Calcolatrice della distanza
Risultato
Distanza
- Variazione di x (Δx)
- 3,0000
- Variazione di y (Δy)
- 4,0000
Una calcolatrice della distanza dà la distanza in linea retta tra due punti: la lunghezza del segmento che li unisce, misurata in linea d'aria e non lungo un percorso che potresti camminare. Inserisci i due punti, quattro numeri in tutto, e la risposta torna con quattro cifre decimali. Dietro c'è la formula della distanza, che è il teorema di Pitagora vestito da coordinate. Traccia una linea orizzontale da un punto e una verticale dall'altro e si incontrano in un angolo, formando un triangolo rettangolo i cui cateti sono le differenze fra le coordinate e la cui ipotenusa è la distanza che hai chiesto. Per i punti (0, 0) e (3, 4) i cateti sono 3 e 4, quindi la distanza è √(9 + 16), che fa esattamente 5. I due punti si scrivono in coordinate cartesiane, cioè con una x e una y per ciascuno, e sono le stesse coordinate che useresti su un grafico o su una carta. Quel triangolo è il motivo per cui la pagina stampa tre numeri invece di uno. I due cateti tornano indietro come distanza orizzontale e verticale fra i punti, e sono lo svolgimento: la risposta è la radice quadrata della somma dei loro quadrati, e avendoli entrambi sullo schermo puoi seguire l'aritmetica senza farla tu. Sono anche con segno, cosa che sorprende la prima volta. Il passo verticale è negativo ogni volta che il secondo punto sta più in basso del primo, perché è una differenza orientata e non uno scarto, e la pagina tiene il segno di proposito invece di prendere il valore assoluto: il segno è l'unica cosa che dice da che parte sta il secondo punto rispetto al primo, ed è quello che servirebbe subito dopo a un calcolo di pendenza. Due limiti vale la pena conoscerli prima di fidarsi della risposta. Questa pagina misura distanze nel piano e solo nel piano. Non c'è una casella per una terza coordinata, perché una pagina con campi z opzionali dovrebbe inventare una risposta per il caso in cui un punto ha la z e l'altro no, e le altre due pagine di coordinate di questa famiglia — il punto medio e l'estremo — avrebbero poi una forma diversa da questa senza un motivo che un lettore possa vedere. Se i tuoi punti sono nello spazio puoi comunque usare la pagina due volte, ma il terzo cateto dovrai aggiungerlo tu. E le coordinate non portano unità. Qualunque cosa tu misuri, la risposta è in quella: metri se i tuoi numeri sono metri, chilometri se sono chilometri, quadretti se vengono da un grafico. La pagina non converte e non può avvertirti che un punto è in metri e l'altro in millimetri.
Distanze fra punti che capitano spesso
| x del primo punto | y del primo punto | x del secondo punto | y del secondo punto | Cateto orizzontale | Cateto verticale | Distanza |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 2 | 5 | 8 | 4 | 6 | 7.2111 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1.4142 |
| 2.5 | -1.5 | 2.5 | -1.5 | 0 | 0 | 0 |
| -3 | 4 | 7 | -2 | 10 | -6 | 11.6619 |
| 0 | 0 | 10 | 0 | 10 | 0 | 10 |
| 3 | 4 | 0 | 0 | -3 | -4 | 5 |
| 0 | 0 | 6000000 | 8000000 | 6000000 | 8000000 | 10000000 |
Otto coppie, con due colonne di svolgimento e la risposta nell'ultima. Comincia dalla prima riga, che è l'ingresso con cui la pagina si carica: i cateti sono 3 e 4 e la distanza è esattamente 5, il più piccolo triangolo rettangolo con i lati interi. La seconda riga è lo stesso genere di diagonale senza l'esattezza, con cateti di 4 e 6, una distanza di 7,2111 e una radice che non finisce mai. La terza riga è una diagonale di uno e uno, dove la distanza è la radice di due e si stampa come 1,4142, da sapere a memoria perché è la più corta distanza irrazionale che esista. La quarta riga è lo stesso punto due volte, una distanza di zero. La quinta riga è quella da studiare se i segni continuano a ingannarti: il secondo punto è molto a destra e sotto il primo, quindi il cateto orizzontale è più dieci e quello verticale è meno sei, e la distanza di 11,6619 esce comunque positiva. La sesta riga corre piatta lungo l'asse x, quindi il cateto verticale è zero e la distanza è semplicemente quella orizzontale. La settima riga è il segmento tre quattro cinque misurato al contrario, da (3, 4) verso l'origine, il che rende negativi entrambi i cateti lasciando la distanza a 5, e l'ottava è lo stesso triangolo ingrandito di due milioni di volte, che mostra come coordinate grandi non introducano arrotondamenti propri. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.
Formula
Distanza = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) Cateto orizzontale = x₂ − x₁ Cateto verticale = y₂ − y₁
- Primo punto
- Una x e una y: il punto da cui misuri. Le sue coordinate sono numeri puri, quindi possono essere negative, frazionarie o zero, e non c'è nessuna unità da scegliere
- Secondo punto
- Il punto verso cui misuri, con le stesse regole. Può trovarsi in qualsiasi direzione rispetto al primo, compreso esattamente sopra, sotto, a sinistra o a destra di esso
- Cateto orizzontale
- La prima x sottratta dalla seconda, quindi è il passo laterale da un punto all'altro. Un valore negativo significa che il secondo punto sta a sinistra del primo, ed è lo stesso numero che un calcolo di pendenza userebbe come spostamento orizzontale
- Cateto verticale
- La prima y sottratta dalla seconda, il passo verso l'alto fra i punti. Un valore negativo significa che il secondo punto è più in basso. Insieme al cateto orizzontale forma un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è la distanza
- Distanza
- La radice quadrata dei due cateti al quadrato e sommati. Non è mai negativa, è zero solo quando i due punti coincidono, e dato che di solito è una radice quadrata viene arrotondata a quattro cifre decimali
Usala ogni volta che hai due punti e vuoi lo scarto fra loro senza che ti importi in che direzione corre. Quanto distano due riferimenti su una carta, quanto sarà lunga una recinzione fra due pali, quanto cavo serve per attraversare in diagonale una stanza, quanto è lontana una consegna da un deposito quando il percorso è in linea retta e non su strada. È anche il controllo a cui ricorrere quando un calcolo più lungo è andato storto: due risultati qualsiasi che puoi collocare nel piano si possono misurare l'uno contro l'altro, e una distanza che esce fuori di un ordine di grandezza è un errore di segno da qualche parte a monte. I due cateti si guadagnano il posto in un altro gruppo di lavori. Se ti serve sapere quanto dello scarto è laterale e quanto è in alto, rispondono direttamente, e rispondono con i segni, quindi ti dicono la direzione oltre alla misura. È esattamente quello che serve prima di calcolare una pendenza, un angolo o un rilevamento: la pagina della distanza non te ne darà nessuno dei tre, ma ti mette in mano i due numeri su cui sono tutti costruiti. Un'abitudine che vale la pena: eleva al quadrato i due cateti a mente prima di leggere la risposta. Nove più sedici fa venticinque, quindi una distanza di 5 è giusta, e una distanza di 50 vorrebbe dire una virgola spostata e non un risultato sorprendente.
Esempi svolti
Tre in orizzontale e quattro in verticale
- Cateto orizzontale: 3 − 0 = 3
- Cateto verticale: 4 − 0 = 4
- Eleva entrambi al quadrato: 9 e 16
- Somma ed estrai la radice: √25 = 5
La coppia con cui la pagina si carica, e il più piccolo triangolo rettangolo i cui tre lati sono tutti numeri interi. Due cose vale la pena notarle. I due cateti sono i numeri che hai inserito, cosa che succede solo quando un punto è l'origine, e la distanza è esatta invece di essere una radice arrotondata, cosa rara su questa pagina. Usa questo ingresso come taratura: se la pagina qui restituisce 5, l'aritmetica è solida e qualsiasi risposta dall'aria strana altrove è una proprietà dell'ingresso e non un guasto.
Una diagonale in cui la distanza è una radice arrotondata
- Cateto orizzontale: 5 − 1 = 4
- Cateto verticale: 8 − 2 = 6
- Eleva entrambi al quadrato: 16 e 36
- Somma: 52, poi estrai la radice, che è 7,21110255… e arrotonda a 7,2111
Il caso ordinario invece di quello ordinato. Cinquantadue non è un quadrato perfetto, quindi la risposta è irrazionale e le quattro cifre stampate sono l'inizio e non il tutto. Un controllo utile che non costa niente: la distanza deve essere più lunga di entrambi i cateti, quindi 7,2111 contro cateti di 4 e 6 è plausibile, mentre una distanza più corta del cateto più lungo vorrebbe dire che la radice è stata applicata alla quantità sbagliata.
Gli stessi due punti misurati al contrario
- Cateto orizzontale: 0 − 3 = −3
- Cateto verticale: 0 − 4 = −4
- Eleva entrambi al quadrato: 9 e 16, dato che il quadrato toglie i segni
- Somma ed estrai la radice: √25 = 5
Il segmento tre quattro cinque con gli estremi scambiati, e la dimostrazione più chiara di due proprietà insieme. Entrambi i cateti tornano negativi perché entrambe le differenze sono ora misurate nel verso opposto, mentre la distanza resta 5, perché il quadrato butta via i segni prima che possano fare danno. È tutto il motivo per cui la distanza è sempre positiva: è una lunghezza, e la direzione in cui è stata misurata non entra mai nell'aritmetica.
Una distanza misurata in milioni
- Cateto orizzontale: 6.000.000 − 0 = 6.000.000
- Cateto verticale: 8.000.000 − 0 = 8.000.000
- Eleva entrambi al quadrato e somma: 3,6 × 10¹³ più 6,4 × 10¹³ fa 10¹⁴
- Estrai la radice: 10.000.000
Il triangolo tre quattro cinque ingrandito di due milioni di volte, che è quello che succede quando le stesse coordinate si usano per una griglia cartografica proiettata in metri invece che per un grafico su carta. Sulla pagina non cambia niente con la dimensione dei numeri: i due cateti sono esatti quanto gli ingressi e la distanza esce intera, e questa riga è qui per renderlo evidente, perché un lettore che si aspetta che coordinate grandi introducano arrotondamenti sospetterebbe altrimenti della risposta esatta.
Due punti che sono lo stesso punto
- Cateto orizzontale: 2,5 − 2,5 = 0
- Cateto verticale: ((−1,5) − (−1,5)) = 0
- Eleva entrambi al quadrato: 0 e 0
- Somma ed estrai la radice: √0 = 0
Una distanza di zero è la risposta corretta per un punto e se stesso, ed è l'unico ingresso che può produrne una, dato che la somma di due quadrati è zero solo quando entrambi i quadrati sono zero. La pagina non la tratterà come un risultato vuoto. Vale la pena vederlo una volta, così uno zero nella prima colonna non si legge come un campo che non si è riempito.
Limiti
La pagina misura nel piano e solo nel piano. Non c'è una casella per una terza coordinata, quindi una distanza fra due punti nello spazio resta fuori portata: servirebbe anche la differenza sul terzo asse, e questa pagina non ha dove metterla. Una pagina con campi z opzionali è stata considerata e scartata, perché un punto con la z e l'altro senza non ha una risposta sensata e le due pagine di coordinate vicine avrebbero dovuto crescere gli stessi campi per restare coerenti. Le coordinate sono senza unità, quindi la risposta è in quello che hai misurato, e la pagina non può accorgersi di una coppia mista: se un punto è in metri e l'altro in millimetri l'aritmetica gira tranquillamente e restituisce un numero sbagliato, e niente sulla pagina lo dirà. I due cateti sono differenze orientate e non distanze, quindi un cateto che esce negativo è corretto e non un errore da correggere. La distanza in sé è arrotondata a quattro cifre decimali ed è di solito irrazionale, quindi il valore stampato è dove le cifre si fermano e non la risposta intera. Le coordinate sono limitate a più o meno un miliardo, che è molto oltre qualsiasi grafico ma ben dentro l'intervallo di alcuni sistemi di coordinate proiettate misurati in metri, e la pagina li rifiuterà invece di calcolarli. Infine questa è una distanza in linea retta e non un percorso: se devi seguire strade, muri o una costa, il numero qui è il percorso più breve possibile e sarà sempre più corto di quello che puoi davvero percorrere.
Domande frequenti
- Qual è la formula della distanza?
- È il teorema di Pitagora con dentro le coordinate. Prendi la differenza fra le due x e la differenza fra le due y, eleva ciascuna al quadrato, sommale ed estrai la radice. Le due differenze sono i cateti di un triangolo rettangolo e la distanza è la sua ipotenusa, quindi la formula non è una regola separata da imparare a memoria: è la regola del triangolo applicata ai passi fra i punti. Per (0, 0) e (3, 4) è √(9 + 16), che fa 5.
- Perché a volte le due colonne in più sono negative?
- Perché sono passi orientati e non scarti, e un passo ha una direzione. Il cateto orizzontale è la prima x sottratta dalla seconda, quindi è negativo esattamente quando il secondo punto sta a sinistra del primo; il cateto verticale è negativo quando il secondo punto è più in basso. La pagina tiene il segno di proposito. È l'unica cosa che dice da che parte sta il secondo punto, è quello che serve subito dopo a un calcolo di pendenza o di rilevamento, e la distanza ignora del tutto i segni perché il quadrato li toglie.
- Funziona per punti nello spazio a tre dimensioni?
- No, e la pagina non finge il contrario: non c'è una terza casella di coordinate da riempire. Una distanza tridimensionale richiede anche la differenza sul terzo asse, aggiunta alla somma dei quadrati prima di estrarre la radice, e con due sole coordinate la pagina dovrebbe supporre un valore per la terza. Se i tuoi punti sono nello spazio puoi calcolare con questa pagina la distanza nel piano e poi combinarla tu con il dislivello, ma la pagina non farà quel passo per te.
- Le coordinate sono in metri, in centimetri o in che altro?
- In quello che dici tu. La pagina le tratta come numeri puri, non attacca nessuna unità alla risposta e non offre un menu per sceglierne una, ed è voluto: una coppia di coordinate presa da un grafico o da una griglia cartografica non ha un'unità finché non decidi in che cosa era disegnata la griglia. Se i tuoi numeri sono in metri la distanza è in metri, se sono in gradi di longitudine la distanza è in gradi, e quest'ultima non si converte in chilometri senza sapere dove ti trovi sul globo.
- La distanza può essere negativa o zero?
- Negativa non può, perché elevare al quadrato i due cateti toglie i segni prima che vengano sommati e la radice quadrata di un numero non negativo non è mai negativa. È zero solo quando entrambi i cateti sono zero, il che vuol dire che i due punti sono lo stesso punto: una risposta vera e non un calcolo fallito. Ogni altra coppia di punti distinti dà una distanza positiva, per quanto vicini siano.
- Come controllo la risposta senza calcolatrice?
- Eleva al quadrato i due cateti e sommali, poi chiediti quale numero al quadrato dà quella somma. Quattro e sei danno 16 più 36, cioè 52, e 7,2111 al quadrato è vicino a 52, quindi la risposta è nella regione giusta anche se 52 non è un quadrato perfetto. Due proprietà rendono il controllo rapido: la distanza è sempre più lunga di entrambi i cateti, dato che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è il suo lato più lungo, ed è sempre più corta della somma dei due cateti. Qualcosa fuori da quei limiti è sbagliato.
Riferimenti
- Distance — the distance between two points in the plane, given as the square root of the sum of the squared coordinate differences, which is the formula this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
- Cartesian coordinates — the coordinate system in which a point is named by its perpendicular distances from a pair of axes, and the setting in which the two legs here are horizontal and vertical — Wolfram MathWorld (United States)
- Pythagorean theorem — the relation between the legs of a right triangle and its hypotenuse, which is what the distance formula is, since the two coordinate differences are the legs and the distance is the hypotenuse — Wolfram MathWorld (United States)