Calcolatrice dell'altezza del triangolo
Risultato
Altezza
Una calcolatrice dell'altezza del triangolo prende l'area di un triangolo e la base su cui è stata misurata, e restituisce l'altezza perpendicolare: quanto dista quella base dal vertice opposto, in centimetri. È la formula inversa dell'area, letta al contrario. La pagina dell'area moltiplica una base per un'altezza e dimezza il risultato; questa pagina raddoppia l'area e divide per la base, cioè la stessa relazione con l'incognita spostata dall'altra parte. Del triangolo non serve sapere nient'altro — né gli angoli, né gli altri due lati, né il perimetro — perché l'area e la base insieme fissano già l'altezza in un unico numero. Vale la pena soffermarsi su questo punto, perché è la parte che sorprende. Un triangolo con un'area di 30 centimetri quadrati e una base di 10 centimetri ha un'altezza di 6, ed è l'unica che possa avere, per quanto sbilenco sia. Tutta la libertà del triangolo sta in dove cade il vertice lungo la base, non in quanto è alto. L'unica cosa a cui fare attenzione è la stessa contro cui mette in guardia la pagina dell'area, vista dall'altro verso: la base qui è il lato rispetto a cui si misura l'altezza, e l'altezza deve essergli perpendicolare. Inserisci un lato obliquo come base e otterrai un'altezza un po' troppo piccola, senza che nulla nella pagina suggerisca che qualcosa è andato storto. Se non sei sicuro di quale misura hai in mano, il posto per deciderlo è la pagina dell'area, che chiede esplicitamente la coppia.
L'altezza perpendicolare di un triangolo dalla sua area e dalla sua base
| Area (cm²) | Base (cm) | Altezza (cm) |
|---|---|---|
| 30 | 10 | 6 |
| 20 | 5 | 8 |
| 7.5 | 6 | 2.5 |
| 12 | 8 | 3 |
| 8 | 4 | 4 |
| 9 | 9 | 2 |
| 21 | 7 | 6 |
| 0 | 5 | 0 |
Otto triangoli e tre colonne, perché la pagina ha una formula e una risposta. Le prime tre righe sono condivise di proposito con la pagina dell'area, sugli stessi numeri letti al rovescio: un'area di 30 con una base di 10 dà 6, un'area di 20 con una base di 5 dà 8 e un'area di 7,5 con una base di 6 dà 2,5 — e la pagina dell'area stampa 30, 20 e 7,5 per quegli stessi tre triangoli quando le passi base e altezza. Leggere le due tabelle una accanto all'altra è il modo più rapido per vedere che sono una formula sola e non due. La quinta riga è il triangolo rettangolo isoscele, dove un'area di 8 con una base di 4 restituisce un'altezza di 4: qui la base è un cateto e l'altezza è l'altro, ed è per questo che i due valori coincidono. È una linea diversa dall'altezza relativa all'ipotenusa, che misura 4 ÷ √2 = 2,8284 ed è quella che cade al centro dell'ipotenusa. La sesta riga è quella che si autocontrolla: un'area di 9 con una base di 9 restituisce sempre 2, qualunque sia il numero, perché raddoppiarlo e dividerlo per sé stesso può dare solo 2. La settima ha una base dispari e torna comunque esattamente 6, che è il punto di raddoppiare l'area prima di dividere: la divisione è allora l'ultimo passaggio, quindi c'è un solo arrotondamento e avviene all'uscita. L'ultima riga è un'area di zero, dove il triangolo è collassato sulla propria base e l'altezza è zero: una risposta vera e non una risposta mancante. Nella tabella i decimali sono separati dal punto e nel testo dalla virgola: è lo stesso numero scritto in due modi diversi. Ogni valore qui è ricalcolato dai suoi due ingressi quando la pagina viene costruita, in centimetri, e le quattro cifre decimali sono le stesse quattro cifre decimali che usa il pannello dei risultati.
Formula
h = 2 × A ÷ b
- Area
- Quanta superficie copre il triangolo, in centimetri quadrati. È il numero che produce la pagina dell'area, restituito qui come punto di partenza
- Base
- Il lato rispetto a cui si misura l'altezza, in centimetri. Va bene uno qualsiasi dei tre, purché l'altezza che cerchi sia quella a esso perpendicolare
- Altezza
- Quello che questa pagina calcola: la distanza perpendicolare dalla base al vertice opposto, in centimetri. Non la lunghezza di uno dei lati obliqui
- Due
- Da dove viene il raddoppio. La formula dell'area dimezza base per altezza, quindi annullare quel dimezzamento significa moltiplicare l'area per due prima di dividerla per la base
- 2A ÷ b
- Tutto il calcolo. Moltiplicare prima l'area per due, invece di dimezzare prima la base, è ciò che tiene giusta l'ultima cifra quando i numeri non sono interi
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga la lettura. Un'altezza può davvero essere una frazione: un'area di 7,5 con una base di 6 dà esattamente 2,5, e un'area di 1 con una base di 3 dà due terzi
- Centimetri
- L'unità della risposta, qualunque cosa dica il menu a tendina. Questa è una lunghezza, quindi a differenza della pagina dell'area la conversione non è al quadrato: una base inserita in pollici restituisce comunque un'altezza in centimetri, ma si divide per 2,54 per leggerla in pollici
L'uso più evidente è quello in cui qualcuno conosce già l'area e ha bisogno di una dimensione. Il terreno è il caso classico: l'area di un appezzamento è scritta nell'atto o nelle note del rilievo, la base corre lungo una strada o una recinzione, e la domanda è quanto è profondo il lotto nel suo punto più interno. È esattamente questo calcolo, ed è per questo che la formula viene insegnata accanto a quella dell'area da quando esistono entrambe. Le coperture e la carpenteria portano una seconda famiglia di usi, in cui l'area di un triangolo è già stata calcolata per il preventivo e l'altezza serve come quota di taglio o di tracciamento: la monta di una testata rispetto alla sua luce, la profondità di un pannello rastremato, la distanza fra una corda e il punto più lontano di un arco. Il disegno tecnico e il CAD ne aggiungono un terzo: un triangolo su una tavola di cui è annotata l'area, da cui ricavare l'altezza mancante. E poi c'è la versione scolastica, quella che fa scattare la relazione. Prendi un triangolo di cui conosci area e base, ricava l'altezza e poi confrontala con la figura: il numero che ottieni è quello che mostra il disegno, e questo è tutto il senso della coppia formata da questa pagina e da quella dell'area. Vale la pena avere davanti almeno una volta i due versi della stessa formula, perché una formula è molto più difficile da dimenticare dopo che l'hai fatta girare al contrario.
Esempi svolti
Area 30 e base 10
- Raddoppia l'area: 2 × 30 = 60
- Dividi per la base: 60 ÷ 10 = 6
La coppia con cui la pagina si apre, e la riga che la lega a quella dell'area: una base di 10 con un'altezza di 6 è esattamente ciò che di là produce un'area di 30. Fai girare una pagina e poi l'altra con i numeri corrispondenti e torni al punto di partenza, che è il controllo più economico possibile per capire se hai capito la formula.
Area 20 e base 5
- Raddoppia l'area: 2 × 20 = 40
- Dividi per la base: 40 ÷ 5 = 8
Lo stesso triangolo che la pagina dell'area usa per il suo discorso sui trapezi: una base di 5 con un'altezza di 8 dà 20, e un trapezio con base superiore nulla, base inferiore 10 e altezza 4 dà anch'esso 20. Qui non c'è nulla di speciale: una coppia di ingressi dall'aria dispari e una risposta intera.
Area 7,5 e base 6
- Raddoppia l'area: 2 × 7,5 = 15
- Dividi per la base: 15 ÷ 6 = 2,5
Un'area con il mezzo dentro, che è quello che dà di solito un prodotto dimezzato, e una base pari. Raddoppiare per primo trasforma il mezzo in un numero intero prima che avvenga la divisione, quindi la risposta è esattamente 2,5 e non qualcosa che è stato arrotondato per sembrarlo.
Area 0 e base 5
- Raddoppia l'area: 2 × 0 = 0
- Dividi per la base: 0 ÷ 5 = 0
Un'area di zero significa che il triangolo è stato schiacciato sulla propria base e non gli resta altezza. Zero è un ingresso reale e non una casella vuota, quindi questa è una risposta reale: ed è davvero diversa dal caso in cui la base è zero, che la pagina rifiuta perché non c'è nulla per cui dividere.
Limiti
Questa pagina prende un'area e una base e nient'altro. Non parte dai tre lati di un triangolo, che è una via diversa per arrivare alla stessa altezza e richiede di calcolare prima l'area. Non fornisce angoli né lunghezze dei lati, e la base qui è il lato rispetto a cui si misura l'altezza, non uno degli altri due: dagli un lato obliquo e l'altezza torna un po' troppo piccola, senza che nulla nella pagina lo segnali. La base deve essere maggiore di zero: un'area di zero è accettata e restituisce un'altezza di zero, ma una base di zero non ha alcuna risposta invece che una risposta infinita, e la pagina lo dice invece di stampare un numero grandissimo. La risposta è sempre in centimetri, qualunque cosa dica il menu a tendina, e poiché l'altezza è una lunghezza la conversione è lineare: una base inserita in pollici restituisce centimetri, e si divide per 2,54 e non per 6,4516. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, e un'altezza può essere una frazione vera: un'area di 1 con una base di 3 dà due terzi, scritti con quattro decimali. Qui non si gestiscono lati curvi, triangoli disegnati su una sfera o figure la cui area sia stata misurata su un piano diverso da quello della base.
Domande frequenti
- Quale lato è la base qui?
- Quello a cui l'altezza è perpendicolare e, dato che sei tu a fornire il bersaglio dell'altezza, quello rispetto a cui hai misurato l'area. Se l'area arriva da un rilievo o da un disegno, la base è il lato da cui quel disegno l'ha ricavata. Sbagliare l'abbinamento è l'unico modo di ottenere da questa pagina una risposta sbagliata mentre tutto sembra a posto.
- Perché l'area viene raddoppiata invece di dimezzare la base?
- Entrambe le strade danno la stessa risposta e, al calcolatore, sono ugualmente esatte: raddoppiare un numero e dimezzarne un altro sono operazioni esatte, quindi in entrambi i casi si esegue una sola divisione e si arrotonda una volta sola, alla fine. La pagina raddoppia perché è la forma che prende la formula: quella dell'area dimezza base per altezza, e moltiplicare l'area per due è il modo di annullare quel dimezzamento. In più tiene la divisione come ultimo passaggio, così il valore arrotondato non viene mai rimesso dentro ad altri calcoli.
- L'altezza può venire più lunga della base?
- Sì, e non c'è nulla di sbagliato. Un triangolo alto e stretto ha un'area che, raddoppiata e divisa per una base corta, dà un'altezza grande. L'altezza e la base sono due direzioni indipendenti e nessuna delle due vincola l'altra: solo l'area le tiene insieme, e la formula è quella che è.
- E se la base è zero?
- La pagina rifiuta invece di rispondere. Una base di zero significa che la divisione è per zero, e la descrizione onesta di quel risultato è che l'altezza non esiste, non che è enorme. L'area zero è un'altra faccenda ed è accettata: un triangolo senza area è stato schiacciato sulla propria base, e la sua altezza è davvero zero.
- Dov'è la versione con i tre lati?
- Su una pagina sua. Ricavare l'area di un triangolo dalle tre lunghezze dei lati usa una formula diversa e una radice quadrata, e una volta che hai l'area puoi tornare qui con uno qualsiasi dei tre lati come base. Le due pagine vanno usate in quest'ordine, e la pagina dell'altezza non cerca di duplicare il lavoro di quella dell'area.
- Le unità di misura contano?
- Il menu a tendina cambia quello che digiti, non quello che esce. La lettura è sempre in centimetri. A differenza della pagina dell'area la conversione non è al quadrato, perché un'altezza è una lunghezza: dividi per 2,54 per leggere in pollici una risposta in centimetri. Inserire la base in pollici e leggere la risposta come pollici è l'errore da tenere d'occhio.
Riferimenti
- Triangle Area — the formula this page runs backwards, and the parallelogram argument that shows why the factor of two is there in the first place — Wolfram MathWorld (United States)
- Altitude — the perpendicular from a vertex to the opposite side, which is exactly the quantity this page returns, and why a triangle has three of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle — what a triangle is, the vocabulary of base and altitude, and the several ways its area and its altitudes can be arrived at — Wolfram MathWorld (United States)