Calcolatrice dell'area del triangolo
Risultato
Area
Una calcolatrice dell'area del triangolo prende una base e l'altezza perpendicolare sopra di essa e restituisce l'area del triangolo, cioè quanta superficie copre, in centimetri quadrati. La formula è una delle più brevi della matematica — base per altezza, diviso due — e la divisione è la parte che vale la pena capire, perché tutto il resto della pagina ne discende. Prendi un triangolo qualsiasi, copialo, ruota la copia di mezzo giro e unisci le due lungo un lato corrispondente: quello che ottieni è un parallelogramma, con la stessa base, la stessa altezza e il doppio dell'area. Ecco perché la quota del triangolo è la metà e non l'intero, e vale per ogni triangolo, non solo per quelli ordinati. Un triangolo rettangolo è il caso più facile da vedere, perché la copia si incastra direttamente e il parallelogramma diventa un rettangolo; ma il ragionamento non richiede che ci sia un angolo retto da nessuna parte, e nemmeno la formula lo richiede. La parola su cui fare attenzione è altezza. Significa la distanza perpendicolare dalla base fino al vertice opposto, misurata ad angolo retto rispetto alla base, non la lunghezza di uno dei lati obliqui. Quei due numeri sono uguali solo quando il triangolo è rettangolo, e usare un lato obliquo al posto dell'altezza è il modo più comune di ottenere una risposta che sembra ragionevole ed è sbagliata. La calcolatrice ti chiede l'altezza perpendicolare proprio per farti fare quella misura prima di digitare qualsiasi cosa: vale la pena essere sicuri di quale numero hai in mano.
L'area di un triangolo dalla base e dalla sua altezza perpendicolare
| Base (cm) | Altezza (cm) | Area (cm²) |
|---|---|---|
| 10 | 6 | 30 |
| 7 | 4 | 14 |
| 5 | 8 | 20 |
| 12 | 9 | 54 |
| 4 | 4 | 8 |
| 6 | 2.5 | 7.5 |
| 1 | 1 | 0.5 |
| 0 | 5 | 0 |
Otto triangoli e tre colonne, perché la pagina ha una formula e una risposta. La prima riga è la coppia con cui la pagina si apre ed è anche la riga che spiega la formula: confrontala con la pagina del parallelogramma, dove una base di 10 e un'altezza di 6 danno 60 invece di 30. Esattamente il doppio, ogni volta, ed è lì che si rende conto del dimezzamento. La terza riga è quella da confrontare con la pagina del trapezio: una base di 5 con un'altezza di 8 dà 20, e un trapezio con base superiore nulla, base inferiore 10 e altezza 4 dà anch'esso 20, perché quel trapezio è un triangolo. La quinta riga è il triangolo rettangolo isoscele, dove base e altezza sono per caso lo stesso numero e l'area è la metà di quel quadrato: 4 e 4 danno 8. La sesta ha un'altezza con la virgola, dove dimezzare 15 dà 7,5 esatto e non si perde nulla nell'arrotondamento. La settima è il triangolo unitario, base 1 e altezza 1, che ha area 0,5 e vale la pena ricordare come la più piccola risposta sensata. L'ultima riga è un'altezza di zero, dove il triangolo è collassato sulla propria base e non copre nulla: una risposta vera e non una risposta mancante. Nella tabella i decimali sono separati dal punto e nel testo dalla virgola: è lo stesso numero scritto in due modi diversi. Ogni valore qui è ricalcolato dai suoi due ingressi quando la pagina viene costruita, in centimetri, e le quattro cifre decimali sono le stesse quattro cifre decimali che usa il pannello dei risultati.
Formula
A = b × h ÷ 2
- Base
- Uno qualsiasi dei tre lati, in centimetri. Quale scegli non ha importanza, purché l'altezza sia misurata rispetto a quel lato
- Altezza
- La distanza perpendicolare dalla base fino al vertice opposto, in centimetri: misurata ad angolo retto rispetto alla base, mai lungo un lato obliquo
- Area
- Quanta superficie racchiude il triangolo, in centimetri quadrati. È la metà di quello che coprirebbe un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza
- Due
- Il divisore, e la ragione per cui la formula non è semplicemente base per altezza. Un triangolo è la metà del parallelogramma che si ottiene ruotando di mezzo giro una sua copia
- b × h
- L'area di quel parallelogramma, calcolata prima e dimezzata dopo. Fare la moltiplicazione prima della divisione è ciò che tiene giusta l'ultima cifra quando i numeri non sono interi
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga la lettura. Dimezzare un prodotto esatto può lasciare una frazione: una base di 7 con un'altezza di 5 dà 17,5, e una base di mezzo centimetro dà un quarto
- Centimetri quadrati
- L'unità della risposta, qualunque cosa dica il menu a tendina. Un'area è sempre in unità al quadrato, quindi una base e un'altezza inserite in pollici tornano come un numero in centimetri quadrati che va diviso per 6,4516 per essere letto in pollici quadrati
Questa pagina risponde alla domanda sull'area per qualsiasi figura che sia un triangolo, di qualunque materiale sia fatta e comunque sia disegnata. Il terreno è l'uso più antico: un appezzamento che finisce a punta è un triangolo, e un appezzamento con quattro angoli sono due triangoli, ed è per questo che i geometri lavorano così da quando esistono i rogiti. Coperture, rivestimenti e vetrate sono gli usi moderni, e portano tutti una fattura con sé: una testata di tetto, un vetro triangolare, un cuneo di lamiera, ognuno pagato a metro quadrato, quindi l'area deve essere giusta prima che parta l'ordine. Tessuto e carta tagliati in diagonale sono lo stesso calcolo con un'unità diversa, e così la vela di una barca o la faccia triangolare di una piramide. È anche la seconda metà di moltissimi altri lavori. Qualsiasi poligono si può spezzare in triangoli, e una volta che sai farne uno il resto è aritmetica: è per questo che questa formula ricompare dentro le calcolatrici per quadrilateri, prismi e tetti, e per questo vale la pena padroneggiarla da sola. E poi c'è la versione da aula: triangoli rettangoli, isosceli, quelli disegnati sulla carta a quadretti dove puoi contare i quadretti e verificare la risposta da solo. Quel controllo vale la pena farlo una volta, perché vedere che il conteggio e la formula concordano è ciò che fa smettere di essere una regola da ricordare.
Esempi svolti
Base 10 e altezza 6
- Moltiplica la base per l'altezza: 10 × 6 = 60
- Dimezza: 60 ÷ 2 = 30
La coppia con cui la pagina si apre, e la riga che mostra il rapporto con il parallelogramma: inserisci la stessa base e la stessa altezza in una calcolatrice del parallelogramma e ottieni 60, esattamente il doppio di questo. Se devi ricordare un solo numero di questa pagina, ricorda quello: è il modo più rapido per capire se un'area di un triangolo che ti è stata data è plausibile.
Base 7 e altezza 4
- Moltiplica la base per l'altezza: 7 × 4 = 28
- Dimezza: 28 ÷ 2 = 14
Il caso ordinario: base dispari, altezza pari e risultato intero. Qui non c'è nessuna figura speciale e nulla è stato misurato ad un angolo comodo. È l'aspetto della maggior parte dei triangoli reali — un appezzamento irregolare, una testata di tetto, un pezzo di cartone tagliato in diagonale — e alla formula non importa che i lati siano disuguali.
Base 5 e altezza 8
- Moltiplica la base per l'altezza: 5 × 8 = 40
- Dimezza: 40 ÷ 2 = 20
La riga da confrontare con la pagina del trapezio. Dai a un trapezio base superiore 0, base inferiore 10 e altezza 4 e ottieni 20: lo stesso numero, perché un trapezio con una base nulla è un triangolo. Le due pagine stampano la stessa cifra per la stessa figura, ed è esattamente il motivo per cui esistono entrambe.
Base 12,5 e altezza 8
- Moltiplica la base per l'altezza: 12,5 × 8 = 100
- Dimezza: 100 ÷ 2 = 50
Una misura con la virgola, che è quello che dà di solito il metro a nastro. La moltiplicazione avviene prima del dimezzamento e il dimezzamento è esatto, quindi non si insinua alcun errore di arrotondamento: la risposta è 50 esatta, non 50,0000 e qualcosa.
Base 20 e altezza 0
- Moltiplica la base per l'altezza: 20 × 0 = 0
- Dimezza: 0 ÷ 2 = 0
Un'altezza di zero significa che il triangolo è stato schiacciato sulla propria base ed è diventato un segmento. Zero è un valore accettato, quindi questa è una risposta vera e non una risposta mancante: la pagina la distingue dalla casella lasciata vuota, che non mostra alcun risultato perché non c'è nulla da cui partire.
Limiti
Questa pagina prende una base e un'altezza perpendicolare e nient'altro. Non parte dai tre lati di un triangolo, che è un calcolo diverso con una formula propria e una pagina propria. Non fornisce perimetro, angoli né lunghezze dei lati, e l'altezza non è un lato obliquo: se l'unica misura che hai è presa lungo uno dei bordi del triangolo, quel bordo va trasformato in un'altezza perpendicolare prima di essere utile qui. La risposta è sempre in centimetri quadrati, qualunque unità sia impostata nel menu: e poiché si tratta di un'area, la conversione è al quadrato — una base e un'altezza inserite in pollici tornano in centimetri quadrati, e per leggerle in pollici quadrati si divide per circa 6,45 e non per 2,54. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione, e la metà di un prodotto esatto può davvero essere una frazione: una base di 7 con un'altezza di 5 dà 17,5. Lo zero è accettato su entrambi gli ingressi e dà una risposta di zero, che è corretta per un triangolo degenere e non è la stessa cosa di lasciare le caselle vuote. Qui non si gestiscono lati curvi, triangoli disegnati su una sfera o lo spessore di un materiale: è soltanto la figura piana, a due dimensioni.
Domande frequenti
- Quale lato è la base?
- Uno qualsiasi dei tre, purché l'altezza sia misurata rispetto a quello che hai scelto. Un triangolo ha tre possibili coppie base-altezza e tutte e tre danno la stessa area: è un buon controllo da fare una volta, prendi un triangolo, calcola l'area partendo da ciascun vertice a turno e guarda le tre risposte coincidere. Alla pagina non importa quale coppia usi.
- Perché la risposta è metà di base per altezza?
- Perché due copie di un triangolo formano un parallelogramma. Prendi il triangolo, copialo, ruota la copia di mezzo giro e unisci le due lungo un lato corrispondente: la figura che ottieni ha la stessa base, la stessa altezza e esattamente il doppio dell'area. Il triangolo ne è la metà. È tutto qui l'argomento, e vale per ogni triangolo, non solo per quelli ordinati.
- Posso usare un lato obliquo come altezza?
- No, e questo è l'errore che la pagina esiste per prevenire. L'altezza è la distanza perpendicolare dalla base fino al vertice opposto, misurata ad angolo retto rispetto alla base. Un lato obliquo è più lungo di quella distanza ogni volta che il triangolo pende da un lato, quindi usarlo gonfia l'area. I due numeri coincidono solo in un triangolo rettangolo, dove uno dei lati si trova già ad angolo retto con la base.
- Dov'è la versione con i tre lati?
- Su una pagina sua. Ricavare l'area di un triangolo dalle tre lunghezze dei lati usa una formula diversa e una radice quadrata invece di un dimezzamento, ed è uno strumento separato. Questa pagina fa deliberatamente una cosa sola, la stessa scelta che fanno le pagine del cerchio e della sfera in questo gruppo: una pagina che risponde a una domanda è più facile da usare di una che ti chiede quale delle tante domande intendevi.
- Le unità di misura contano?
- Il menu a tendina cambia quello che digiti, non quello che esce. La lettura è sempre in centimetri quadrati e, trattandosi di un'area, la conversione è al quadrato: un triangolo misurato in pollici torna come un valore in centimetri quadrati, e per leggerlo in pollici quadrati si divide per 6,4516. Inserire i piedi e leggere la risposta come piedi quadrati è l'errore da tenere d'occhio.
- E se uno dei numeri è zero?
- La risposta è zero, ed è corretta: un triangolo senza altezza è stato schiacciato sulla propria base e non copre nulla. Lo zero è trattato come un valore reale e non come una casella vuota, quindi la pagina stampa un risultato. Lasciare una casella in bianco è diverso: non c'è nulla da cui partire e la pagina non mostra alcun risultato.
Riferimenti
- Triangle Area — the half-base-times-height formula this page computes, with the parallelogram argument that shows why the halving is there — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — the shape two copies of a triangle make, whose area is exactly double, and the reason the divisor in the formula is two — Wolfram MathWorld (United States)