最終利回り計算
計算結果
最終利回り
- 実効年利回り（%）
- 5.0626%
- 直接利回り
- 4.34%
- 額面100あたりのクーポン収入の合計
- 40.00
最終利回りは、債券が将来支払うすべて——各回のクーポンと満期の額面——を、今日払う価格にちょうど一致させる1つの金利です。このページはその価格を、債券の表が印字する形のまま、額面100あたりで受け取ります。額面を入力する必要がなくなり、間違って入力することもできなくなるからです。表示される利回りの隣には実効年利回りが出ます。年2回の複利が1年で実際に稼ぐ率で、どちらも利回りと呼ばれますが同じ数ではありません。直接利回りも出ます。クーポンを価格で割っただけで、それ以外の何物でもありません。額面より安く買った債券はクーポンより多く稼ぎます。額面へ戻る分がリターンの一部で、それを数えているのが最終利回りだけだからです。
同じ債券を7つの価格で、額面100あたり140から72.819まで
| 額面100あたりのクリーン価格 | 最終利回り（%） | 実効年利回り（%） | 直接利回り（%） |
|---|---|---|---|
| 140 | 0 | 0 | 2.86 |
| 118.046 | 2 | 2.01 | 3.39 |
| 108.584 | 3 | 3.0225 | 3.68 |
| 100 | 4 | 4.04 | 4 |
| 92.205 | 5 | 5.0626 | 4.34 |
| 85.123 | 6 | 6.0899 | 4.7 |
| 72.819 | 8 | 8.1601 | 5.49 |
債券は最初から最後まで同じ——表面利率4%、残り10年、年2回払い——なので、動いているのはいくらで買うかだけで、列を下へ読むことは価格が何の値打ちか読むことになります。真ん中の行が軸です。額面100あたりちょうど100では、最終利回りと表面利率がそろって4%になります。勘定に入れるべき損得が残っていないからです。それより上ではプレミアムが付いて利回りは表面利率を下回り、下では割引で利回りは上回ります。いちばん上の行は計算全体の境界です。140は、2.00のクーポン20回と満期の100をまったく割り引かずに足したものちょうどなので、利回りは0%です。これよりわずかでも高ければ、この債券に非負の最終利回りはありません。下へ読みながら最初の2列を比べてください。実効年利回りはつねに表示利回りより上で、利回りが上がるほど隔たりが広がります。その隔たりは丸めではなく複利の2次の項だからです。最後の列だけは振る舞いが違います。これも価格とともに動きますが、この債券では最終利回りに届くことがありません。100が返ってくることを知らないからです。
公式
額面100あたりのクリーン価格 = Σ (1期あたりのクーポン ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)
- 額面100あたりのクリーン価格
- 額面100につきいくら払うかで、経過利子は含みません。残っているすべての支払いをちょうどこの数まで割り引く金利が利回りです。
- 表面利率
- 額面に対する1年あたりのクーポンの百分率で、m回に等分して支払われます。0も認められ、満期まで何も支払わない債券を表します。
- m
- 1年に何回クーポンが届くかです（年1回、年2回、四半期ごと、毎月）。同じ債券でも2つの頻度で表示すれば別の利回りになります。
- n
- 額面が返済されるまでの残り年数で、整数です。残りの支払い回数はm × nになります。
- y
- 最終利回りです。年にm回複利する名目年率で、式を成り立たせる値にあたります。債券ディーラーが提示する慣行の率です。
- 実効年利回り
- 同じ率を1年の成長率として書き直したもので、(1 + y ÷ m)^m − 1です。mが1より大きいかぎりつねにyより高く、その差が複利の分です。
- 直接利回り
- 1年分のクーポンをクリーン価格で割ったもので、額面へ戻る過程の損得を無視します。額面以外で価格が付いている債券で最終利回りと食い違うのは、まさにそのためです。
クーポンも満期も違う債券を1つの尺度で比べるときに使います。それが提示利回りの役割です。92で取引される表面利率2%の債券と額面で取引される表面利率8%の債券は、クーポンでは並べられませんがこの数なら並べられます。誰かが提示した価格を検算するとき、あるいはその価格が市場の要求する金利について何を言っているかを見るときにも使います。間違った道具になるのは3つの場面です。満期まで持ち切り、すべてのクーポンを同じ金利で再投資することを前提にしていますが、そんな約束をする市場はありません。金利が下がる局面で持てば、最終利回りが言ったより少なくしか稼げません。利払い頻度で複利する名目率なので、同じ利回りで表示された年2回の債券と毎月の債券は1年に払う額が同じではありません。隣に出る実効年利回りはそのためのものです。そして信用については何も述べません。同じ満期の国債の曲線よりずっと高い利回りは、返済されない現実的な可能性に市場が値段を付けているということです。
計算例
4%の10年債を額面100あたり92.205で
- 1年あたりのクーポン：額面100あたり4.00で、年2回に分けて2.00ずつ。つまり2.00の支払いが20回
- 2.00の20回と最後の100を92.205に割り引く金利を探す：半年あたり2.5%
- 債券ディーラーの慣行に合わせ、半年の率を2倍にして表示：年5.000%
- 1年の成長率として書き直す：実効年利回りは5.0626%
- 額面へ戻る分を無視した直接利回り：4.00 ÷ 92.205 = 4.34%
このページの既定値で、最後の2行がこのページの要点です。表示された5.000%と5.0626%は同じ率を2つの慣行で書いたもので、後のほうが1年のあいだにお金が実際にする動きです。0.0626は丸めの誤差ではなく、半年ごとの複利そのものです。3つのうちいちばん小さい4.34%は新聞でいちばんよく引用される直接利回りでもあります。暗算で出せる唯一の数だからです。そして額面より7.795安く買って100で返済されることを、この数だけが見ていません。
61.027のゼロクーポン債：利回り5%、直接利回りは0%
- 表面利率が0なので式の中のクーポンはすべて0.00になり、残るのは満期の100だけです
- 100 ÷ 1.025^20 = 100 ÷ 1.638616 = 61.027
- 債券ディーラーの慣行に合わせて表示：半年あたり2.5%を2倍にして年5.000%
- 1年の成長率として書き直す：1.025 × 1.025 − 1 = 5.0625%（実効）
- 直接利回り：0.00 ÷ 61.027 = 0.00%
ゼロクーポン債は2つの慣行がいちばんきれいに分かれる場所です。算数を乱すクーポンが無く、リターンの全体が価格と額面のあいだの38.973で、それが一度にまとめて届きます。表示利回りは5.000%、実効年利回りは5.0625%で、その差が複利のすべてです。直接利回りはちょうど0です。直接利回りで債券をふるいにかける読み手にはこの債券が永遠に見えませんが、それが直接利回りでふるいにかけるべきでないいちばん明快な理由です。
小数第1位まである価格：95.5なら4.566%
- クーポン：2.00の支払いが20回、最後に100が返ってきます
- その支払いの流れを95.5に割り引く半年の率を解く：半年あたり2.2831%
- 2倍にして表示し、小数点以下3桁まで出します：年4.566%
- 1年の成長率として書き直す：実効年利回りは4.6177%
- 直接利回り：4.00 ÷ 95.5 = 4.19%
市場の価格は整数ではなく1点の何分の1かまで付けられ、返ってくる利回りはほとんど丸い数になりません。そこでこのページは表示利回りを小数点以下3桁、実効のほうを4桁で出します。3つの数の順序は変わりません。実効年利回りは表示利回りより上、直接利回りはどちらよりも下です。95.5では債券がまだ割引で買われていて、額面までの4.5は最後まで持った人のものになるからです。
適用限界
この数がそうではないものが3つあります。約束ではありません。最終利回りはすべてのクーポンが満期まで同じ金利で再投資されることを前提にしていて、途中で金利が下がれば言われたより少なくしか稼げません。この隔たりは再投資リスクと呼ばれ、どんな利回りの提示でも消せません。利払い頻度で複利する名目率なので、隣の実効年利回りを見るまでは、支払い頻度の違う債券どうしを比べられません。そしてクリーン価格を使い、経過利子を含みません。利払い日のあいだで債券に値段を付けるにはそれで正しいのですが、ここに出る価格は実際に手渡す現金の額ではないという意味でもあります。隣の直接利回りはもっと単純な尺度で、はっきりした盲点があります。価格と額面の差を無視するので、割引で買った債券ではリターンを低く見せ、プレミアムで買った債券では高く見せ、ゼロクーポン債ではどれだけ稼いでも0になります。最後に、ここには信用リスクも税も繰上償還条項もありません。早期に償還されうる債券は、このページが前提にしている満期にそもそも到達しないかもしれません。
よくある質問
- 最終利回りはどう計算するのか
- 残っているすべての支払い——各回のクーポンと最後の額面——を、払う価格まで割り引く金利です。式を変形して直接求める方法はないので、探して見つけます。ある金利を試し、それで債券に値段を付け、価格が一致するまで範囲を狭めていくのです。4%の10年債を額面100あたり92.205で、年2回払いなら、答えは半年あたり2.5%で、年5.000%として表示します。
- 額面金額ではなく額面100あたりなのはなぜか
- 額面が式から消えるからです。100あたりで表せば2つの違う債券が一目で比べられ、間違った値しか入りようのない入力欄を1つ減らせます。92.205の債券は、額面が100でも1,000,000でも額面の92.205%です。代わりに金額を入れると——同じ債券に922.05——エラーは出ません。0より下の利回りが出ます。式が前提にしている100を返さなければならないので、計算がそう強いるのです。
- 最終利回りと実効年利回りの違いは何か
- 同じ率を書く2つの慣行です。表示される最終利回りは名目で、1期あたりの率に期数を掛けたものです。だから半年2.5%を年5.000%と書きます。実効年利回りはそれを1年分の成長率として書き直したもので、1.025 × 1.025 − 1 = 5.0625%、つまりお金が実際にする動きです。クーポンが年に1回のときだけ両者は一致します。四半期ごとでは同じ5.000%が実効5.0945%、毎月では5.1162%になります。複利の回数が増えるほどこの隔たりは広がります。
- 直接利回りが最終利回りと違うのはなぜか
- 直接利回りはクーポンしか数えていないからです。1年分のクーポンを価格で割ったもので、額面より安く買った債券が額面で返済されるという、リターンの実際の一部を無視します。既定の例ではクーポンが4.00、価格が92.205なので直接利回りは4.34%、最終利回りは5.000%です。足りない0.66は、額面までの7.795を10年に配ったものです。価格がちょうど100の債券では2つが一致し、ゼロクーポン債ではどれだけ稼いでも直接利回りは0になります。
- 利払い頻度で答えは変わるのか
- 債券の価値がまったく同じでも、表示される数は変わります。4%のクーポンを10年分受け取るのは、払い方によらず額面100あたり合計40.00です。しかし割引の仕方が違います。同じ債券を年5%の利回りになるよう値段付けると、年1回払いは92.278、四半期ごとは92.168、毎月は92.143になります。理由は2つです。名目の表示は1期の率に期数を掛けたものなので、同じ実効のリターンでも複利の回数が多いほど大きな名目になります。そして早く届く支払いほど価値が高いので、毎月払いの債券は同じ表示利回りなら年1回払いよりわずかに価値が高くなります。
- 最終利回りが表面利率より高いとはどういうことか
- 債券が額面より安く値段を付けられているということで、リターンの一部は100で返済されるときの利益になります。既定の例では表面利率が4%、利回りが5.000%なのは価格が92.205だからです。逆も成り立ちます。額面より高く値段が付いた債券は表面利率より低い利回りになります。額面へ戻るにつれて損失を被るからです。極端な場合が参考表の1行目で、額面100あたり140という価格は、残っている支払いの合計そのもので割引がまったくありません。利回りは0%で、それより高い価格には非負の答えがありません。
参考文献
- Understanding Pricing and Interest Rates — 債券が割引やプレミアムで売られる理由と、提示された利回りが意味するもの — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
- Yield — Investor.gov glossary：ある価格のもとで債券の支払いが示唆する率について — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- Bonds — Investor.gov glossary：式が組み立てられているクーポン、額面、満期日のそれぞれについて — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
- 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables：財務省が自らの中期国債・国債を利回りから価格付けするときに使う現在価値の式 — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)