Calcolatrice del triangolo

c = √(a² + b² − 2ab × cos C) A = ½ × a × b × sen C A + B + C = 180°

a, b

I due lati che conosci, in centimetri. Sono intercambiabili: alla pagina non importa quale chiami a e quale b, e scambiarli scambia solo i due angoli che stampa. Entrambi devono essere maggiori di zero, perché un lato nullo non lascerebbe alcun triangolo

C

L'angolo compreso fra i due lati noti, in gradi, radianti o gradi centesimali. Si chiama angolo compreso perché è racchiuso dai due lati che hai dato, ed è l'unico angolo che la pagina ti lascia specificare. Può valere qualunque cosa da 0 a 180 gradi; a esattamente 0 o 180 il triangolo si appiattisce in una linea e la pagina risponde comunque, con un angolo di 0 e un altro di 180

c

Il terzo lato, in centimetri, opposto all'angolo C. Deriva dal teorema del coseno, che è il teorema di Pitagora con un termine di correzione per i triangoli che non sono rettangoli: quando C vale 90 gradi il coseno è 0, il termine sparisce e resta a² + b² = c². È la risposta principale della pagina perché ogni altra lettura dipende da lui

A, B

I due angoli che non hai dato, in gradi. Ognuno deriva dal teorema del coseno applicato di nuovo al triangolo ormai noto per intero, prendendo il terzo lato prima che venga arrotondato, e i due sommati a C fanno 180 fino all'ultima cifra decimale. Un triangolo quasi rettangolo può comunque uscire a esattamente 90 una volta arrotondati gli angoli a due decimali, e viene segnalato come rettangolo: la classificazione è fatta sui numeri che la pagina stampa, non su quelli che stanno dietro

½ × a × b × sen C

L'area in centimetri quadrati: metà del prodotto dei due lati noti per il seno dell'angolo compreso. È la formula dell'area ridotta al caso in cui l'angolo è noto, dato che l'altezza che altrimenti ti servirebbe è b × sen C: è per questo che gli stessi 3 e 4 danno un'area di 6 ad angolo retto e solo 5,1962 a 60 gradi, con i lati invariati

A + B + C = 180°

La somma degli angoli, ed è ciò che rende possibile la classificazione: con tutti e tre gli angoli noti, il più grande decide se il triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo, e l'angolo più grande sta sempre di fronte al lato più lungo. La classificazione legge i due angoli che la pagina stampa e prende il terzo come 180 meno quei due, quindi il badge giudica i numeri sullo schermo — arrotondamenti compresi — e non può contraddirli per un artefatto di arrotondamento

Usa questa pagina quando hai due lati e l'angolo fra loro compreso, che è il caso comune per tutto ciò che viene misurato o specificato sul posto: due bordi di un appezzamento con l'angolo fra loro, due puntoni che si incontrano a un angolo noto, una trave di tetto descritta da una proiezione e da una pendenza, un triangolo di tessuto tagliato da un angolo. È anche la pagina giusta quando la domanda riguarda la forma del triangolo invece della sua dimensione: se un angolo è squadrato, se un triangolo è acutangolo, se una terna di lati può formare un triangolo ottusangolo. E poiché la pagina stampa anche il tipo, risponde al controllo che un falegname fa con il triangolo 3-4-5: inserisci i lati 3 e 4 con un angolo di 90 e la risposta torna rettangola; inserisci gli stessi lati con un angolo di 92 e torna ottusangola, con il terzo lato ormai troppo lungo per un angolo retto. Usa la calcolatrice della formula di Erone quando hai tre lati e nessun angolo, cioè il caso opposto. Usa la calcolatrice dell'area del triangolo quando hai una base e un'altezza perpendicolare, perché quella pagina non ha bisogno di trigonometria. Usa la calcolatrice del teorema di Pitagora quando l'angolo è noto per essere retto e vuoi la via semplice a² + b² = c², oppure quando hai un triangolo rettangolo e un lato e l'ipotenusa. E usa le pagine del triangolo equilatero o isoscele quando il triangolo ha una simmetria particolare, perché quelle pagine prendono meno numeri e danno gli angoli senza chiederli.

1. Lati 3 e 4 con un angolo retto

   1. Il coseno di 90° è 0, quindi il termine di correzione sparisce: c = √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Area: ½ × 3 × 4 × sen 90° = ½ × 12 × 1 = 6
   3. Perimetro: 3 + 4 + 5 = 12
   4. Angolo A, opposto al lato di 3: cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5) = 32 ÷ 40 = 0,8, quindi A = 36,87°
   5. Angolo B: 180 − 90 − 36,87 = 53,13°
   6. L'angolo più grande è 90°, quindi la pagina segnala un triangolo rettangolo

   Il triangolo 3-4-5, e la riga che rende utile la classificazione: la pagina riconosce l'angolo retto e lo dice, invece di lasciarti il compito di verificarlo. I due angoli di 36,87 e 53,13 sono la coppia che ricompare in ogni triangolo 3-4-5 e, all'altro capo della stessa aritmetica, nel rombo le cui diagonali misurano 6 e 8. È anche la dimostrazione più chiara che il teorema del coseno contiene il teorema di Pitagora: a 90 gradi il termine di correzione è nullo e le due formule sono la stessa frase.

2. Lati 5 e 5 a 60 gradi

   1. Il coseno di 60° è 0,5: c = √(25 + 25 − 2 × 5 × 5 × 0,5) = √(50 − 25) = √25 = 5
   2. Il terzo lato esce uguale ai due che hai dato, quindi tutti e tre i lati valgono 5
   3. Area: ½ × 5 × 5 × sen 60° = 12,5 × 0,866025… = 10,8253
   4. Perimetro: 5 + 5 + 5 = 15
   5. Tre lati uguali lasciano tre angoli uguali: (180 − 60) ÷ 2 = 60, quindi la pagina stampa 60 per entrambi gli angoli rimasti
   6. L'angolo più grande è 60°, quindi la pagina segnala un triangolo acutangolo

   Due lati uguali con un angolo di 60 gradi è l'unico caso in cui il terzo lato è costretto a raggiungerli, e il triangolo esce equilatero: 60 gradi è l'angolo al quale la base di un triangolo isoscele diventa esattamente lunga quanto i suoi due lati uguali. La calcolatrice del triangolo equilatero in questa sotto-categoria risolve la stessa figura a partire da un solo lato, dato che con tutti e tre i lati uguali non resta nulla da dire; l'interesse di farlo qui è vedere il terzo lato atterrare su 5 invece di sentirselo dire. L'area di 10,8253 è la stessa cifra che ricompare nel rombo il cui lato è 5 e il cui angolo è 60, e non è una coincidenza: quel rombo è due di questi triangoli, e 2 × 10,8253 sarebbero i suoi 21,6506 centimetri quadrati.

3. Lati 7 e 8 a 60 gradi

   1. Il coseno di 60° è 0,5: c = √(49 + 64 − 2 × 7 × 8 × 0,5) = √(113 − 56) = √57 = 7,549834… → 7,5498
   2. Area: ½ × 7 × 8 × sen 60° = 28 × 0,866025… = 24,2487
   3. Perimetro: 7 + 8 + 7,5498 = 22,5498
   4. Angolo A, opposto al lato di 7: cos A = (64 + 57 − 49) ÷ (2 × 8 × 7,5498) = 72 ÷ 120,797 = 0,596, quindi A = 53,41°
   5. Angolo B: 180 − 60 − 53,41 = 66,59°
   6. L'angolo più grande è 66,59°, quindi la pagina segnala un triangolo acutangolo

   Il caso ordinario, e quello da leggere se vuoi vedere cosa fa la pagina quando non c'è nulla di speciale: due lati di lunghezza diversa, un angolo di 60 gradi e tre risposte che non sono numeri tondi. Il terzo lato di 7,5498 è più lungo di 7 e più corto di 8, che è l'unica cosa che se ne può dire in anticipo: il lato opposto all'angolo di 60 gradi sta fra i due lati che lo racchiudono, e i due angoli che non hai dato si spartiscono i 120 gradi rimasti in proporzione ai lati a cui sono opposti: il lato minore di 7 prende la parte minore, 53,41 contro 66,59. L'area di 24,2487 è vicina ma non uguale ai 24 centimetri quadrati che la pagina del trapezio raggiunge da un'altra quaterna di lati, e il quasi-incontro ricorda che i numeri tondi vengono dagli ingressi, non dalla formula.

4. Lati 10 e 10 a 120 gradi

   1. Il coseno di 120° è −0,5: c = √(100 + 100 − 2 × 10 × 10 × (−0,5)) = √(100 + 100 + 100) = √300 = 17,320508… → 17,3205
   2. Area: ½ × 10 × 10 × sen 120° = 50 × 0,866025… = 43,3013
   3. Perimetro: 10 + 10 + 17,3205 = 37,3205
   4. I due lati uguali lasciano due angoli uguali: (180 − 120) ÷ 2 = 30 ciascuno
   5. L'angolo più grande è 120°, quindi la pagina segnala un triangolo ottusangolo

   Un triangolo ottusangolo, e il caso in cui il termine di correzione del teorema del coseno cresce invece di ridursi: il coseno di 120 gradi è negativo, quindi sottrarlo somma e il terzo lato esce più lungo di entrambi i lati che hai dato — 17,3205 contro 10. È la firma di un angolo sopra i 90 gradi, ed è esattamente quello che la classificazione sta leggendo. L'area, 43,3013, è minore dei 50 centimetri quadrati che gli stessi due lati racchiuderebbero ad angolo retto, quindi allargare l'angolo oltre i 90 compra lunghezza sul lato opposto al prezzo dell'area: lo stesso scambio che fa la pagina del rombo quando lo si inclina, e la ragione per cui la pagina dichiara il tipo invece di lasciartelo dedurre dai numeri.

Questa pagina risolve un triangolo da due lati e dall'angolo compreso fra loro, e non risolve nessuna delle altre cinque combinazioni di tre elementi noti. Dagli tre lati e non ha nulla con cui lavorare: la calcolatrice della formula di Erone li prende e dà l'area, e gli angoli richiederebbero un secondo passaggio che questa pagina non fa. Dagli due angoli e un lato e non ti aiuterà, anche se al suo interno calcola esattamente quello. Non funziona all'indietro: non c'è una via da un'area o da un perimetro al triangolo che li ha prodotti, e un triangolo con un'area assegnata ha infinite forme. Le uscite sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque unità sia stata inserita, e i due angoli sono sempre stampati in gradi anche se hai digitato radianti o gradi centesimali: il selettore dell'unità cambia come viene letto il tuo angolo, non come vengono scritte le risposte. Quel selettore è anche l'unica trappola che vale la pena nominare: 60 radianti non è 60 gradi, e la pagina calcolerà il triangolo per l'unità selezionata invece di segnalare che il numero è troppo grande per essere un angolo. Entrambi i lati devono essere maggiori di zero, quindi un triangolo con un lato nullo viene rifiutato; ma un angolo di esattamente 0 o 180 gradi è accettato e produce un triangolo piatto con angoli di 0, 180 e 0, che la pagina classifica come ottusangolo — aritmeticamente coerente e quasi mai quello che si vuole, e la pagina non avverte che la figura è collassata. Un triangolo con due lati uguali e un angolo di 0 viene rifiutato invece che risolto, perché il terzo lato sarebbe nullo e non resterebbe alcun triangolo. Il tipo stampato sotto le risposte è deciso dagli angoli così come sono stampati, arrotondati a due decimali, quindi un triangolo il cui angolo più grande è 89,999 gradi viene segnalato come rettangolo: è la lettura onesta dei numeri sullo schermo, e ricorda che la classificazione è precisa quanto la visualizzazione e non di più. La pagina non verifica che i tuoi tre numeri descrivano davvero un triangolo, oltre all'intervallo dell'angolo, perché due lati positivi qualsiasi e un angolo qualsiasi nell'intervallo lo fanno sempre. Le quattro cifre decimali sulle lunghezze e due sugli angoli sono larghezze di visualizzazione condivise con il resto della sotto-categoria, non dichiarazioni di precisione. Qui non si tiene conto di sfridi o scarti di taglio.

Come trovo il terzo lato di un triangolo da due lati e un angolo?

Con il teorema del coseno: il terzo lato è la radice quadrata di a² + b² − 2ab × cos C, dove C è l'angolo compreso fra i due lati che conosci. Per i lati 3 e 4 con un angolo retto fra loro il coseno è 0 e la risposta è √25 = 5. A 60 gradi il coseno è 0,5, il termine di correzione vale 12 e il terzo lato è √13, cioè circa 3,6056: sensibilmente più corto, a parità di lati di partenza.

Come fa la pagina a decidere se un triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo?

Dal più grande dei tre angoli. Sotto i 90 gradi il triangolo è acutangolo, a esattamente 90 è rettangolo, sopra i 90 è ottusangolo. L'angolo più grande sta sempre di fronte al lato più lungo, quindi la stessa verifica si può fare sui lati: eleva al quadrato i due minori e confronta la loro somma con il quadrato del maggiore — uguale significa rettangolo, maggiore acutangolo, minore ottusangolo. Lati 5, 5 e 8,6603 danno un angolo di 120 gradi e un triangolo ottusangolo.

Perché due lati e l'angolo compreso determinano tutto il triangolo?

Perché i due lati sono liberi di aprirsi come un compasso, ed è l'angolo a fissare quanto finiscono distanti. Una volta fissato l'angolo, fra le due estremità libere c'è una sola distanza possibile, quindi il terzo lato è fissato, e con tre lati sono fissati anche gli angoli. È per questo che due lati da soli non bastano — 3 e 4 possono racchiudere qualunque area da quasi 0 a 6 centimetri quadrati, il massimo dei quali si ha ad angolo retto — e che nemmeno tre angoli da soli bastano, perché fissano la forma ma non la dimensione.

Qual è la formula dell'area usata qui?

Metà del prodotto dei due lati noti per il seno dell'angolo compreso: A = ½ × a × b × sen C. È la solita formula base per altezza diviso due con l'altezza sostituita, perché l'altezza rispetto a uno dei lati è l'altro lato moltiplicato per il seno dell'angolo compreso. I lati 3 e 4 ad angolo retto danno ½ × 12 × 1 = 6 centimetri quadrati; gli stessi due lati a 60 gradi danno 5,1962, dato che sen 60 vale 0,866.

Cosa succede se l'angolo è 0 o 180 gradi?

Il triangolo collassa in una linea e la pagina risponde comunque: con un angolo di 0 fra i lati 3 e 4 il terzo lato è 1, un angolo misura 180 gradi e gli altri due sono 0. La classificazione torna ottusangola, il che è coerente con la regola che tutto ciò che sta sopra i 90 è ottusangolo, anche se un triangolo appiattito è un caso degenere e non una figura vera. L'unica combinazione rifiutata senza appello è due lati uguali con un angolo di 0, dove il terzo lato sarebbe nullo e non resterebbe più nulla.

Posso usare questa pagina per un triangolo rettangolo?

Sì, e la pagina te lo dirà: inserisci 3 e 4 con un angolo di 90 e il tipo torna rettangolo. L'aritmetica degenera in modo pulito, perché il coseno di 90 gradi è 0 e il teorema del coseno si riduce ad a² + b² = c². Se tutti i triangoli che risolvi sono rettangoli, la calcolatrice del teorema di Pitagora in questa sotto-categoria prende i due lati direttamente e salta la trigonometria; ma questa pagina è quella da usare quando non sei sicuro che l'angolo sia esattamente squadrato.

• Triangle — the three-sided figure this page solves, including the angle sum, the classification into acute, right and obtuse, and the relation between the largest angle and the longest side — Wolfram MathWorld (United States)
• Acute Triangle — the case where all three angles are below a right angle, which is the first of the three grades this page reports — Wolfram MathWorld (United States)
• Obtuse Triangle — the case where one angle is above a right angle, where the correction term in the law of cosines is negative and the third side comes out longer than either of the sides given — Wolfram MathWorld (United States)