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Calcolatrice della formula di Erone

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

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Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

6,0000 cm²

Area

Perimetro
12,0000 cm
Semiperimetro
6,0000 cm

Una calcolatrice della formula di Erone prende le tre lunghezze dei lati di un triangolo e restituisce l'area che copre, la distanza lungo il contorno e il semiperimetro, cioè metà del perimetro, che è la grandezza su cui la formula è costruita. La pagina esiste per una lacuna in cui chiunque misuri un triangolo reale finisce dentro: la formula dell'area più diretta, metà base per altezza, ha bisogno di un'altezza, e l'altezza è proprio la cosa che non si riesce a misurare con una fettuccia. È una perpendicolare che scende da un vertice al lato opposto, non la si può stendere senza appoggiare una squadra contro il triangolo, e su un triangolo disegnato sulla carta o tracciato sul terreno di solito è più semplice misurare i tre lati e fermarsi lì. La formula di Erone è la risposta a quel problema: con i tre lati e nient'altro, l'area esce. Viene di solito attribuita a Erone di Alessandria, che la mise per iscritto nel primo secolo, ed è uno dei risultati più antichi della matematica applicata: serviva per misurare la terra, dove i tre lati sono esattamente quello che dà una catena da agrimensore. La formula è scritta intorno al semiperimetro, metà della somma dei tre lati, e la ragione vale la pena notarla invece di saltarla: chiamato s il semiperimetro, l'area è la radice quadrata di s per s meno a, per s meno b, per s meno c. Tutti e quattro i fattori devono essere positivi perché il risultato sia un numero reale, e non è un caso dell'algebra: è la disuguaglianza triangolare travestita, perché s meno il lato più lungo è positivo esattamente quando gli altri due lati insieme sono più lunghi di lui. Tre lati che non riescono a chiudersi danno un numero negativo sotto la radice e nessun triangolo, e la pagina ti ferma prima con un messaggio invece di restituirti un valore senza senso. Il semiperimetro è stampato sul pannello invece di restare nascosto, perché è il numero con cui confrontare i lati: se s non è più grande del lato più lungo, le tre lunghezze che hai scritto non possono essere un triangolo.

Triangoli descritti dai loro tre lati, da quelli interi al caso degenere

Lato a (cm)Lato b (cm)Lato c (cm)Semiperimetro (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)
3456612
55681216
666915.588518
7891226.832824
2344.52.90479
112204
51213153030
91017183636

Otto triangoli, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. La quinta colonna è quella da leggere dall'alto verso il basso: è zero soltanto nella sesta riga, dove i lati sono 1, 1 e 2 e il triangolo si è appiattito in una linea retta, ed è esattamente il limite che la pagina lascia passare. Un passo più in là, con 1, 1 e 2,1, il triangolo non esiste più, ed è a questo che serve il controllo. Tre righe sono controlli incrociati con le pagine qui accanto, e tutte e tre atterrano sullo stesso valore partendo da dati diversi: 3, 4 e 5 dà 6, la stessa area a cui arriva la pagina dell'area del triangolo da una base di 3 e un'altezza di 4; 6, 5 e 5 dà 12 con un perimetro di 16, come la pagina del triangolo isoscele con base 6 e lati obliqui di 5; e 6, 6 e 6 dà 15,5885, come la pagina del triangolo equilatero con lato 6 e quella del triangolo isoscele con base e lato obliquo di 6. Tre pagine, tre descrizioni di un solo triangolo, ogni volta una sola area. Le ultime due righe sembrano un errore e non lo sono: 5-12-13 ha un'area di 30 e un perimetro di 30, mentre 9-10-17 ha 36 e 36. Il primo è una terna pitagorica e il secondo no, ed è l'indizio che la coincidenza è di quelle due figure e non una regola: i due valori sono centimetri quadrati e centimetri, e si separerebbero nel momento in cui i lati fossero misurati in un'altra unità. Ogni numero qui è ricalcolato dai suoi tre lati quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

s = (a + b + c) ÷ 2 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) P = a + b + c

Lato a
La prima delle tre lunghezze dei lati, in centimetri. Le tre caselle sono intercambiabili — scambiare quale lato chiami a e quale chiami b non cambia nulla nel risultato — quindi inseriscile nell'ordine in cui le hai misurate
Lato b
La seconda lunghezza, in centimetri. Insieme alle altre due deve rispettare la disuguaglianza triangolare: ogni lato dev'essere più corto degli altri due sommati, altrimenti le tre lunghezze non si chiudono in un triangolo
Lato c
La terza lunghezza, in centimetri. Conviene inserire il lato più lungo in una casella qualsiasi e poi leggere il semiperimetro: deve essere più grande di quel lato, e quel confronto da solo è un controllo più rapido che rifare le tre somme
Semiperimetro
Metà della distanza lungo il triangolo, in centimetri: i tre lati sommati e divisi per due. È stampato come risposta invece di restare un passaggio di calcolo, perché è la grandezza intorno a cui è scritta la formula e perché serve anche da controllo che i tre lati si incontrino davvero
Area
Lo spazio che il triangolo copre, in centimetri quadrati, dalla radice quadrata del semiperimetro per le tre differenze fra esso e ciascun lato. È l'unica uscita che ha bisogno di tutti e tre i dati: il perimetro si limita a sommarli e il semiperimetro a dimezzare la somma
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: i tre lati sommati. È qui perché i due si confondono facilmente quando uno è un passaggio interno all'altro, e perché il perimetro è quello che si compra quando si ordina un bordo o una cornice
√
La radice quadrata, applicata al prodotto dei quattro fattori. Quasi ogni triangolo dà un'area irrazionale, quindi una terna di lati che produce un numero intero — per esempio 3, 4 e 5 che danno 6 — è l'eccezione da notare, non la regola

Rivolgiti a questa pagina ogni volta che hai misurato i tre lati e non l'altezza, che nella pratica è quasi sempre. Il terreno è il caso classico: un appezzamento con confini diritti si rileva incatenando i lati, e l'area ne segue direttamente, quindi si divide un appezzamento irregolare in triangoli e si passa ognuno di qui. Anche il materiale in lastre è un caso tipico: un rinforzo triangolare, una mensola ad angolo o una vela si quotano con i loro tre bordi, e l'area è quello che ti dice quanto foglio ti serve e quanto peso aggiunge. A scuola è il modo per ottenere un'area quando l'altezza è scomoda o cadrebbe fuori dalla figura, cosa che succede su qualsiasi triangolo ottusangolo: la perpendicolare dal vertice più largo cade oltre il lato opposto, quindi non la puoi misurare lungo il materiale. La pagina è anche la strada onesta quando un triangolo è dato da tre lunghezze arrivate da qualche altra parte — un export CAD, una lista di taglio, un disegno quotato sui suoi bordi — dato che non c'è niente da convertire e niente da misurare di nuovo. Due cose a cui fare attenzione. Primo, i tre lati devono riuscire a chiudersi: se il più lungo è più lungo degli altri due sommati, il triangolo non esiste e la pagina te lo dice invece di restituire un numero, perché l'aritmetica vorrebbe la radice quadrata di un numero negativo. Secondo, le misure reali non soddisfano mai la disuguaglianza esattamente. Un appezzamento i cui lati sono quotati 10, 4 e 6 metri non può essere un triangolo, ma lo stesso appezzamento misurato al centimetro più vicino verrà fuori come qualcosa tipo 10,01, 3,99 e 6,00, e l'area sarà minuscola: è l'aritmetica che ti sta dicendo che i tre punti sono quasi in linea retta, non che la formula ha fallito.

Esempi svolti

  1. Lati di 3, 4 e 5

    1. Perimetro: 3 + 4 + 5 = 12
    2. Semiperimetro: 12 ÷ 2 = 6
    3. Le tre differenze: 6 − 3 = 3, 6 − 4 = 2, 6 − 5 = 1
    4. Area: √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6

    Il triangolo 3-4-5, quello con cui si tracciano tutti gli angoli retti in cantiere, e il caso più limpido in cui la risposta è un numero intero. È anche il controllo incrociato fra questa pagina e quella dell'area del triangolo: base 3 con altezza 4 dà 6 là, e i tre lati danno 6 qui. Stesso triangolo, due insiemi di dati, una sola area. Il fatto che la radice quadrata esca esatta è una proprietà di questa terna, non della formula: quasi ogni altra terna lascia dietro di sé un numero irrazionale.

  2. Lati di 6, 5 e 5

    1. Perimetro: 6 + 5 + 5 = 16
    2. Semiperimetro: 16 ÷ 2 = 8
    3. Le tre differenze: 8 − 6 = 2, 8 − 5 = 3, 8 − 5 = 3
    4. Area: √(8 × 2 × 3 × 3) = √144 = 12

    Un triangolo isoscele con base 6 e due lati obliqui di 5, che è il dato con cui si apre la pagina del triangolo isoscele qui accanto, e torna lo stesso 12 e lo stesso perimetro di 16. È il secondo dei due controlli incrociati di questo lotto: la pagina del triangolo isoscele arriva all'area da una base e da un lato obliquo, questa ci arriva dai tre lati, e le due concordano fino all'ultima cifra. Da notare che il semiperimetro di 8 è comodamente più grande del lato più lungo, che è 6: è il controllo che queste tre lunghezze si chiudono davvero.

  3. Lati di 6, 6 e 6

    1. Perimetro: 6 + 6 + 6 = 18
    2. Semiperimetro: 18 ÷ 2 = 9
    3. Le tre differenze: 9 − 6 = 3, per tre volte
    4. Area: √(9 × 3 × 3 × 3) = √243 = 15,588457…, che arrotonda a 15,5885

    Il caso equilatero, e la terza strada verso il numero 15,5885: la pagina del triangolo equilatero lo ottiene da un solo lato di 6, quella del triangolo isoscele da una base di 6 con i lati obliqui di 6, e questa pagina da tre lati di 6. Tre pagine, tre modi di descrivere lo stesso triangolo, una sola area. √243 è 9√3, ed è qui che la radice di tre che la pagina del triangolo equilatero porta dentro la sua costante fa la sua comparsa.

  4. Lati di 5, 12 e 13

    1. Perimetro: 5 + 12 + 13 = 30
    2. Semiperimetro: 30 ÷ 2 = 15
    3. Le tre differenze: 15 − 5 = 10, 15 − 12 = 3, 15 − 13 = 2
    4. Area: √(15 × 10 × 3 × 2) = √900 = 30

    La riga che salta all'occhio: l'area è 30 e il perimetro è 30. Non sono la stessa grandezza e non sono nemmeno nella stessa unità — una è in centimetri quadrati e l'altra in centimetri — è solo che questo particolare triangolo dà due volte lo stesso numero. 5-12-13 è una terna pitagorica, quindi il triangolo è rettangolo, e i triangoli rettangoli sono quelli che più facilmente atterrano su numeri interi perché anche i quadrati dei lati sono interi.

  5. Lati di 9, 10 e 17

    1. Perimetro: 9 + 10 + 17 = 36
    2. Semiperimetro: 36 ÷ 2 = 18
    3. Le tre differenze: 18 − 9 = 9, 18 − 10 = 8, 18 − 17 = 1
    4. Area: √(18 × 9 × 8 × 1) = √1296 = 36

    La seconda riga in cui area e perimetro stampano lo stesso numero, e questa volta il triangolo non è rettangolo: 9 al quadrato più 10 al quadrato fa 181, mentre 17 al quadrato fa 289. Quindi la coincidenza fra 36 e 36 non viene da un angolo retto, ed è proprio questo che la rende interessante da indicare. Due righe su una sola tabella che fanno la stessa cosa sono esattamente ciò che fa sembrare la prima una regola, e questa è la prova che non lo è.

  6. Lati di 1, 1 e 2

    1. Perimetro: 1 + 1 + 2 = 4
    2. Semiperimetro: 4 ÷ 2 = 2
    3. Le tre differenze: 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 1, 2 − 2 = 0
    4. Area: √(2 × 1 × 1 × 0) = √0 = 0

    Il caso limite esatto, ed è lasciato passare invece di essere rifiutato: 1 più 1 fa esattamente 2, quindi il triangolo si è appiattito in una linea retta con i due lati corti messi uno in fila all'altro. L'area è davvero zero e il perimetro è davvero 4, quindi una risposta di zero qui è corretta e non il segno di un fallimento. Porta il terzo lato a 2,1 e la pagina rifiuta, perché allora i due lati corti non riescono a raggiungersi e il triangolo non esiste.

Limiti

I tre numeri devono poter formare un triangolo, cioè ogni lato dev'essere più corto degli altri due sommati. Se non lo sono, la pagina si ferma e te lo dice invece di restituire un numero, perché la formula vorrebbe la radice quadrata di un numero negativo. Il caso esatto in cui il lato più lungo è uguale agli altri due sommati viene lasciato passare e dà un'area di zero, che è la risposta onesta per un triangolo appiattito in una linea. Le uscite sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menù delle unità, quindi lati inseriti in pollici tornano indietro come una risposta in centimetri. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e con tre lati misurati l'errore di ciascuno si trasmette all'area: un triangolo misurato al millimetro più vicino può benissimo avere un'area incerta già nella terza cifra, quindi l'ultima cifra stampata non va letta come significativa. La formula di Erone è poi una cattiva compagna per i triangoli molto sottili: quando un lato è quasi lungo quanto gli altri due messi insieme, i quattro fattori ne includono uno piccolissimo e la radice quadrata amplifica tutto l'arrotondamento già presente nelle misure, quindi l'area di una scheggia va trattata come approssimata per quante cifre vengano stampate. La pagina è bidimensionale e non ha un campo per lo spessore di un triangolo fisico, quindi non può dare il volume di un prisma né il peso di una piastra.

Domande frequenti

Perché usare questa invece di metà base per altezza?
Perché l'altezza è difficile da misurare e i tre lati sono facili. L'altezza è una perpendicolare che va da un vertice al lato opposto, quindi misurarla vuol dire appoggiare una squadra contro il triangolo, e su un triangolo ottusangolo cade addirittura fuori dalla figura. Una fettuccia lungo ciascun lato non richiede quelle precauzioni, e la formula di Erone trasforma quelle tre letture nell'area senza che compaia mai una altezza. Se hai già una base e un'altezza, usa la pagina dell'area del triangolo: l'aritmetica è più corta.
Che cos'è il semiperimetro e perché viene mostrato?
È metà del perimetro, i tre lati sommati e divisi per due, ed è la grandezza intorno a cui è scritta la formula di Erone: l'area è la radice quadrata di s per s meno a, per s meno b, per s meno c. Viene stampato invece di restare un passaggio di calcolo perché funziona anche da controllo. Se il semiperimetro non è più grande del lato più lungo, le tre lunghezze non possono formare un triangolo, e quel confronto solo ti risparmia di rifare le tre differenze.
Che cosa succede se i tre lati non possono formare un triangolo?
La pagina si ferma e te lo dice, invece di restituire un numero. Tre lunghezze si chiudono solo se ciascuna è più corta delle altre due sommate; quando questo salta, uno dei quattro fattori dentro la radice quadrata diventa negativo e non esiste un'area reale. Il messaggio indica qual è il lato più lungo e quanto fanno gli altri due sommati, così vedi quanto sono fuori misura i tuoi dati. L'unico caso lasciato passare è il limite esatto, in cui il lato più lungo è uguale agli altri due sommati: quel triangolo si è davvero appiattito in una linea e la sua area di zero è una risposta vera.
Da dove viene il nome?
Da Erone di Alessandria, che registrò la formula nel primo secolo, il che la rende uno dei risultati più antichi ancora in uso quotidiano. Fu scritta per l'agrimensura, dove i tre lati di un appezzamento sono esattamente quello che dà una catena di misura e l'altezza invece non c'è. A volte la si chiama formula di Hero, dalla stessa persona, il cui nome compare nelle fonti scritto in entrambi i modi.
Su alcuni triangoli l'area e il perimetro vengono fuori uguali. È una regola?
No, e la tabella mostra perché. Il triangolo 5-12-13 ha un'area di 30 e un perimetro di 30, e lo stesso fa il triangolo 9-10-17, con 36 e 36: ma sono grandezze diverse in unità diverse, centimetri quadrati contro centimetri, e l'uguaglianza dipende interamente dall'unità in cui erano espresse le lunghezze. Misura lo stesso triangolo in metri e il perimetro cala di cento mentre l'area cala di diecimila, e i due numeri si separano. Vale la pena saperlo prima di leggere la coincidenza come una proprietà dei triangoli.
Quanto è accurata l'area se ho misurato i lati con una fettuccia?
Meno di quanto suggeriscano i quattro decimali, e l'errore cresce sui triangoli sottili. Ogni lato misurato porta con sé la propria incertezza dentro tutti e quattro i fattori, e quando un lato è quasi lungo quanto gli altri due messi insieme uno dei fattori diventa piccolissimo e la radice quadrata amplifica tutto l'arrotondamento già presente nei tuoi numeri. Arrotonda la risposta in modo che corrisponda alla misura: se i lati sono buoni al millimetro, l'area è buona a circa tre cifre significative, qualunque cosa stampi il pannello dopo.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.Calcolatrice del triangolo equilateroArea, altezza e perimetro di un triangolo equilatero.Calcolatrice del triangolo isosceleArea, altezza, perimetro e angoli di un triangolo isoscele.Calcolatrice del perimetroPerimetro delle figure piane più comuni dai loro lati.