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Calcolatrice del teorema di Pitagora

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Risultato

5,00 cm

Lato mancante

Area
6,00 cm²
Perimetro
12,00 cm

Una calcolatrice del teorema di Pitagora risolve un triangolo rettangolo a partire da due dei suoi tre lati. Compila due delle tre caselle e la terza torna indietro, insieme all'area e al perimetro del triangolo. La relazione che sta dietro è breve: in un triangolo rettangolo i quadrati costruiti sui due lati più corti sommati danno il quadrato costruito sul lato più lungo, che è quello opposto all'angolo retto e si chiama ipotenusa. Scritta come formula, i due cateti al quadrato e sommati danno l'ipotenusa al quadrato. Quella singola riga contiene tre risolutori. Se dai i due cateti, sommi ed estrai una radice quadrata e ottieni l'ipotenusa. Se dai l'ipotenusa e un cateto, sottrai ed estrai una radice quadrata e ottieni l'altro cateto. Le due direzioni differiscono per un segno, e distinguerle è gran parte di quello che questa pagina fa per te. Due delle tre caselle devono essere piene, ed è una regola vera e non una formalità: i tre lati non sono indipendenti, quindi riempirle tutte e tre o ripete quello che il teorema già dice o lo contraddice, mentre riempirne una sola lascia la figura indeterminata. L'area e il perimetro arrivano di conseguenza perché costano quasi nulla una volta che il triangolo è completo, e perché spesso sono proprio quello per cui la misura serviva. Il teorema è molto più antico del nome che porta di solito. La voce di riferimento qui sotto osserva che la relazione era già in uso nei calcoli babilonesi più di un millennio prima di Pitagora, su una tavoletta la cui aritmetica dipende da essa, e che compare anche in antichi testi indiani sulla costruzione degli altari e in opere matematiche cinesi. Il testo cinese noto come Zhoubi Suanjing conserva una dimostrazione per dissezione, in cui pezzi disposti intorno a un quadrato centrale stabiliscono il rapporto fra i quadrati costruiti sui tre lati. Quello che oggi chiamiamo teorema di Pitagora è quindi un enunciato a cui sono arrivate più civiltà, non la scoperta di una sola persona, e la prima dimostrazione documentata è quella di Euclide e non di Pitagora. Tre cose sulle risposte vale la pena saperle prima di usarle. Il lato mancante è quasi sempre un numero irrazionale. Esistono triangoli rettangoli con i lati interi — tre e quattro che danno cinque è il più piccolo — e sono l'eccezione, quindi le due cifre decimali sullo schermo sono il punto in cui le cifre finiscono e non il punto in cui finisce il numero. Tutto è riportato in centimetri e centimetri quadrati qualunque unità dicano i menu, e su questa pagina la conversione avviene prima della risoluzione e non dopo, il che conta perché l'elevamento al quadrato non è lineare: un triangolo 3-4-5 inserito in pollici non è più 3-4-5 in centimetri. E la pagina risolve un lato e si ferma lì: non ti dice se i lati che hai formano una terna pitagorica, se il triangolo è isoscele o appartiene a un'altra famiglia speciale, né se l'angolo opposto a un lato è acuto o ottuso.

Triangoli rettangoli risolti da ogni coppia di lati di partenza

DatiCateto a (cm)Cateto b (cm)Ipotenusa (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)
a, b345612
a, b512133030
a, b815176040
a, c68102424
b, c512133030
a, b111.410.53.41
a, b0.51.21.30.33
a, c912155436

Otto triangoli, e la prima colonna indica da quali due lati parte ogni riga — a, b per due cateti, a, c oppure b, c per un cateto con l'ipotenusa. Quella colonna c'è perché una volta risolto il triangolo vengono stampati tutti e tre i lati, quindi senza di essa non potresti dire quale fosse la risposta. La prima riga è il dato con cui la pagina si carica, il più piccolo triangolo rettangolo con i lati interi, e la seconda è quello successivo. Le righe due e cinque sono lo stesso triangolo raggiunto in due modi diversi: il 5-12-13 risolto dai suoi due cateti e poi da un cateto e l'ipotenusa, e concordano su ogni colonna, il che è la pagina che si controlla attraverso entrambi i rami dell'aritmetica. Anche la quarta riga è il ramo della sottrazione, sei e dieci che danno otto, ed è il triangolo 3-4-5 raddoppiato. Le righe uno e otto sono invece lo stesso triangolo a scale diverse — nove, dodici e quindici è 3-4-5 con ogni lato triplicato, quindi la sua area è nove volte più grande e il perimetro tre volte. Le righe due e sette mostrano la stessa scalatura nella direzione opposta: mezzo, uno virgola due e uno virgola tre è 5-12-13 diviso per dieci, ed è per questo che lì i decimali sono esatti e non arrotondati. La terza riga è un'altra terna di numeri interi, 8-15-17, e la sesta è il caso isoscele, in cui l'ipotenusa è la radice quadrata di due e le due cifre decimali mostrate sono un'approssimazione. Ogni numero qui viene ricalcolato dai due lati di partenza quando la pagina viene costruita, e sono tutti in centimetri. I numeri della tabella sono quelli restituiti dal calcolo e non testo scritto a mano: il separatore decimale lì è il punto (1.41 invece di 1,41) e le migliaia non sono raggruppate (larghezze di quattro cifre comparirebbero come 1000 e non come 1.000), mentre nel testo qui sopra si usa la convenzione italiana. Sono lo stesso numero scritto in due modi, non due risposte diverse.

Formula

a² + b² = c² c = √(a² + b²) a = √(c² − b²) b = √(c² − a²) Area = ab ÷ 2 Perimetro = a + b + c

a
Uno dei due cateti, cioè i lati che si incontrano nell'angolo retto. Uno qualunque dei due cateti può chiamarsi a, quindi le due caselle dei cateti sono intercambiabili: scambiare i numeri fra loro non cambia nulla nella risposta
b
L'altro cateto. Quale dei due cateti compili e quale lasci vuoto non fa differenza per il triangolo; la casella chiamata b è semplicemente quella che non hai usato per a
c
L'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto e il più lungo dei tre. È l'unica casella in cui è facile sbagliare, perché ha l'aspetto di qualunque altra casella di lato: se la pagina dice che l'ipotenusa deve essere più lunga del cateto che le hai dato, i due numeri sono stati scambiati
Lato mancante
L'unico lato che hai lasciato vuoto, ricavato dagli altri due e mostrato per primo perché è la domanda che hai posto. Nota che può essere un cateto oppure l'ipotenusa, a seconda di quale casella hai lasciato libera
Area
La metà del prodotto dei due cateti, in centimetri quadrati. Usa solo i cateti: l'ipotenusa non entra mai nell'area di un triangolo rettangolo, ed è una cosa utile da ricordare quando si controlla un risultato
Perimetro
I tre lati sommati fra loro, in centimetri. È calcolato a partire dalle lunghezze non arrotondate, quindi sommare i due numeri stampati che hai inserito con il lato mancante stampato può dare una cifra diversa nell'ultima cifra
Due cifre decimali
La larghezza con cui sono scritti i tre risultati. Un lato che esce da una radice quadrata è irrazionale a meno che il triangolo non sia per caso una terna di numeri interi, quindi per la maggior parte dei dati le due cifre sono un taglio e non una fine

È la pagina giusta ogni volta che c'è di mezzo un angolo retto e manca una lunghezza. Una scala appoggiata a un muro, dove i due lati che puoi misurare sono il muro e il terreno e la scala è l'ipotenusa. Un campo rettangolare, dove la diagonale serve per una recinzione e i due lati sono già noti. Un tetto, dove salita e sviluppo orizzontale sono noti e la lunghezza della trave no. Uno schermo, di cui si dichiara la diagonale e non i due lati. Qualunque cosa si possa ricondurre a un rettangolo e alla sua diagonale è un lavoro per questa pagina. È anche la pagina da prendere in mano quando si verifica una distanza calcolata su una griglia di coordinate: gli spostamenti orizzontale e verticale fra due punti sono i cateti, e la distanza in linea retta fra loro è l'ipotenusa; è per questo che la pagina della distanza, in questa stessa sotto-categoria, e questa portano la stessa aritmetica in due costumi diversi. Due abitudini rendono la risposta facile da fidarsi. L'ipotenusa è sempre il lato più lungo, quindi un lato mancante che esce più lungo dell'ipotenusa che hai inserito è il segno che le due caselle sono state riempite al contrario. E il lato mancante è sempre più corto della somma degli altri due, perché la linea retta fra due punti è più breve di qualunque percorso che passi da un terzo; un risultato che viola l'uno o l'altro limite è sbagliato, indipendentemente da come sembra l'aritmetica. Quando hai tutti e tre i lati, vale la pena dare un'occhiata all'area come controllo: un triangolo con i cateti di tre e quattro copre sei unità quadrate, e uno che ne copre sessanta ha una virgola nel posto sbagliato.

Esempi svolti

  1. Cateti di tre e quattro

    1. Manca l'ipotenusa, quindi si somma: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
    2. Si estrae la radice quadrata: √25 = 5
    3. Area: (3 × 4) ÷ 2 = 6
    4. Perimetro: 3 + 4 + 5 = 12

    È il dato con cui la pagina si carica e il più piccolo triangolo rettangolo i cui tre lati sono tutti numeri interi. Qui ogni cifra è esatta, il che ne fa il caso di taratura: tre, quattro, cinque, area sei e perimetro dodici, senza nulla di arrotondato da nessuna parte. Se un lettore deve ricordarsi un solo triangolo rettangolo, che sia questo, perché è il modo più rapido di controllare qualsiasi altra risposta nelle stesse unità: nove più sedici fa venticinque, e un risultato che non si riduce a quello è andato storto da qualche parte.

  2. Cateti di cinque e dodici

    1. Ipotenusa: 25 + 144 = 169
    2. Radice quadrata: √169 = 13
    3. Area: (5 × 12) ÷ 2 = 30
    4. Perimetro: 5 + 12 + 13 = 30

    La terna di numeri interi successiva, e una coincidenza che vale la pena notare invece di scambiarla per un errore: l'area e il perimetro valgono entrambi trenta. È una proprietà di questo particolare triangolo e non una regola, ed è facile dimostrare a se stessi che non è una regola — il triangolo 3-4-5 qui sopra ha area sei e perimetro dodici, che non sono uguali. L'area di un triangolo rettangolo è la metà del prodotto dei cateti, mentre il perimetro è la loro somma, e le due coincidono solo quando i cateti soddisfano una particolare equazione.

  3. Un cateto e l'ipotenusa, con il cateto mancante

    1. Il lato mancante è un cateto, quindi si sottrae: 10² − 6² = 100 − 36 = 64
    2. Si estrae la radice quadrata: √64 = 8
    3. Area: (6 × 8) ÷ 2 = 24
    4. Perimetro: 6 + 8 + 10 = 24

    La direzione che usa la sottrazione, e quella che coglie di sorpresa perché le due operazioni differiscono per nient'altro che un segno. È il triangolo 3-4-5 raddoppiato, ed è per questo che area e perimetro cadono di nuovo sullo stesso numero: raddoppiare ogni lato quadruplica l'area e raddoppia il perimetro, e qui le due si incrociano. Leggendo la risposta sulla pagina, il lato mancante di 8 è più corto dell'ipotenusa di 10 e più lungo del cateto di 6, che è esattamente dove deve stare.

  4. L'altro cateto, da una coppia diversa

    1. Il lato mancante è un cateto, quindi si sottrae: 169 − 144 = 25
    2. Radice quadrata: √25 = 5
    3. Area: (5 × 12) ÷ 2 = 30
    4. Perimetro: 5 + 12 + 13 = 30

    Lo stesso triangolo del secondo esempio raggiunto da una coppia diversa di caselle, ed è il controllo che la pagina fa su se stessa. Il triangolo 5-12-13 si può risolvere sia dai suoi due cateti, che è il secondo esempio, sia da un cateto e l'ipotenusa, che è questo, e entrambe le strade devono produrre gli stessi tre lati. Nota che la casella lasciata vuota qui è diversa: la risposta è di nuovo un cateto, ma è il cateto a e non il cateto b, e i numeri nelle due caselle di ingresso sono scambiati rispetto all'esempio precedente.

  5. Entrambi i cateti uguali

    1. Ipotenusa: 1 + 1 = 2
    2. Radice quadrata: √2 = 1,4142135…, che arrotonda a 1,41
    3. Area: (1 × 1) ÷ 2 = 0,5
    4. Perimetro: 1 + 1 + 1,41421 = 3,41421…, che arrotonda a 3,41

    Il più piccolo triangolo rettangolo isoscele, e la dimostrazione standard che la risposta di solito non è un numero intero. L'ipotenusa di un quadrato di lato uno è la radice quadrata di due, un numero che non termina e non si ripete mai, e nessun triangolo con lati interi ha un rapporto fra i lati di uno a uno a radice di due: è proprio per questo che le risposte del teorema vanno arrotondate. Il perimetro è la cifra interessante qui: è l'unico risultato che dipende dall'ipotenusa non arrotondata, e sommando da solo i due numeri stampati al valore stampato 1,41 si ottiene lo stesso valore su questo dato, ma non su ogni dato.

  6. Cateti di mezzo e uno virgola due

    1. Ipotenusa: 0,25 + 1,44 = 1,69
    2. Radice quadrata: √1,69 = 1,3
    3. Area: (0,5 × 1,2) ÷ 2 = 0,3
    4. Perimetro: 0,5 + 1,2 + 1,3 = 3

    Una terna di numeri interi in incognito: mezzo, uno virgola due e uno virgola tre è il triangolo 5-12-13 con ogni lato diviso per dieci, quindi è esatto e non arrotondato nonostante i decimali. Le terne si riscalano, il che significa che ce ne sono infinite e anche che un triangolo rettangolo dai lati decimali apparentemente scomodi può comunque venire pulito. Fa anche notare che una risposta decimale non è la stessa cosa di una risposta arrotondata — questo 1,3 è esatto e il 1,41 dell'esempio precedente non lo è, e la pagina non ha modo di dirti quale dei due stai guardando.

Limiti

La pagina risolve un lato e ti dà l'area e il perimetro. Non ti dice se i lati formano una terna pitagorica, se il triangolo è isoscele né nient'altro su che tipo di triangolo sia, e questa è una decisione e non una dimenticanza. La domanda se un insieme di lati sia una terna pitagorica non si può rispondere in modo affidabile da dentro questa pagina, perché i numeri che il risolutore riceve sono già stati convertiti in centimetri: lati di tre e quattro pollici arrivano come 7,62 e 10,16, e se il 3-4-5 di partenza fosse una terna di numeri interi è un'informazione che la conversione ha già buttato via. Un giudizio che cambiasse risposta a seconda dell'unità scelta dall'utente sarebbe peggio di nessun giudizio, quindi la pagina tace e uno strumento separato è il posto giusto per quella risposta. Tutto è riportato in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dicano i menu, e la conversione avviene prima che il triangolo sia risolto e non dopo. L'elevamento al quadrato non è lineare, quindi non è la stessa cosa che risolvere nell'unità originale e convertire la risposta, e una terna di numeri interi digitata in pollici non produrrà centimetri interi. Il lato mancante esce da una radice quadrata ed è irrazionale per quasi tutti i dati, quindi due cifre decimali sono un taglio e non una risposta completa, anche se i dati stessi possono essere esatti. Il perimetro e l'area sono calcolati dalle lunghezze non arrotondate, quindi ricostruirli dalle cifre stampate sullo schermo può dare una differenza nell'ultima cifra. Esattamente due delle tre caselle devono essere piene: riempirne una sola viene rifiutato perché la figura non è determinata, e riempirle tutte e tre viene rifiutato perché i tre lati si vincolano a vicenda e un insieme che non concorda non descrive alcun triangolo. Un lato di lunghezza zero non è accettato, a differenza del raggio sulla pagina del cerchio qui accanto: un triangolo con un lato di lunghezza zero non esiste, e la sua area e il suo perimetro sarebbero entrambi privi di senso. L'ipotenusa deve essere strettamente più lunga del cateto con cui viene data, e quando non lo è la pagina ti chiede di scambiare i due numeri invece di riportare un codice di errore: quel messaggio significa che le due caselle sono state riempite al contrario, che è l'errore più comune che questa figura invita a fare. Infine questo è un triangolo piano con dentro un angolo retto, quindi i triangoli obliqui e quelli disegnati su una sfera restano fuori da ciò che il teorema afferma.

Domande frequenti

Quali due caselle devo riempire?
Due qualsiasi delle tre. I due cateti, oppure un cateto e l'ipotenusa: funzionano entrambe, e la pagina capisce di quale caso si tratta vedendo quale casella hai lasciato vuota. Quello che non accetta è una casella da sola o tutte e tre insieme. Un lato soltanto non determina un triangolo rettangolo, quindi non ci sarebbe niente da risolvere, e tutti e tre lo sovradeterminano, dato che due lati qualsiasi fissano già il terzo e un insieme che non concorda non ha nessun triangolo dietro.
Come faccio a calcolare l'ipotenusa, e quando devo sommare invece di sottrarre?
Dipende da quale casella hai lasciato vuota. Se a mancare è l'ipotenusa, si sommano i quadrati dei due cateti e si estrae la radice quadrata. Se a mancare è un cateto, si sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell'ipotenusa e si estrae la radice quadrata di quello che resta. La pagina decide per te dalla forma del dato inserito, che è il motivo principale per usarla invece di una calcolatrice: i due casi differiscono per un segno, e scambiarli è il modo classico di ottenere una risposta sbagliata che sembra del tutto plausibile.
La pagina dice che l'ipotenusa deve essere più lunga del cateto. Che cosa ho sbagliato?
I due numeri sono nelle caselle sbagliate. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto ed è sempre il più lungo dei tre, quindi non può mai essere più corta di un cateto né uguale a uno di essi. Scambiare i due valori risolve. È l'errore più comune su questa pagina perché le caselle si assomigliano: niente, in un campo di testo semplice, dice quale delle due deve contenere il lato lungo, e un triangolo con i lati di 5, 5 e 3 non esiste.
Perché il lato mancante ha i decimali se ho inserito numeri interi?
Perché la radice quadrata di un numero intero di solito non è un numero intero. I triangoli rettangoli con i lati interi — 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 — esistono davvero e sono infiniti, ma sono una piccola minoranza di tutti i triangoli rettangoli che ci sono. Per tutto il resto il lato mancante è un numero irrazionale e le due cifre decimali mostrate sono il punto in cui è stato tagliato. Una risposta di 7,62 è un'approssimazione; una risposta di 8 è esatta.
La pagina mi dice se il mio triangolo è un 3-4-5?
No, e deliberatamente non ci prova. Nel momento in cui l'aritmetica gira, le lunghezze sono già state convertite in centimetri, quindi un triangolo inserito come tre e quattro pollici arriva al risolutore come 7,62 e 10,16: l'informazione sul fatto che i lati di partenza fossero numeri interi è sparita prima che la domanda potesse essere posta. Un controllo che desse risposte diverse a seconda dell'unità selezionata sarebbe peggio di nessun controllo, quindi la pagina risolve il lato e lascia la classificazione a uno strumento separato.
L'area è uguale al perimetro?
Solo per coincidenza, e la tabella di questa pagina ne contiene una: un triangolo 5-12-13 ha un'area di trenta centimetri quadrati e un perimetro di trenta centimetri. Sono due grandezze di tipo diverso e l'uguaglianza è solo nelle cifre. L'area di un triangolo rettangolo è la metà del prodotto dei cateti, il perimetro è la somma di tutti e tre i lati, e le due coincidono per questo triangolo e per una manciata di altri. Il triangolo 3-4-5 due righe più in alto ha un'area di sei contro un perimetro di dodici.
Uno dei lati può essere zero?
No. Un triangolo con un lato di lunghezza zero non è un triangolo: i tre punti sarebbero allineati o coincidenti, e sia l'area sia il perimetro perderebbero di significato. È una differenza reale rispetto alla pagina del cerchio della stessa sotto-categoria, dove un raggio di zero è un dato legittimo che descrive un cerchio ridotto a un punto. Un lato di zero viene rifiutato qui già nel campo stesso, e una lunghezza negativa viene rifiutata allo stesso modo.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della distanzaDistanza tra due punti, con il calcolo mostrato.Calcolatrice del triangoloIl terzo lato, gli angoli e l'area da due lati e un angolo.Calcolatrice della formula di EroneArea di un triangolo dai tre lati, con la formula di Erone.Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.Calcolatrice del triangolo rettangoloRisolvi un triangolo rettangolo da due lati o da un angolo.