債券価格計算
計算結果
債券価格
- 1期あたりの利払い額
- 20.00
- 直接利回り
- 4.34%
- プレミアム／ディスカウント
- -77.95
債券は支払いの約束です。満期まで一定額を定期的に支払い、最後に額面を返します。したがって価格を求めるのは特別な計算ではなく、その支払い列の現在価値そのものです。このページと現在価値のページが同じ算術なのはそのためで、違いは現金の流れをあなたが打ち込むか、債券の条件が生成するかだけです。額面、表面利率（年率）、価格を付けたい最終利回り、残りの年数、利払いの頻度を入れると、価格と、それを読み解くための3つの数が出ます。押さえておくべきは価格と利回りの関係です。利回りが表面利率を上回れば価格は額面を下回り、等しければちょうど額面になり、下回れば額面を上回ります。額面1,000で表面利率4%、残り10年の債券を5%の利回りで価格付けすると922.05になり、これは77.95のディスカウントです。同じ債券を4%の利回りで価格付けするとちょうど1,000になります。3つ目の数は直接利回りで、年間の利払いを支払う価格で割ったものです。ディスカウントの場合は4.34%になり、表面利率の4%より高くなります。その収入の流れを安く買ったからです。表示される利払い額は1期あたりであって1年あたりではありません。表面利率4%の年2回払い、額面1,000なら20を支払い、同じ債券が年1回払いなら40になります。
額面1,000、表面利率4%、残り10年、年2回払いを7通りの利回りで
| 最終利回り（%） | 債券価格 | 直接利回り（%） | プレミアム／ディスカウント |
|---|---|---|---|
| 0 | 1400 | 2.86 | 400 |
| 2 | 1180.46 | 3.39 | 180.46 |
| 3 | 1085.84 | 3.68 | 85.84 |
| 4 | 1000 | 4 | 0 |
| 5 | 922.05 | 4.34 | -77.95 |
| 6 | 851.23 | 4.7 | -148.77 |
| 8 | 728.19 | 5.49 | -271.81 |
どの行も同じ債券で、動いているのは利回りだけです。だからこの表は、覚えておく価値のある一つの関係——価格と利回りは逆向きに動く——をきれいに描きます。4行目が蝶番です。そこでは利回りが4%で表面利率とちょうど等しく、価格は1,000.00、プレミアム／ディスカウントは0です。この行より上では返済される額より高く買い、下では安く買うことになり、ディスカウントは8%の利回りで271.81まで深くなります。もうひとつ立ち止まる価値があるのが最初の行です。利回りがゼロでは何も割り引かれないので、価格は額面に20回分の利払いを足したもので、ちょうど1,400.00になります。この債券が取りうる最大の価値です。直接利回りの列にも注目してください。同じ年40を、より小さくなる数で割るので、価格が下がるにつれて上がっていきます。
公式
債券価格 = Σ [ 利払い額 × (1 + i)^(−k) ] + 額面 × (1 + i)^(−n) （k = 1 … n、i = 最終利回り ÷ 1年の利払い回数、n = 残存期間 × 1年の利払い回数）
- 額面
- 満期に返済される金額であり、利払いを計算する基準でもあります。0より大きい必要があります。
- 表面利率
- 債券が額面に対して支払う年率です。実際の日数で日割りするのではなく、その年の利払い回数で均等に分けます。
- 最終利回り
- すべての支払いを割り引く年率で、提示された価格で買ったときにこの債券が提供する収益率です。
- 残存期間
- 残っている年数を整数で表したもので、支払い回数はこれに1年の利払い回数を掛けた数になります。
- 利払い頻度
- 利払いが年に何回あるかです。年1回、年2回、四半期ごと、毎月のいずれかになります。
- 利払い額
- 額面に表面利率を掛け、1年の利払い回数で割ったもので、1年あたりではなく1期あたりの金額です。
- 直接利回り
- 年間の利払いを価格で割ったものです。満期の損得を無視するので最終利回りとは一致しません。
- プレミアム／ディスカウント
- 価格から額面を引いたものです。返済される額より高く買うときは正、安く買うときは負になります。
提示された価格を確かめたいとき、保有している債券の利回りが動いたら価格がどうなるかを見たいとき、同じ債券が2か所で違う価格で出ている理由を知りたいときに使います。意外に思われる事実の背後にある計算でもあります。すでに持っている債券の価格は利回りと逆の向きに動くので、満期まで持つ投資家は金利上昇の影響を受けず、売らなければならない投資家は受けます。いくつかの利回りで価格付けすると形が見えてきます。下の参考表は同じ債券を、何も割り引かれないゼロ利回り（額面にすべての利払いを足した額になります）から、利回りが表面利率と等しく価格がちょうど額面になる点を通り、価格が深くディスカウントになる8%まで動かします。
計算例
額面1,000、表面利率4%、残り10年を5%の利回りで価格付けする
- 1期あたりの利払い：1,000 × 4% ÷ 2 = 20
- 期数：10年 × 2 = 20期、1期あたりの利回りは5% ÷ 2 = 2.5%
- 20回の利払いの現在価値：20 × (1 − 1.025^(−20)) ÷ 0.025 = 311.78
- 額面の現在価値：1,000 × 1.025^(−20) = 610.27
- 価格：311.78 + 610.27 = 922.05、ディスカウントは77.95
- 直接利回り：40 ÷ 922.05 = 4.34%
既定のケースで、利回りが表面利率を上回る場合にあたります。だから額面より安く売れます。このディスカウントは罰則ではなく、利回りを利払いが払う4%から市場が提示する5%へ引き上げる仕組みです。満期に1,000になる流れを922.05で買い、最後に得る77.95が差を埋めます。利払い額が20であることにも注意してください。これは半年分の金額です。直接利回り4.34%が表面利率4%を上回るのは、支払った価格が額面を下回っているからです。
同じ債券を額面どおりで価格付けする——利回りが表面利率と等しい場合
- 1期あたりの利払い：1,000 × 4% ÷ 2 = 20
- 1期あたりの利回り：4% ÷ 2 = 2%
- 20回の利払いの現在価値：20 × (1 − 1.02^(−20)) ÷ 0.02 = 327.03
- 額面の現在価値：1,000 × 1.02^(−20) = 672.97
- 価格：327.03 + 672.97 = ちょうど1,000.00
利回りが表面利率と等しいとき、2つの現在価値は足すと額面になるように決まります。この行が表全体の軸で、これより上では返済される額より高く買い、下では安く買うことになります。直接利回りと最終利回りが別物だと見える行でもあります。ここではどちらも4%ですが、ほかの価格では食い違います。直接利回りは償還のときに生じる損得を無視するからです。
年1回払いにすると価格が少し変わる
- 1期あたりの利払い：1,000 × 4% ÷ 1 = 40を10回
- 1期あたりの利回り：5% ÷ 1 = 5%
- 10回の利払いの現在価値：40 × (1 − 1.05^(−10)) ÷ 0.05 = 308.87
- 額面の現在価値：1,000 × 1.05^(−10) = 613.91
- 価格：308.87 + 613.91 = 922.78、ディスカウントは77.22
同じ債券、同じ利回り、同じ満期で、変えたのは1つだけです。利払いを年2回から年1回にすると922.05ではなく922.78になります。受け取るのが遅いお金ほど強く割り引かれるからです。このケースでは差は小さいのですが、利払い額の列は別です。ここでは40、年2回のケースでは20で、どちらも1期あたりの金額です。このページで最も読み違えられる数であり、だからラベルにもそう書いてあります。
適用限界
これは債券価格付けの理想的な形で、実際の決済は3つの点で乱れています。次回の利払いがちょうど1期先にある債券を価格付けするので、経過利子を扱えません。売り手にはすでに経過した期間の利払い分を受け取る権利があり、実際の請求書はそれを上乗せします。残りの利払いがすべて1期分であることも前提にしているので、最初や最後の利払いが不均等な債券（新発債ではよくあります）は表せません。価格付けできるのは普通債だけです。発行体が期限前に償還できる債券や、あなたが売り戻せる債券の価格は、利回りだけでなくそうしたオプションにも依存します。さらに、実際のカレンダーの日付ではなく整数年と等間隔の期を使うので、実際の取引を円単位まで決済する日数計算の慣行とは一致しません。利払いと譲渡益への課税、取引費用は考えておらず、信用リスクについても何も言いません。入力する利回りは与件として扱われ、返済されないかもしれない債券はより高い利回りで価格付けされるべきものです。
よくある質問
- 債券の価格はどう計算するのか
- 債券が行うすべての支払いを最終利回りで現在まで割り引き、足し合わせます。額面1,000で表面利率4%、年2回払い、残り10年の債券を5%の利回りで価格付けすると、20の利払い20回分が今日で311.78、額面1,000が610.27になり、価格は922.05です。
- なぜ価格が額面を下回るのか
- 価格付けに使う利回りが、債券が支払う表面利率を上回っているからです。この債券は額面に対して4%しか支払わないので、ほかで5%が得られるときに1,000を出す人はいません。利払いと満期の損得を足して5%の収益になるまで価格が下がります。価格と額面の差がディスカウントで、同じ仕組みが逆向きに働くと、表面利率が利回りを上回るときのプレミアムになります。
- 直接利回りと最終利回りの違いは何か
- 直接利回りは年間の利払いを支払う価格で割ったもので、既定のケースでは40を922.05で割って4.34%になります。最終利回りは最後まで持った場合に得られる率で、922.05の債券が1,000で償還されるときの77.95を織り込んでいます。額面どおりの価格では両者は一致し、ディスカウントのときは直接利回りのほうが低く、プレミアムのときは高いほうになります。
- 表示される利払い額は1年あたりか、1期あたりか
- 1期あたりです。額面1,000で表面利率4%の債券は1年で合計40を支払い、その40がその年の支払い回数に応じて分けられます。年2回なら20ずつ、四半期ごとなら10ずつ、年1回なら40を一度にです。このページの項目は1回の支払い額なので、同じ4%の債券が年2回払いでは20、年1回払いでは40と表示されます。
- 利払いの頻度で価格が変わるのはなぜか
- 早く支払われるお金は早く再投資できるので、同じ利回りなら早く払う債券のほうがわずかに価値が高いからです。既定の債券では、年2回払いが922.05、年1回払いが922.78で、差は73セントです。四半期ごとと毎月はさらに少し下がり、921.68と921.43になります。この水準では効果は小さいのですが、表面利率と満期が大きくなるほど広がります。
- 最終利回りがゼロだと何が起きるのか
- 割引係数がすべて1になり、価格はその債券が将来支払うすべての合計、つまり額面にすべての利払いを足した額になります。額面1,000で表面利率4%、年2回払い、残り10年なら、1,000に20の支払い20回分を足したもので、ちょうど1,400になります。この場合は知っておく価値があります。閉じた式で書かれた公式はこの場合を特別扱いしなければなりませんが、このページの計算にはそれが要りません。
参考文献
- 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables（財務省証券の現在価値係数と価格の計算式） — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
- Understanding Pricing and Interest Rates — 債券の価格が利回りと反対の向きに動くのはなぜか — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
- Current Yield — Investor.govの用語集（債券の利払いと市場価格の比） — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)