Calcolatrice del triangolo rettangolo

a² + b² = c² A + B = 90° sen A = a ÷ c tan A = a ÷ b area = a × b ÷ 2 perimetro = a + b + c

a, b

I due cateti, i lati che si incontrano nell'angolo retto. La pagina riduce ogni input a questi due prima di calcolare qualunque altra cosa, quindi un caso partito da un'ipotenusa e da un angolo viene prima trasformato in due cateti

c

L'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto e sempre il più lungo. È il risultato principale della pagina, ed è sempre ricalcolata invece che ripetuta: anche quando sei stato tu a digitarla

A, B

I due angoli acuti. A è quello di fronte al cateto a e B quello di fronte al cateto b; ciascuno sta fra zero e novanta gradi, e insieme formano quello che resta dei centottanta gradi del triangolo

Usa questa pagina quando conosci due misure di un triangolo rettangolo e vuoi il resto: due cateti, un cateto e l'ipotenusa, oppure un lato qualsiasi insieme a uno dei due angoli acuti. È il risolutore generico del triangolo rettangolo, e si distingue dalla pagina del teorema di Pitagora per quello che mette in testa: quella risponde alla domanda più stretta del lato mancante, questa risponde al triangolo intero e mette l'ipotenusa in cima qualunque siano le due caselle che hai riempito. Si distingue anche dalla pagina del triangolo, che è la stessa idea senza l'angolo retto: quella ha bisogno di due lati più l'angolo compreso fra loro, e questa ricava molto di più dagli stessi due numeri perché l'angolo retto è una terza informazione in regalo. Un triangolo rettangolo con i due cateti uguali è il caso isoscele, e quella pagina stampa la stessa figura descritta con i suoi termini.

1. Due cateti, 3 e 4

   1. I due cateti sono dati, quindi il teorema di Pitagora dà l'ipotenusa: 9 più 16 fa 25, e la radice di 25 è 5
   2. L'angolo A sta di fronte al lato di lunghezza 3, quindi la sua tangente è 3 fratto 4, che dà 36,87 gradi
   3. L'angolo B è quello che resta di novanta gradi, quindi è 53,13
   4. L'area è la metà di tre per quattro, e il perimetro è la somma dei tre lati

   Il triangolo con cui la pagina si carica, e il più piccolo dei triangoli rettangoli a lati interi: lo stesso su cui è costruita la pagina del teorema di Pitagora, quindi le due concordano fino all'ultimo decimale su ipotenusa, area e perimetro. Nota che entrambi i cateti compaiono nell'output oltre che essere stati digitati: il pannello stampa sempre tutte e sette le quantità, e la promessa di risolvere il triangolo intero è il motivo. Entrambi gli angoli stanno fra zero e novanta, e sommano esattamente a novanta invece che a 89,99, perché il secondo è calcolato come il resto.

2. Un cateto e l'ipotenusa, 6 e 10

   1. L'ipotenusa e un cateto sono dati, quindi l'altro cateto è la radice di dieci al quadrato meno sei al quadrato
   2. Cento meno trentasei fa sessantaquattro, la cui radice è 8
   3. Gli angoli seguono dai cateti: la tangente di A è 6 fratto 8
   4. Adesso si conoscono i tre lati, quindi area e perimetro sono aritmetica

   L'altro cateto esce dallo stesso teorema letto al contrario: cento meno trentasei fa sessantaquattro, e la radice di sessantaquattro è otto. È il caso in cui il teorema di Pitagora fa una sottrazione invece di un'addizione, ed è anche quello che fallisce quando le due caselle vengono riempite nell'ordine sbagliato: un'ipotenusa più corta di un cateto non ha soluzione, e la pagina lo dice invece di restituire un numero. Gli angoli coincidono esattamente con la riga del tre quattro cinque, perché sei otto dieci è quel triangolo raddoppiato.

3. Un cateto e l'angolo opposto, 3 e 30 gradi

   1. L'angolo A sta di fronte al cateto a, quindi il seno di trenta gradi lega il cateto all'ipotenusa: il cateto è l'ipotenusa per un mezzo
   2. Quindi l'ipotenusa è il doppio del cateto, cioè 6
   3. L'altro cateto è il cateto fratto la tangente di trenta gradi, circa 5,2
   4. L'angolo B è quello che resta di novanta, quindi è 60

   Questo è il triangolo trenta sessanta novanta, quello i cui lati stanno nel rapporto uno a radice di tre a due, ed è la riga che mostra quale angolo è quale: A sta di fronte al lato che hai dato, quindi il lato di lunghezza 3 è quello di fronte all'angolo di trenta gradi ed è il più corto. Digita lo stesso cateto con l'angolo B uguale a sessanta e ogni numero esce identico: i due angoli descrivono la stessa figura, e quella coppia è il controllo che la pagina fa su se stessa. Il cateto, l'area e il perimetro sono arrotondati a due decimali, quindi 5,196 compare come 5,2.

4. L'ipotenusa e un angolo, 10 e 30 gradi

   1. Con l'ipotenusa nota, il cateto di fronte all'angolo di trenta gradi è l'ipotenusa per il seno di trenta, cioè 10 per un mezzo
   2. L'altro cateto è l'ipotenusa per il coseno di trenta, circa 8,66
   3. Gli angoli sono già noti: trenta e il suo complementare sessanta
   4. L'area è la metà di cinque per 8,66, e il perimetro è la somma dei tre lati

   La stessa figura della riga precedente al doppio della dimensione: i lati sono 5, 8,66 e 10 contro 3, 5,2 e 6, e il rapporto fra loro è lo stesso dappertutto, che è ciò che significa per due triangoli avere gli stessi angoli. Nota che l'ipotenusa viene stampata anche se sei stato tu a digitarla: è ricalcolata dai cateti invece che ripetuta, così i tre lati sul pannello soddisfano sempre esattamente il teorema di Pitagora e non possono contraddirsi. L'arrotondamento a due decimali è quello che fa comparire 8,66 invece di 8,6602.

Quattro cose da sapere. Primo, devono essere riempite esattamente due delle cinque caselle, e le due non possono essere entrambe angoli. Una casella non è informazione sufficiente, tre è più che sufficiente, e la pagina distingue i due casi nel suo messaggio; due angoli fanno il numero giusto e restano comunque irrisolvibili, perché due angoli fissano la forma e non dicono niente sulla dimensione. Il pannello da solo non segnala quali caselle sta aspettando, quindi il conto tocca a te. Secondo, entrambi gli angoli acuti sono accettati ma nessuno dei due può valere zero o novanta gradi, perché gli angoli acuti di un triangolo rettangolo stanno strettamente fra quei valori; un lato di lunghezza zero viene rifiutato per la stessa ragione, visto che un triangolo degenere non ha né area né perimetro che valga la pena di stampare. Terzo, la pagina riporta in centimetri e centimetri quadrati qualunque sia l'unità che hai digitato: un cateto inserito in piedi viene convertito prima che il triangolo sia risolto, e le risposte tornano in centimetri. Quarto, due delle sette righe di output sono di solito un'eco del tuo input, quindi riempire un cateto e rivedere quel cateto stampato non significa che la pagina non abbia calcolato: il valore che stampa è passato per la conversione di unità e per l'arrotondamento, e sono le altre righe a portare l'informazione nuova.

Quante delle cinque caselle devo riempire?

Esattamente due. Due misure qualsiasi fra i tre lati e i due angoli acuti bastano a determinare per intero un triangolo rettangolo, e una sola non basta: un lato da solo lascia libera la forma e un angolo da solo lascia libera la dimensione. La pagina ne rifiuta anche tre, non perché tre misure siano ambigue ma perché il messaggio che ti serve in quel caso riguarda il conto e non l'aritmetica. L'unica coppia che riempie il numero giusto di caselle e fallisce comunque è quella dei due angoli, che fissano la forma e non la dimensione.

Perché il pannello stampa anche il lato che ho digitato?

Perché la pagina promette il triangolo intero e non solo le parti che non hai fornito. La sua lista di output è fissa, quindi un cateto che hai digitato compare fra le sette righe insieme a tutto il resto. La riga sembra non aver fatto niente, ma il valore è passato per la conversione di unità e per l'arrotondamento, e sono le altre sei righe a contenere l'informazione nuova. L'alternativa, cioè un pannello le cui righe cambiano a seconda delle caselle riempite, sarebbe più difficile da leggere, non più facile.

Quale angolo è l'angolo A?

L'angolo A è quello di fronte al cateto a; l'angolo B sta di fronte al cateto b. Quindi se digiti un cateto di 3 e un angolo di 30 gradi, la pagina legge il 3 come il lato di fronte a quell'angolo di trenta gradi, il che lo rende il cateto corto di un triangolo trenta sessanta novanta. I due angoli acuti sommano sempre esattamente a novanta gradi, perché l'angolo retto si prende i novanta che restano dei centottanta del triangolo, e la pagina calcola il secondo come il resto invece di ricavarlo a parte: è per questo che non arrotondano mai a 89,99.

In quali unità sono le risposte?

Sempre in centimetri e centimetri quadrati, qualunque unità tu abbia inserito. La pagina converte il tuo input in un'unità comune prima di risolvere il triangolo, e gli output sono dichiarati in centimetri, quindi un cateto digitato in piedi torna indietro come un numero di centimetri. Gli angoli sono sempre in gradi per la stessa ragione: puoi inserirli in radianti o in gradi centesimali, ma il pannello riporta i gradi.

Qual è la differenza fra questa pagina e quella del teorema di Pitagora?

Questa pagina accetta più input e restituisce più output. La pagina del teorema di Pitagora prende due dei tre lati e risponde alla domanda più stretta del lato mancante; questa prende due misure qualsiasi fra cinque, angoli compresi, e restituisce la figura completa, mettendo l'ipotenusa in testa in ogni caso. Le due concordano esattamente dove si sovrappongono, perché lavorano sullo stesso triangolo con lo stesso arrotondamento.

Perché un'ipotenusa più corta di un cateto viene rifiutata?

Perché un triangolo così non esiste. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto ed è sempre il più lungo dei tre, quindi deve essere strettamente maggiore di ciascun cateto. Quando le due caselle vengono riempite con un cateto e un'ipotenusa e l'ipotenusa è il numero più piccolo, i due valori sono quasi certamente stati inseriti al contrario, e la pagina lo dice e propone di scambiarli invece di calcolare la radice di un numero negativo, che non darebbe nessuna risposta.

• Right Triangle — the five measurements, which combinations determine the triangle, and the identities that relate them — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean Theorem — the relation between the three sides, with the converse and the degenerate cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Finding a Side in a Right-Angled Triangle — using the sine, cosine and tangent to solve for a side from one side and one angle — Math is Fun (United Kingdom)
• Triangolo rettangolo — le cinque misure, i rapporti fra i lati, e il teorema di Pitagora come caso particolare della trigonometria — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)