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Calcolatrice del triangolo equilatero

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

15,5885 cm²

Area

Perimetro
18,0000 cm
Altezza
5,1962 cm

Una calcolatrice del triangolo equilatero prende la lunghezza di un lato e restituisce tre misure: l'area che il triangolo copre, la distanza lungo tutto il suo contorno e l'altezza che scende da un vertice fino al centro del lato opposto. È la più semplice delle pagine dedicate ai triangoli per una ragione che conviene dire subito, perché è tutta la ragione per cui esiste come strumento separato: il triangolo equilatero è l'unico tipo di triangolo in cui un solo numero decide tutto. Dato un triangolo qualsiasi, tre lati lo fissano; dati due lati e l'angolo fra loro, è fissato; dato un lato solo, esistono infiniti triangoli con quel lato, da una scheggia sottilissima a una figura quasi larga quanto è lunga. Il triangolo equilatero sfugge a questo perché la sua forma è decisa in anticipo, con tre lati uguali e tre angoli di 60 gradi, quindi la lunghezza del lato è l'unica cosa che resta da scegliere, e da lì scala tutta la figura. È per questo che la pagina ha un campo solo e che raddoppiando il lato raddoppia il perimetro mentre l'area diventa quattro volte tanto. L'aritmetica discende da un fatto solo: abbassando l'altezza il triangolo si divide in due triangoli rettangoli identici, ciascuno con l'ipotenusa uguale al lato e un cateto pari a metà lato, e il teorema di Pitagora dà l'altezza come radice di tre diviso due, per il lato. L'area è poi metà della base per l'altezza, che viene radice di tre diviso quattro, per il lato al quadrato. Entrambe le costanti, √3 ÷ 2 e √3 ÷ 4, vale la pena riconoscerle a vista, perché sono i due numeri di cui questa figura è fatta e la formula qui sotto non è altro che quei due applicati al lato. L'altezza è stampata come misura a sé e non soltanto come passaggio verso l'area, perché è il numero che serve a un disegno ed è quello che un lettore vuole più probabilmente subito dopo.

Triangoli equilateri da un lato di zero a un lato di dieci

Lato (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Altezza (cm)
615.5885185.1962
10.43330.866
21.732161.7321
33.897192.5981
510.8253154.3301
7.524.35722.56.4952
1043.3013308.6603
0000

Otto triangoli, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. Leggi la terza e la quarta colonna dall'alto verso il basso e nota che cosa non cambia: l'altezza è sempre 0,866 del lato e il perimetro è sempre tre volte il lato, quindi entrambe quelle colonne sono il lato moltiplicato per un numero fisso. La seconda colonna è quella fuori dal coro, e la seconda e la terza riga lo mostrano meglio di tutto: passando da un lato di 1 a un lato di 2 raddoppiano il perimetro e l'altezza, ma l'area diventa quattro volte tanto, perché l'area va con il quadrato della lunghezza mentre le altre due vanno con la lunghezza stessa. La terza riga è quella in cui la pagina sembra avere un refuso: un triangolo di lato 2 ha un'area di 1,7321 e un'altezza di 1,7321. Per quel lato sono entrambe la radice di tre, dato che dimezzare il lato annulla la divisione per due nell'altezza ed elevarlo al quadrato annulla la divisione per quattro nell'area, e restano comunque grandezze diverse: una in centimetri quadrati, l'altra in centimetri. È l'unica riga della tabella in cui le due colonne coincidono, ed è una coincidenza di quella sola lunghezza, non una colonna calcolata due volte. La prima riga è anche la riga in cui le altre pagine sui triangoli si incontrano con questa: un lato di 6 dà 15,5885, lo stesso valore a cui arriva la pagina della formula di Erone partendo da 6, 6 e 6 e quella del triangolo isoscele partendo da una base di 6 con i lati obliqui di 6. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo lato quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = (√3 ÷ 4) × s² P = 3s h = (√3 ÷ 2) × s

Lato
La lunghezza di uno qualsiasi dei tre lati, in centimetri. È l'unico dato che la pagina chiede, perché un triangolo equilatero ha i tre lati uguali e i tre angoli fissi a 60 gradi, e della figura resta quindi da decidere soltanto la dimensione
Area
Lo spazio che il triangolo copre, in centimetri quadrati: radice di tre diviso quattro, per il lato al quadrato. La costante vale circa 0,433, un numero comodo da portarsi dietro: un triangolo equilatero copre poco più di quattro decimi del quadrato costruito sul suo stesso lato
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: tre volte il lato, dato che i tre lati sono uguali. È l'unica uscita che è sempre esatta quando lo è il lato, ed è proprio per questo che serve a controllare le altre due
Altezza
La distanza da un vertice fino al centro del lato opposto, in centimetri, cioè radice di tre diviso due per il lato. La si chiama anche altezza relativa alla base, ed è la stessa linea da qualunque vertice si parta, perché la figura è simmetrica
√3
La radice quadrata di tre, circa 1,7320508. Compare sia nell'area sia nell'altezza e non è un artefatto di arrotondamento: tagliando il triangolo a metà resta un triangolo rettangolo i cui lati non possono essere tutti interi, quindi il numero irrazionale deve saltare fuori da qualche parte
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui è scritta ogni uscita. L'area e l'altezza portano quasi sempre la radice di tre e quindi quasi mai finiscono; il perimetro è esatto, e stamparlo con quattro decimali è una larghezza fissa, non una dichiarazione di precisione

La pagina serve per tutto ciò che è fatto di triangoli equilateri, e ce n'è più di quanto il nome suggerisca. Le capriate dei tetti, i telai delle biciclette, i reticoli dei ponti e le mensole reggilibro li usano perché il triangolo è l'unico poligono che non si lascia deformare senza cambiare la lunghezza di un lato: dai una spinta laterale a un telaio quadrato e si appiattisce, ed è per questo che sul cancello c'è una diagonala di rinforzo. Se stai ritagliando triangoli da un foglio, l'area è quello che ti dice quanti ne entrano, e l'altezza è quello che ti dice quanto è alta una fila: sistemati con la punta in su, due file si sovrappongono esattamente di una altezza, quindi è l'altezza il passo da usare e non l'area. Se stai piegando una striscia per darle questa forma, il perimetro è la lunghezza di striscia che ti serve prima di contare la giunzione. E se stai controllando un disegno, l'altezza ha un posto fisso nel triangolo: taglia la figura in due triangoli rettangoli identici e tocca il lato opposto esattamente a metà, quindi un'altezza calcolata che non lascia due metà uguali vuol dire che il triangolo del disegno non è equilatero, qualunque cosa dica l'etichetta. Un avvertimento aritmetico appartiene a questa sezione più che alle note piccole: l'altezza stampata qui è già arrotondata a quattro cifre, quindi moltiplicarla di nuovo a mano per metà base dà un'area che differisce di una cifra nell'ultimo decimale. I due valori sul pannello sono entrambi corretti; è il giro di andata e ritorno attraverso l'altezza stampata che perde quella cifra.

Esempi svolti

  1. Un lato di 6

    1. Perimetro: 3 × 6 = 18
    2. Altezza: (√3 ÷ 2) × 6 = 5,196152…, che arrotonda a 5,1962
    3. Area: (√3 ÷ 4) × 36 = 15,588457…, che arrotonda a 15,5885

    Il dato con cui la pagina si apre, e la riga da tenere a mente, perché è quella su cui si incontrano le altre pagine sui triangoli: un triangolo con i tre lati di 6 ha qui un'area di 15,5885, e lo stesso 15,5885 esce dalla pagina del triangolo isoscele con base 6 e lato obliquo 6 e da quella della formula di Erone con 6, 6 e 6. Tre strade diverse verso la stessa figura, e le tre concordano fino all'ultima cifra. Qui si vede anche la trappola aritmetica: 6 × 5,1962 ÷ 2 fa 15,5886, una cifra sopra l'area qui sopra, e quella cifra si perde nell'arrotondamento dell'altezza, non in nessuna delle due formule.

  2. Un lato di 1

    1. Perimetro: 3 × 1 = 3
    2. Altezza: (√3 ÷ 2) × 1 = 0,8660254…, che arrotonda a 0,866
    3. Area: (√3 ÷ 4) × 1 = 0,4330127…, che arrotonda a 0,433

    Il triangolo unitario, quello da cui ricordare le due costanti: un triangolo equilatero di lato uno ha un'altezza di 0,866 e un'area di 0,433. Confrontato con il quadrato di lato uno, che ha area 1, il triangolo copre poco meno della metà del terreno a parità di bordo, ed è il modo più semplice per vedere da dove viene radice di tre diviso quattro. Due dei tre valori si stampano senza zeri finali, perché in entrambi la quarta cifra decimale è uno zero.

  3. Un lato di 2

    1. Perimetro: 3 × 2 = 6
    2. Altezza: (√3 ÷ 2) × 2 = 1,7320508…, che arrotonda a 1,7321
    3. Area: (√3 ÷ 4) × 4 = 1,7320508…, che arrotonda a 1,7321

    La riga che sembra un errore e non lo è: l'area e l'altezza stampano entrambe 1,7321. Per questo lato sono tutte e due la radice di tre — dimezzare il lato annulla la divisione per due nell'altezza, ed elevarlo al quadrato annulla la divisione per quattro nell'area — ma una è 1,7321 centimetri quadrati e l'altra è 1,7321 centimetri. Sono grandezze diverse che per questa sola lunghezza del lato capitano sullo stesso valore numerico, e la cosa non si ripete per nessun altro lato della tabella.

  4. Un lato di 10

    1. Perimetro: 3 × 10 = 30
    2. Altezza: (√3 ÷ 2) × 10 = 8,660254…, che arrotonda a 8,6603
    3. Area: (√3 ÷ 4) × 100 = 43,301270…, che arrotonda a 43,3013

    Un triangolo da dieci centimetri, più o meno la misura di una staffa per tetti. L'altezza di 8,6603 è l'86,6 per cento del lato, e quel rapporto non cambia mai: l'altezza di un triangolo equilatero è sempre 0,866 volte il suo lato, qualunque sia la dimensione. Se disponi questi triangoli in file con la punta in su, è il numero con cui spaziare le file, dato che ogni fila si sovrappone a quella sotto esattamente di una altezza.

  5. Un lato di 0

    1. Perimetro: 3 × 0 = 0
    2. Altezza: (√3 ÷ 2) × 0 = 0
    3. Area: (√3 ÷ 4) × 0 = 0

    Lo zero è un dato legittimo e non una casella vuota. Un triangolo di lato zero è collassato in un punto e tutte e tre le misure sono zero, quindi una riga di zeri è una risposta vera. Lasciare il campo vuoto è il caso diverso: senza niente dentro la pagina non mostra alcun risultato, perché non c'è nulla da cui partire.

Limiti

La pagina vale solo per i triangoli equilateri: tre lati uguali e tre angoli di 60 gradi. Un triangolo soltanto isoscele, o rettangolo, o di qualunque altra forma con un lato di quella lunghezza, non si lascia descrivere da quel numero soltanto, e la pagina ti darà i valori del triangolo equilatero invece di dirti che la figura che hai in mente è un'altra. Se conosci due lati di un triangolo generico, la pagina dell'area del triangolo prende una base e un'altezza e quella della formula di Erone prende i tre lati. Le uscite sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menù delle unità, quindi un lato inserito in pollici torna indietro come una risposta in centimetri. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, ed è una larghezza generosa per un lato misurato. L'altezza e l'area sono stampate in modo indipendente: l'area viene dall'altezza non arrotondata, quindi moltiplicare a mano l'altezza stampata per metà base finisce una cifra fuori posto nel quarto decimale, che è una differenza di arrotondamento e non un errore in nessuno dei due valori. La pagina è bidimensionale dall'inizio alla fine e non ha un campo per lo spessore di un triangolo fisico, quindi non può dire il volume di un prisma triangolare né il peso di una piastra triangolare.

Domande frequenti

Perché una sola misura basta a descrivere un triangolo equilatero?
Perché la forma è già fissata prima di cominciare. Un triangolo equilatero ha i tre lati della stessa lunghezza e i tre angoli di 60 gradi, quindi l'unica cosa che resta da scegliere è quanto è grande, e la lunghezza del lato lo decide. Un triangolo generico non ha consumato quella libertà: un lato da solo lascia infinite forme, e servono tre lati, oppure due lati e l'angolo fra loro, prima che il triangolo sia determinato.
Come si ricava l'altezza e da dove salta fuori la radice di tre?
Abbassando l'altezza da un vertice il triangolo si taglia in due triangoli rettangoli identici. Ognuno ha l'ipotenusa uguale al lato e un cateto pari a metà lato, quindi il teorema di Pitagora dà l'altezza come radice del lato al quadrato meno un quarto del lato al quadrato, cioè radice di tre diviso due per il lato. Il numero irrazionale non è un artefatto di arrotondamento: è quello che resta quando una figura con i lati uguali viene tagliata a metà.
Moltiplicando l'altezza stampata per metà base non ottengo esattamente l'area stampata. Perché?
Perché l'altezza sul pannello è già arrotondata a quattro cifre decimali, mentre l'area è stata calcolata dall'altezza non arrotondata e poi arrotondata per conto suo. Con un lato di 6 l'altezza si stampa come 5,1962, metà base è 3, e il prodotto fa 15,5886, mentre l'area si stampa come 15,5885. Tutti e due i valori sono giusti: la quarta cifra si perde nel giro di andata e ritorno, non in nessuno dei due calcoli. Se ti serve l'area esatta, usa la riga dell'area invece di ricostruirla.
Quanto vale l'altezza rispetto al lato, in proporzione?
Vale sempre 0,866 volte il lato, cioè circa l'86,6 per cento, qualunque sia la dimensione del triangolo. Discende dalla stessa radice di tre diviso due: aumentando il lato l'altezza scala con lui, quindi il rapporto fra i due non cambia mai. È il numero da usare quando disponi i triangoli in file, dato che ogni fila di triangoli con la punta in su si sovrappone a quella sotto esattamente di una altezza.
Come si confronta l'area con quella di un quadrato dello stesso lato?
Il quadrato è più grande: 1 unità quadrata contro circa 0,433 del triangolo con lato uno. Il triangolo usa meno materiale a parità di bordo, ma a parità di bordo ha anche un perimetro più corto rispetto all'area, quindi il confronto ha senso solo se lo si esprime come materiale per unità di bordo. In pratica la ragione per scegliere un triangolo è la rigidità e non l'area: un triangolo non si deforma senza cambiare la lunghezza di un lato, cosa che un quadrato invece fa.
Il lato può essere zero, ed è la stessa cosa di lasciare il campo vuoto?
Lo zero è un dato reale e tutte e tre le uscite tornano zero, che è la risposta onesta per un triangolo senza dimensione. Un campo vuoto è diverso: senza niente inserito la pagina non mostra alcun risultato, perché non c'è nulla da cui partire. La distinzione conta mentre stai digitando, dato che svuotare il campo per riscrivere un numero non deve far lampeggiare una riga di zeri.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.Calcolatrice della formula di EroneArea di un triangolo dai tre lati, con la formula di Erone.Calcolatrice del triangolo isosceleArea, altezza, perimetro e angoli di un triangolo isoscele.Calcolatrice del triangoloIl terzo lato, gli angoli e l'area da due lati e un angolo.