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Calcolatrice del triangolo isoscele

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

12,0000 cm²

Area

Perimetro
16,0000 cm
Altezza
4,0000 cm
Angolo al vertice
73,74 °
Angolo alla base
53,13 °

Una calcolatrice del triangolo isoscele prende una base e un lato obliquo e restituisce cinque misure: l'area, il perimetro, l'altezza, l'angolo al vertice e l'angolo alla base. Sta fra le altre due pagine sui triangoli e la ragione è aritmetica. Un triangolo generico ha tre gradi di libertà — tre lati, oppure due lati e l'angolo fra loro — e ha bisogno di altrettanti numeri prima che la forma sia fissata. Un triangolo equilatero non ne ha nessuno, perché la forma è decisa in anticipo e resta solo la dimensione. Un triangolo isoscele ne ha esattamente due: la base e il lato obliquo, e una volta dati entrambi non c'è più nulla da scegliere. Due lati obliqui di una certa lunghezza possono incontrarsi in un punto solo sopra una base di una certa lunghezza, quindi l'altezza, i due angoli e l'area ne discendono tutti. La figura è quella che si ottiene piegando un triangolo a metà lungo la sua metà, e quella piega è anche il modo per calcolarla: tagliandolo lungo il suo asse di simmetria si ottengono due triangoli rettangoli identici, ciascuno con l'ipotenusa uguale al lato obliquo, un cateto pari a metà base e l'altezza data dal teorema di Pitagora. Ogni uscita della pagina viene da quel solo triangolo rettangolo. L'altezza è il suo terzo lato, l'area è la base per quell'altezza divisa a metà, e anche i due angoli escono dallo stesso triangolo: metà dell'angolo al vertice è l'angolo il cui seno è metà base diviso il lato obliquo, e l'angolo alla base è quello che resta di 180 gradi una volta tolto l'angolo al vertice, diviso in parti uguali fra i due. Che i due angoli alla base siano uguali è la definizione della figura e non un risultato, ed è la cosa che un disegno di solito ti dà: segni un angolo alla base e l'altro è noto. La pagina stampa entrambi gli angoli perché rispondono a domande diverse: l'angolo al vertice è quello che ti dice quanto è appuntita la figura, e l'angolo alla base è quello in cui si quota davvero una mitria o una pendenza di tetto.

Triangoli isosceli dalla figura predefinita al caso limite appiattito

Base (cm)Lato obliquo (cm)Area (cm²)Altezza (cm)Angolo al vertice (°)Angolo alla base (°)
6512473.7453.13
85123106.2636.87
1013601245.2467.38
6615.58855.19626060
434.47212.236183.6248.19
0505090
63001800

Sette triangoli, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. Il perimetro qui non è una colonna di proposito: è la base più due volte il lato obliquo, che le prime due colonne già danno, quindi una colonna per lui sarebbe un terzo numero che il lettore può sommarsi a mente. Due righe sono controlli incrociati con le pagine qui accanto, ed entrambe atterrano sugli stessi valori partendo da un insieme di dati diverso: la prima riga, una base di 6 con lati obliqui di 5, dà un'area di 12 e un perimetro di 16, che è quello che la pagina della formula di Erone restituisce per i lati 6, 5 e 5; e la quarta riga, una base e lati obliqui di 6, dà 15,5885, che è quello che la pagina del triangolo equilatero restituisce per un lato di 6 e quella della formula di Erone per 6, 6 e 6. La quarta riga è anche l'unica della tabella in cui le due colonne degli angoli sono uguali, entrambe a 60, che è la firma di un triangolo equilatero e la ragione per cui la pagina stampa i due angoli separatamente in ogni altro caso. Leggi insieme le colonne dell'angolo al vertice e di quello alla base man mano che la base cresce: con una base di 4 e lati obliqui di 3 l'angolo al vertice è 83,62, con la base predefinita di 6 e lati obliqui di 5 è 73,74, con 8 e lati obliqui di 5 è 106,26 e con 10 e lati obliqui di 13 è 45,24: le due colonne sommano sempre a 180 insieme all'angolo al vertice quando questo viene contato una volta e l'angolo alla base due, ed è il controllo da fare se una riga sembra sbagliata. Le ultime due righe sono i casi limite ed entrambe sono risposte vere e non fallimenti: una base di 0 con lati obliqui di 5 è una linea doppia di lunghezza 5 con un angolo al vertice di 0, e una base di 6 con lati obliqui di 3 si è appiattita del tutto, dando un angolo al vertice di 180 e un'area di 0. La seconda di queste è il bordo esatto: un decimo in più sulla base e la pagina rifiuta. Ogni numero qui è ricalcolato dalla sua base e dal suo lato obliquo quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e le larghezze decimali sono le stesse che usa il pannello dei risultati, quattro per le lunghezze e due per gli angoli. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

h = √(l² − (b ÷ 2)²) A = b·h ÷ 2 P = b + 2l angolo al vertice = 2·arcsen((b ÷ 2) ÷ l) angolo alla base = (180° − angolo al vertice) ÷ 2

Base
La lunghezza del lato disuguale, quello su cui poggiano i due lati obliqui, in centimetri. Appoggiarlo in orizzontale è ciò che rende il triangolo simmetrico da destra a sinistra, ed è il lato da cui si misura l'altezza
Lato obliquo
La lunghezza di ciascuno dei due lati uguali, in centimetri. Per definizione sono uguali, quindi c'è una sola casella per entrambi, e ciascun lato obliquo è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che la piega produce
Area
Lo spazio che il triangolo copre, in centimetri quadrati: metà della base per l'altezza. L'area è ricavata dalla base e dal lato obliquo direttamente e non dall'altezza stampata, quindi i valori del pannello concordano fra loro fino all'ultima cifra
Perimetro
La distanza lungo tutto il contorno, in centimetri: la base più due volte il lato obliquo. È l'unica uscita che non ha bisogno né di radici né di trigonometria, quindi è esatta quando lo sono i due dati di ingresso
Altezza
La distanza dal vertice fino al punto medio della base, in centimetri, dal teorema di Pitagora sulla metà piegata: il lato obliquo al quadrato meno metà base al quadrato, sotto radice. È anche la linea rispetto a cui il triangolo è simmetrico, ed è per questo che cade esattamente al centro della base e non spostata da un lato
Angolo al vertice
L'angolo fra i due lati obliqui, in alto, in gradi, ed è l'unico angolo di un triangolo isoscele che non sia condiviso con un altro. È il doppio dell'angolo il cui seno è metà base diviso il lato obliquo, e si avvicina a 180 gradi man mano che il triangolo si appiattisce
Angolo alla base
L'angolo fra la base e un lato obliquo, in gradi. I due angoli alla base sono uguali per definizione, quindi la pagina stampa una sola cifra per entrambi, ricavata da quello che resta di 180 gradi una volta tolto l'angolo al vertice, diviso due
Due cifre decimali per gli angoli
Gli angoli si stampano con due decimali dove le lunghezze ne hanno quattro, perché un goniometro legge circa al centesimo di grado e le cifre finali di un arcoseno sono rumore in virgola mobile, non qualcosa che qualcuno abbia misurato

La pagina serve per tutto ciò che è costruito su un triangolo isoscele, e quella figura salta fuori ovunque un punto simmetrico si appoggia su una base piana. Un tetto è il caso più chiaro: i due spioventi sono i lati obliqui, la luce è la base, e quello che serve a un carpentiere è la pendenza, cioè l'angolo alla base, e l'altezza del colmo sopra il muro, che è l'altezza di questa pagina. Tagliando quel triangolo a metà si ottiene la lunghezza della trave come ipotenusa, ed è per questo che la piega è il metodo di lavoro e non un trucco del disegno. Frontoni, timpani, punte di freccia, coni di imbuto e la facciata di una tenda sono la stessa figura con nomi diversi. Nella lavorazione dei metalli e nella falegnameria l'angolo alla base è quello su cui si imposta una troncatrice, e l'angolo al vertice è quello con cui si controlla il pezzo finito. La pagina è anche quella giusta quando hai misurato una base e un lato in pendenza invece di un'altezza: su un tetto, su una rampa o su un rinforzo triangolare, il bordo inclinato è quello che riesci a raggiungere e la perpendicolare no. Ed è la pagina da prendere quando un disegno quota un triangolo isoscele sulla sua simmetria, per esempio una base e un'altezza complessiva, dato che qui l'altezza è un'uscita e non un dato di ingresso, e le due cose non sono intercambiabili: base e lato obliquo sono una coppia di dati, base e altezza un'altra, e solo una delle due sta su questa pagina. Se il tuo triangolo non è isoscele, la pagina dell'area del triangolo prende una base e un'altezza e quella della formula di Erone prende i tre lati.

Esempi svolti

  1. Una base di 6 con lati obliqui di 5

    1. Metà della base: 6 ÷ 2 = 3
    2. Altezza: √(25 − 9) = √16 = 4
    3. Area: 6 × 4 ÷ 2 = 12
    4. Perimetro: 6 + 2 × 5 = 16
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(3 ÷ 5) = 36,8699…, quindi l'angolo al vertice è 73,7398…, che arrotonda a 73,74
    6. Angolo alla base: (180 − 73,7398) ÷ 2 = 53,1301…, che arrotonda a 53,13

    Il dato con cui la pagina si apre, e il più pulito che ci sia: l'altezza viene esattamente 4, l'area esattamente 12 e il perimetro esattamente 16, e solo i due angoli lasciano dietro un decimale. Questi sono i lati 6, 5 e 5, quindi è il secondo dei controlli incrociati di questo lotto: la pagina della formula di Erone prende quei tre lati e restituisce la stessa area di 12 e lo stesso perimetro di 16. Due strade verso un solo triangolo, una sola risposta. Nemmeno l'angolo alla base di 53,13 gradi è una coincidenza: piegando questo triangolo resta un triangolo rettangolo 3-4-5, e 53,13 è l'angolo che un dislivello di 4 su una distanza di 3 forma con l'orizzontale, che è la regola seguita dalla colonna dell'angolo alla base su ogni riga.

  2. Una base di 6 con lati obliqui di 6

    1. Metà della base: 6 ÷ 2 = 3
    2. Altezza: √(36 − 9) = √27 = 5,196152…, che arrotonda a 5,1962
    3. Area: 6 × 5,196152… ÷ 2 = 15,588457…, che arrotonda a 15,5885
    4. Perimetro: 6 + 2 × 6 = 18
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(3 ÷ 6) = 30, quindi l'angolo al vertice è 60 e l'angolo alla base è (180 − 60) ÷ 2 = 60

    Un triangolo isoscele la cui base e i cui lati obliqui capitano tutti di 6, il che lo rende equilatero, e la pagina lo mostra invece di nasconderlo: entrambi gli angoli vengono 60 gradi, che è la firma di quella figura. L'area di 15,5885 è il terzo dei controlli incrociati di questo lotto, e combacia con la pagina del triangolo equilatero di lato 6 e con quella della formula di Erone per 6, 6 e 6. È anche l'unica riga della tabella in cui i due angoli sono uguali, dato che l'angolo al vertice coincide con quello alla base solo quando tutti e tre valgono 60.

  3. Una base di 8 con lati obliqui di 5

    1. Metà della base: 8 ÷ 2 = 4
    2. Altezza: √(25 − 16) = √9 = 3
    3. Area: 8 × 3 ÷ 2 = 12
    4. Perimetro: 8 + 2 × 5 = 18
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(4 ÷ 5) = 53,1301…, quindi l'angolo al vertice è 106,2602…, che arrotonda a 106,26
    6. Angolo alla base: (180 − 106,2602) ÷ 2 = 36,8699…, che arrotonda a 36,87

    Un triangolo più piatto di quello predefinito, con una base più lunga e gli stessi lati obliqui, e i due angoli si muovono in direzioni opposte, che è la cosa da tenere d'occhio. L'angolo al vertice è passato da 73,74 a 106,26 e ciascun angolo alla base da 53,13 a 36,87, e le due cifre restano legate dalla regola per cui i tre angoli sommano a 180. L'area è rimasta a 12 mentre il perimetro è salito a 18, che è un promemoria del fatto che allungare la base appiattisce un triangolo senza fargli coprire più terreno. Dentro questo triangolo si nasconde quello rettangolo 3-4-5: metà base è 4, l'altezza è 3 e il lato obliquo è 5.

  4. Una base di 10 con lati obliqui di 13

    1. Metà della base: 10 ÷ 2 = 5
    2. Altezza: √(169 − 25) = √144 = 12
    3. Area: 10 × 12 ÷ 2 = 60
    4. Perimetro: 10 + 2 × 13 = 36
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(5 ÷ 13) = 22,6198…, quindi l'angolo al vertice è 45,2397…, che arrotonda a 45,24
    6. Angolo alla base: (180 − 45,2397) ÷ 2 = 67,3801…, che arrotonda a 67,38

    La seconda metà 5-12-13 di questo lotto: metà base è 5, l'altezza è 12 e il lato obliquo è 13, quindi il triangolo rettangolo che ci sta dentro è lo stesso che la pagina della formula di Erone incontra dalla direzione opposta. Tutto tranne i due angoli viene intero. L'angolo al vertice di 45,24 gradi è poco più di mezzo angolo retto, ed è un utile controllo di buon senso sulla figura: un triangolo con base 10 e lati obliqui 13 è vicino a un triangolo rettangolo isoscele senza esserlo, e portando la base a 13 volte radice di due l'angolo al vertice sarebbe esattamente 90.

  5. Una base di 0 con lati obliqui di 5

    1. Metà della base: 0 ÷ 2 = 0
    2. Altezza: √(25 − 0) = 5
    3. Area: 0 × 5 ÷ 2 = 0
    4. Perimetro: 0 + 2 × 5 = 10
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(0 ÷ 5) = 0, quindi l'angolo al vertice è 0 e l'angolo alla base è (180 − 0) ÷ 2 = 90

    Una base di zero, che è legittima e non è la stessa cosa di lasciare la casella vuota. I due lati obliqui cadono uno sull'altro, quindi la figura è una linea doppia di lunghezza 5: l'altezza è 5, il perimetro è 10, l'area è zero e l'angolo al vertice si è chiuso del tutto. L'angolo alla base di 90 gradi è la lettura onesta di quella situazione: la base non ha lunghezza, quindi l'angolo fra essa e un lato obliquo è retto per convenzione. È anche per questo che la pagina tratta una base di zero come un dato reale invece di rifiutarla: l'aritmetica è tutta definita e le risposte descrivono correttamente la figura collassata.

  6. Una base di 6 con lati obliqui di 3

    1. Metà della base: 6 ÷ 2 = 3
    2. Altezza: √(9 − 9) = 0
    3. Area: 6 × 0 ÷ 2 = 0
    4. Perimetro: 6 + 2 × 3 = 12
    5. Metà dell'angolo al vertice: arcsen(3 ÷ 3) = 90, quindi l'angolo al vertice è 180 e l'angolo alla base è (180 − 180) ÷ 2 = 0

    Il limite esatto, ed è lasciato passare: i due lati obliqui messi uno in fila all'altro sono esattamente lunghi quanto la base, quindi il triangolo si è appiattito in una linea retta. L'angolo al vertice è 180 gradi, che è quello che misura una punta completamente piatta, e i due angoli alla base si sono chiusi a zero. Qui non c'è nessun valore indefinito: ogni termine dell'aritmetica è definito, compreso l'arcoseno di esattamente 1. Porta la base a 6,2 con gli stessi lati obliqui e la pagina rifiuta, perché allora i due lati obliqui non riescono più a raggiungersi e il triangolo non esiste.

Limiti

La pagina vale solo per i triangoli isosceli: esattamente due lati della stessa lunghezza, che sono i lati obliqui, appoggiati sul lato disuguale che è la base. Un triangolo scaleno ha bisogno di tutti e tre i lati e appartiene alla pagina della formula di Erone; uno rettangolo ha bisogno della sua pagina, e un triangolo equilatero è solo un caso particolare di questo, quando base e lati obliqui capitano dati come uguali. I due lati obliqui devono riuscire a raggiungersi: se il doppio del lato obliquo è minore della base, il triangolo non esiste e la pagina te lo dice invece di restituire un numero. Il caso esatto in cui il doppio del lato obliquo è uguale alla base viene lasciato passare e descrive un triangolo appiattito in una linea, con altezza e area nulle e un angolo al vertice di 180 gradi. La pagina prende una base e un lato obliquo e non una base e un'altezza, quindi un disegno quotato nell'altro modo richiede di convertire prima l'altezza in un lato obliquo, con il teorema di Pitagora su metà base. Le uscite sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque cosa dica il menù delle unità, e gli angoli sono in gradi senza opzione in radianti. Quattro decimali per le lunghezze e due per gli angoli sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione; su un triangolo misurato con la fettuccia, l'altezza e l'area sono le cifre le cui ultime posizioni hanno qualche possibilità di essere significative, e anche quelle dipendono da quanto bene sono stati misurati la base e il lato obliquo. La pagina è bidimensionale e non ha un campo per lo spessore, quindi non può dare il volume di un prisma triangolare né il peso di un rinforzo.

Domande frequenti

Perché la pagina chiede un lato obliquo invece dell'altezza?
Perché la base e il lato obliquo sono la coppia di numeri che fissa la figura, e l'altezza ne discende. Due lati obliqui di una data lunghezza possono incontrarsi in un punto solo sopra una base di una data lunghezza, quindi non resta nulla da scegliere. Base e altezza sono una coppia diversa di due numeri per lo stesso triangolo, e la pagina le prenderebbe entrambe solo determinando la figura due volte: una base di 6 con un'altezza di 5 costringerebbe i lati obliqui a essere radice di 34, e la pagina dovrebbe decidere quale dei tre numeri che hai scritto è sbagliato.
Perché ci sono due angoli, e sono mai uguali?
L'angolo al vertice sta fra i due lati obliqui, in alto, e l'angolo alla base sta fra la base e un lato obliquo. Sono grandezze separate e rispondono a domande diverse: l'angolo al vertice dice quanto è appuntita la figura, l'angolo alla base è quello in cui si quota la pendenza di un tetto o l'impostazione di una troncatrice. Sono uguali solo nel caso equilatero, dove tutti e tre gli angoli valgono 60 gradi, ed è per questo che la pagina li stampa entrambi invece di una sola cifra chiamata angolo.
Come ricavo gli angoli dai due lati?
Taglia il triangolo a metà lungo il suo asse di simmetria. Ogni metà è un triangolo rettangolo con l'ipotenusa uguale al lato obliquo e un cateto pari a metà base, quindi il seno di metà dell'angolo al vertice è metà base diviso il lato obliquo. Raddoppia quel valore e hai l'angolo al vertice; l'angolo alla base è quello che resta di 180 gradi una volta tolto l'angolo al vertice, diviso in due. La pagina fa esattamente questo, ed è per questo che metà di una base di 3 con un lato obliquo di 5 dà un angolo al vertice di 73,74 e non un numero che indovineresti.
Perché gli angoli mostrano due decimali e le lunghezze quattro?
Perché i due sono stati misurati con standard diversi. Una lunghezza può essere esatta, dato che una base di 6 è 6, e quattro decimali è la larghezza con cui questo sito stampa le lunghezze. Un angolo qui esce da un arcoseno, e un goniometro o una troncatrice legge circa al centesimo di grado, quindi il terzo e il quarto decimale di un angolo sarebbero rumore in virgola mobile travestito da precisione. Due è fin dove il numero significa qualcosa.
Che cosa succede se i lati obliqui sono troppo corti per attraversare la base?
La pagina si ferma e te lo dice invece di restituire un numero. I due lati obliqui devono potersi incontrare sopra la base, il che vuol dire che le loro lunghezze sommate devono essere maggiori della base; se non lo sono, il triangolo non esiste. Il caso esatto in cui la loro somma è uguale alla base viene lasciato passare e descrive un triangolo appiattito in una linea retta, con un angolo al vertice di 180 gradi e un'area nulla, che è una risposta vera e non un fallimento.
La base o il lato obliquo possono essere zero?
Entrambi sono accettati ed entrambi danno risposte sensate. Un lato obliquo di zero mette entrambi i lati in un punto con la base distesa e piatta, e una base di zero mette i due lati obliqui uno sull'altro, dando un'altezza pari al lato obliquo, un perimetro di due volte il lato obliquo e un angolo alla base di 90 gradi. Nessuno dei due è la stessa cosa di lasciare la casella vuota: una casella vuota non mostra alcun risultato, perché non c'è nulla da cui partire, mentre uno zero è una figura che sai descrivere.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'area del triangoloBase per altezza diviso due, oppure ricavata dai tre lati.Calcolatrice della formula di EroneArea di un triangolo dai tre lati, con la formula di Erone.Calcolatrice del triangolo equilateroArea, altezza e perimetro di un triangolo equilatero.Calcolatrice del triangolo rettangoloRisolvi un triangolo rettangolo da due lati o da un angolo.