り立つ率を探します。期が2つ以上残るとこの式を率について整理できません。だから答えは率を試して狭めていくことで見つかります。既定の債券では、5%で利払いが311.78、額面が610.27になり、足すとちょうど入力した価格の922.05になります。

最終利回りと直接利回りが違うのはなぜか

測っているものが違うからです。直接利回りは年間の利払いを価格で割ったところで止まります。40 ÷ 922.05 = 4.34%です。最終利回りは、この債券が価格より多く返す77.95を満期までの10年にわたってならしたものも数えるので、5%と読めます。隔たりは額面に近い債券では小さく、遠い債券では大きくなります。価格728.19では直接利回りが5.49%で、最終利回りは8%です。

割引債とは何か

返済される額面より安く買える債券で、市場が要求する利回りがその債券の表面利率を上回るときに起きます。既定の債券が割引債です。922.05で買って1,000が返るので77.95のディスカウントを抱えており、収益の一部は利払いではなくその価格差としてやってきます。ディスカウントが深いほど、そこから来る収益の割合が増えます。728.19では買値より271.81多く返ります。表面利率をゼロにしたゼロクーポン債では、この価格差が収益のすべてになります。

利回りが表面利率より高いとはどういうことか

額面を下回って買っているということで、表面利率は得られる収益を過小に表しています。利回り8%になるように価格付けされた4%の債券は、利回り4%になるように価格付けされた4%の債券とまったく同じ40を毎年支払います。違うのは、前者が728.19で買えて1,000を返すことです。最終利回りが表面利率を上回るときは必ず価格が額面を下回り、下回るときは必ず上回ります。

最終利回りが負になることはあるのか

このページでは出ませんし、買う人がいる債券でもありません。負の利回りは、その債券が将来返すすべて——額面に残りの利払いを足した額——より今日多く払うという意味で、一部の国債市場では実在しますが、このページが報告するものではありません。債券が支払うすべての合計を上回る市場価格を入れると、負の率を印字する代わりに計算が止まってそう告げます。算術的には定義できても、金融的には誤解を招く数だからです。

2つの債券を比べるにはどの利回りを使えばよいのか

最終利回りです。あなたがいくら払うかを織り込んでいる唯一の利回りだからです。表面利率4%で満期も同じ2つの債券は、片方が922.05で片方が1,000なら同じ投資ではありません。それを表面利率は教えてくれません。直接利回りは、今年手にする現金が収益のどれだけを占め、どれだけが価格の上昇なのかを確かめるのに役立ちます。2つの数が大きく離れているなら、その隔たりこそ買う前に問うべき問いの答えです。

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables（このページが逆向きに解いている現在価値係数と価格の計算式） — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — 債券の価格が利回りと反対の向きに動くのはなぜか — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.govの用語集（債券の利払いと市場価格の比で、最終利回りの隣に印字される数） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)