Calcolatrice della legge dei seni

a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C sen B = b · sen A ÷ a C = 180° − A − B c = a · sen C ÷ sen A

a e A

Il lato che conosci insieme all'angolo che gli sta di fronte. Questi due sono la coppia che fissa il rapporto per tutto il triangolo, e almeno uno dei due deve esserci perché la legge dei seni serva a qualcosa

b

Il secondo lato che conosci. È quello che decide quante soluzioni ammettono i dati, e tutto il caso ambiguo gira intorno a come la sua lunghezza si confronta con il lato a

B

L'angolo che sta di fronte al lato b. L'arcoseno del rapporto restituisce sempre l'angolo acuto fra zero e novanta gradi, e quando anche il suo supplementare ottuso sta dentro un angolo piatto esiste un secondo triangolo che lo usa

C e c

Il terzo angolo e il terzo lato, entrambi ottenuti dopo che B è fissato: l'angolo sottraendo gli altri due da un angolo piatto, il lato dallo stesso rapporto condiviso

Usa questa pagina quando conosci due lati e un angolo che non sta fra loro — due rilevamenti e una distanza attraverso una baia, due lati di una poligonale topografica dove l'angolo è all'estremità lontana — e vuoi risolvere un triangolo per intero. È l'unica forma di dati che la legge dei coseni non prende comodamente, ed è anche l'unica in cui la risposta può essere una scelta invece di una misura, ed è per questo che la pagina mette il conteggio in testa. Se i dati ammettono due triangoli, guarda anche gli angoli prima di decidere in quale ti trovi: chi fa un rilevamento su due punti noti di solito sa se l'angolo che ha davanti è acuto o ottuso, e quel solo fatto sceglie il triangolo. Se hai tutti e tre i lati, oppure due lati e l'angolo compreso fra loro, la pagina giusta è quella della legge dei coseni, che non ha nessuna ambiguità. E se ti serve un solo lato di un triangolo rettangolo, la pagina del triangolo rettangolo è più corta di entrambe.

1. Due lati e un angolo spalancato, 6, 30 gradi e 8

   1. Il rapporto condiviso è il lato a fratto il seno dell'angolo A, cioè 6 diviso 0,5, che fa 12
   2. Il seno dell'angolo B è il lato b fratto quel rapporto, cioè 8 diviso 12, che fa 0,6667
   3. L'angolo il cui seno è 0,6667 misura 41,81 gradi — e il suo supplementare di 138,19 gradi ha lo stesso seno, quindi sono candidati entrambi
   4. L'angolo C è quello che resta di un angolo piatto: 180 meno 30 meno 41,81 fa 108,19
   5. Il lato c viene dallo stesso rapporto, 12 per il seno di 108,19 gradi, cioè 11,4

   I valori con cui la pagina si apre, e la figura da manuale del caso ambiguo: il secondo lato è più lungo del primo, quindi può ruotare da una parte e dall'altra della perpendicolare e chiudere comunque la figura. Le quattro letture descrivono il triangolo costruito sull'angolo B acuto, quello in cui il secondo lato si tiene indietro verso la base. L'altro triangolo usa il supplementare ottuso di 41,81 gradi, cioè 138,19, e sta nell'ultima colonna della tabella qui sotto; il suo terzo angolo è un angolo stretto di 11,81 gradi invece dei 108,19 stampati qui. Sono entrambe risposte corrette alle stesse tre informazioni.

2. Lo stesso angolo con il secondo lato più corto, 8, 30 gradi e 6

   1. Il rapporto condiviso è 8 diviso il seno di 30 gradi, cioè 16
   2. Il seno dell'angolo B è 6 diviso 16, cioè 0,375
   3. L'angolo il cui seno è 0,375 misura 22,02 gradi; il suo supplementare di 157,98 non lascia spazio all'angolo A, perché 30 più 157,98 supera già un angolo piatto, quindi sopravvive solo l'opzione acuta
   4. L'angolo C è 180 meno 30 meno 22,02, cioè 127,98
   5. Il lato c è 16 per il seno di 127,98 gradi, cioè 12,61

   Scambia i due lati e l'ambiguità sparisce: 6 è più corto di 8, quindi la seconda posizione non riesce più a chiudere la figura e resta un triangolo solo. Il numero di soluzioni scende da due a uno senza che nessuno degli altri numeri cambi natura, ed è esattamente il motivo per cui il conteggio viene stampato per primo: gli stessi tre tipi di dato producono una risposta diversa a seconda di come si confrontano le due lunghezze. Nota che il triangolo superstite è quello ottuso in C, a 127,98 gradi, perché con un secondo lato più corto la figura si chiude andando più avanti.

3. Il caso di confine, 5, 30 gradi e 10

   1. Il rapporto condiviso è 5 diviso il seno di 30 gradi, cioè 10
   2. Il seno dell'angolo B è 10 diviso 10, cioè esattamente 1
   3. Un seno pari a 1 fissa l'angolo a 90 gradi senza seconda opzione, perché fra zero e 180 non esiste un altro angolo con lo stesso seno
   4. L'angolo C è 180 meno 30 meno 90, cioè 60, e il lato c è 10 per il seno di 60 gradi, cioè 8,66

   Il secondo lato è lungo quanto basta per arrivare una volta sola: cade perpendicolare sul terzo lato e il triangolo è rettangolo, con B esattamente a 90 gradi. Questa è la linea che divide il nessun triangolo dal due triangoli, e vale la pena guardare cosa succede attraversandola dal basso: le due soluzioni compaiono insieme nell'istante in cui il lato supera di un soffio questa misura, una appena oltre i novanta gradi e l'altra appena sotto, e poi si separano man mano che il lato cresce. Al valore esatto ce n'è una, e il suo seno esce pari a 1 senza nulla di arrotondato.

4. Un angolo di 90 gradi dato invece che trovato

   1. Il rapporto condiviso è 10 diviso il seno di 90 gradi, cioè 10 stesso
   2. Il seno dell'angolo B è 6 diviso 10, cioè 0,6, che dà 36,87 gradi
   3. L'angolo C è 180 meno 90 meno 36,87, cioè 53,13
   4. Il lato c è 10 per il seno di 53,13 gradi, cioè 8

   Qui l'angolo retto è uno dei dati che hai fornito, non qualcosa che l'aritmetica scopre, e il rapporto condiviso diventa l'ipotenusa fratto uno, cioè l'ipotenusa stessa. Da lì la legge dei seni dà direttamente i due angoli acuti e il terzo lato esce pari a 8 esatto, un numero pulito perché questo non è altro che il triangolo tre quattro cinque moltiplicato per due. È un buon controllo per l'intera pagina: ogni volta che il lato di fronte all'angolo retto è il più lungo dei tre, tutto deve concordare con il teorema di Pitagora, e qui concorda.

Tre limiti che vale la pena dichiarare senza giri di parole. Il pannello stampa un triangolo, non due. Quando il numero di soluzioni è 2, le quattro letture che stanno sotto appartengono al triangolo costruito sull'angolo B acuto, e il suo compagno ottuso è nominato nell'ultima colonna della tabella di riferimento invece che mostrato nel pannello: il pannello ha un posto solo per una risposta e nessun modo di presentarne due affiancate, quindi la scelta è stata stampare l'angolo più piccolo e indicare l'altro. Secondo, i dati devono avere un senso prima che si possa risolvere qualcosa: l'angolo dato deve stare strettamente fra zero e centottanta gradi, e se il secondo lato è troppo corto per raggiungere il terzo non esiste nessun triangolo e la pagina lo dichiara invece di inventarlo. Un angolo di zero gradi o di esattamente un angolo piatto viene rifiutato e non approssimato, perché un triangolo con un angolo nullo non ha una forma da risolvere. Terzo, le letture sono date a due decimali, e su un triangolo molto grande questo smette di significare qualcosa: un lato di diverse centinaia di milioni di centimetri non può portare dei centesimi in un numero in doppia precisione, quindi considera indicativi i decimali della lunghezza stampata quando la figura è di quella taglia. Gli angoli restano accurati, perché un centesimo di grado resta un centesimo di grado qualunque sia la dimensione del triangolo.

Che cos'è il caso ambiguo della legge dei seni?

È la situazione in cui due lati e un angolo che non sta fra loro ammettono due triangoli diversi invece di uno. L'angolo dato fissa la direzione di un lato ma non da che parte ruota l'altro, quindi il secondo lato può tenersi indietro e chiudere subito la figura oppure andare avanti e chiuderla più tardi: un triangolo è piccolo e ha un angolo ottuso dove l'altro è grande e acuto. Entrambi usano le stesse tre informazioni. Questa pagina conta prima le possibilità e poi svolge quella acuta, perché che la seconda posizione esista dipende da come si confrontano le due lunghezze.

Come faccio a sapere se il triangolo è uno o due?

Confronta il secondo lato con il primo. Calcola il secondo lato per il seno dell'angolo dato e dividi per il primo lato: se quel numero supera uno i dati non fanno nessun triangolo, perché nessun angolo ha un seno maggiore di uno. Se sta sotto uno hai l'angolo acuto, e esiste un secondo triangolo ogni volta che il suo supplementare ottuso lascia ancora spazio all'angolo dato, cioè ogni volta che i due angoli insieme restano sotto i 180 gradi. La pagina fa quel confronto al posto tuo e stampa il numero di soluzioni come sua risposta principale.

Quale dei due triangoli mi mostra la calcolatrice?

Quello costruito sull'angolo B più piccolo, cioè il triangolo il cui terzo angolo è più grande. Il pannello stampa il conteggio e poi le quattro letture di quel triangolo, e il supplementare ottuso di B compare nell'ultima colonna della tabella di riferimento lì accanto, quindi entrambi sono sulla pagina. Il motivo per cui ne viene mostrato uno invece di due è che un pannello dei risultati ha un posto solo per una risposta; stampare due serie di quattro numeri senza spazio per etichettarle sarebbe peggio che stamparne una sola e nominare l'altra.

Perché la pagina rifiuta un angolo di 0 o di 180 gradi?

Perché un triangolo con un angolo nullo non è un triangolo: è un segmento con un punto sopra, e il lato di fronte all'angolo nullo dovrebbe essere zero anche lui. Quei due valori stanno al confine dove la figura smette di esistere, non al bordo dell'aritmetica, e la risposta onesta è dirlo invece di restituire un angolo di zero e un lato di zero che sembrano una soluzione. Gli angoli in mezzo vanno bene tutti, compresi quelli vicinissimi a uno dei due estremi, dove il triangolo diventa lunghissimo e sottilissimo ma resta un triangolo vero.

Quando uso la legge dei seni e quando quella dei coseni?

Usa la legge dei seni quando hai un lato insieme all'angolo che gli sta di fronte e un altro dato qualsiasi, e la legge dei coseni quando hai tutti e tre i lati oppure due lati e l'angolo compreso fra loro. Il caso che decide è quello di due lati e un angolo che non sta fra loro: è la forma di questa pagina, ed è quella che la legge dei coseni prende male perché deve risolvere un'equazione di secondo grado. È anche la forma che porta con sé l'ambiguità, ed è per questo che questa pagina spende la sua intestazione sul conteggio: per risolvere un triangolo di quel tipo la prima cosa da sapere è quante risposte esistono.

Perché la lunghezza stampata è accurata solo a due decimali?

Due decimali è quanto la pagina arrotonda, e per un triangolo ordinario è una precisione ben dentro quella che un numero in doppia precisione sa rappresentare. Su un triangolo molto grande non lo è: un lato di diverse centinaia di milioni ha esaurito la precisione del numero prima che i decimali entrino in gioco, quindi le ultime cifre di una lettura così viaggiano insieme al resto invece di essere misurate. Gli angoli non hanno questo problema, perché un centesimo di grado resta un centesimo di grado per grande che sia il triangolo.

• Law of Sines — the shared ratio of a side to the sine of the opposite angle, and the conditions under which the relation admits two triangles — Wolfram MathWorld (United States)
• Law of Cosines — the companion relation for three sides, and the shape of triangle this page cannot take — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the triangle inequality, the rule that the largest side faces the largest angle, and the cases in which a triangle is not determined by its parts — Wolfram MathWorld (United States)
• Teorema dei seni — il rapporto costante fra un lato e il seno dell'angolo opposto, e il caso ambiguo in cui i dati ammettono due triangoli — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)