Calcolatrice della pendenza da due punti
Risultato
Pendenza
- Variazione di y (Δy)
- 2,0000
- Variazione di x (Δx)
- 4,0000
- Angolo di pendenza
- 26,57 °
- Pendenza
- 50,00%
Rise over run è la pendenza di una retta, e questa calcolatrice della pendenza la ricava da due punti invece che da un dislivello e da una distanza che hai già misurato. Inserisci i due punti — x₁, y₁, x₂, y₂ — e ottieni cinque letture: la pendenza stessa, il dislivello, la distanza orizzontale, l'angolo di inclinazione che la retta forma con l'orizzontale e la stessa pendenza scritta in percentuale. L'aritmetica è una sola divisione, perché dislivello e distanza orizzontale sono le due differenze fra le coordinate, ma la pagina vale la pena per tutto quello che ci sta intorno. I punti (0, 0) e (4, 2) danno un dislivello di 2 e una distanza orizzontale di 4, quindi la pendenza è 0,5: la retta sale di mezza unità per ogni unità che percorre verso destra. La stessa retta ha un angolo di inclinazione di 26,57 gradi, che si ottiene con l'arcotangente della pendenza, e una percentuale del 50%, cioè la pendenza moltiplicata per cento. I punti (0, 0) e (1, 1) sono il caso da imparare a memoria — pendenza 1, angolo di 45 gradi e percentuale del 100%, la salita più ripida che sia ancora un gradino in su per un passo in avanti. I punti (0, 0) e (12, 1) danno 0,0833 e una percentuale dell'8,33%: è la stessa pendenza a cui arriva la calcolatrice della pendenza del terreno partendo da un centimetro di dislivello per trenta di percorso, e le due pagine arrivano allo stesso numero da estremi opposti, una partendo dalle coordinate e l'altra da due distanze già prese. Una retta che scende non è né un errore né un valore raddrizzato in silenzio. I punti (2, 5) e (7, 1) hanno un dislivello di −4 e una distanza orizzontale di 5, quindi la pendenza è −0,8, l'angolo di inclinazione è −38,66 gradi e la percentuale è −80%, mentre la distanza orizzontale resta positiva: il segno vive nel dislivello, ed è metà della risposta alla domanda su quanto è ripida la retta, motivo per cui la pagina stampa dislivello e distanza separatamente invece del solo rapporto. Altri due casi vale la pena nominarli prima di digitare qualsiasi cosa. Una retta orizzontale ha pendenza 0 e angolo di inclinazione 0, e quella è una risposta del tutto valida, non una risposta mancante. Una retta verticale, in cui i due punti hanno la stessa x, non ha pendenza: la distanza orizzontale è 0, la divisione è indefinita e la pagina rifiuta invece di stampare un infinito, perché la pendenza di una retta verticale non è un numero grandissimo ma l'assenza di un numero. Qui non c'è nessuna fascia di giudizio. La pendenza ha delle parole attaccate — dolce e ripida — ma sono relative: una pendenza 1:12 che è dolce per una rampa è ripida per un tetto, e nessuna norma fissa il confine fra le due, quindi la pagina stampa i numeri e lascia il giudizio alla norma con cui stai lavorando. Dato che le coordinate sono numeri puri, pendenza, dislivello e distanza orizzontale non portano alcuna unità; l'angolo di inclinazione è in gradi e la percentuale è un valore percentuale. Apri questa pagina quando quello che hai sono due punti su un piano o due posizioni rilevate: dopo aver misurato la distanza fra loro, o aver calcolato il punto medio del segmento, la domanda successiva su quella stessa retta è di solito quanto è ripida. Apri la calcolatrice della pendenza del terreno quando dislivello e distanza sono già stati misurati come distanze, che è il modo in cui le pendenze si scrivono in cantiere — un centimetro di caduta per metro di tubo, due centimetri di dislivello per metro di percorso.
Rette per due punti e le pendenze che hanno
| x₁ | y₁ | x₂ | y₂ | Pendenza | Angolo (°) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 4 | 2 | 0.5 | 26.57 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 45 |
| 0 | 0 | 4 | 1 | 0.25 | 14.04 |
| 0 | 0 | 12 | 1 | 0.0833 | 4.76 |
| 0 | 0 | 3 | 4 | 1.3333 | 53.13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 4 | 11 | 10 | 84.29 |
| 2 | 5 | 7 | 1 | -0.8 | -38.66 |
Otto rette, e le colonne da leggere insieme sono le ultime due: pendenza e angolo concordano sempre, perché l'una è l'arcotangente dell'altro, quindi una pendenza sotto 1 va con un angolo sotto i 45 gradi e una pendenza sopra 1 con un angolo sopra. Le prime sei righe partono dall'origine, ed è per questo che le loro pendenze si controllano a colpo d'occhio: la pendenza è semplicemente la y del secondo punto divisa per la sua x. Le righe due e cinque sono quelle da ricordare: (1, 1) è una pendenza di 1 a 45 gradi, e (3, 4) è il triangolo 3-4-5 messo in piedi, una pendenza di 1,3333 a 53,13 gradi, lo stesso angolo che compare nella pagina del triangolo quando due lati di 3 e 4 si incontrano ad angolo retto. La riga quattro è quella dolce: (12, 1) è una pendenza di 0,0833 e una percentuale dell'8,33%, la rampa accessibile standard, lo stesso numero a cui arriva la calcolatrice della pendenza del terreno da un dislivello e una distanza misurati separatamente. La riga sei è una retta orizzontale — pendenza 0, angolo 0, calcolata invece che rifiutata. La riga sette è ripida, una pendenza di 10 a 84,29 gradi, che è una percentuale del 1000%. La riga otto scende: il dislivello è negativo, quindi la pendenza è −0,8 e l'angolo è −38,66 mentre la distanza orizzontale resta positiva a 5. Ogni cella è ricalcolata dalla sua riga quando la pagina viene costruita. I numeri della tabella usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo qui sopra si usa la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi, non due valori diversi.
Formula
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) θ = arctan(m) pendenza % = m × 100
- m
- La pendenza, cioè il dislivello diviso la distanza orizzontale: quanto sale la retta per ogni unità che percorre verso destra. Non ha unità, perché è una distanza divisa per un'altra distanza. Positiva significa che la retta sale al crescere di x, negativa che scende, 0 che è orizzontale. È la risposta principale di questa pagina, ed è l'unica lettura che non cambia scambiando i due punti, perché scambiarli inverte sia il dislivello sia la distanza e il rapporto di due numeri negativi è lo stesso rapporto
- Δy = y₂ − y₁
- Il dislivello, la differenza fra i due valori di y e il numeratore della pendenza. Conserva il segno: passare da una y di 5 a una y di 1 dà un dislivello di −4, e quel segno meno è ciò che rende negativa la pendenza. È il numero che otterresti misurando la distanza verticale fra i due punti, ed è stampato sulla pagina proprio perché la pendenza si possa ricontrollare a mano
- Δx = x₂ − x₁
- La distanza orizzontale, la differenza fra i due valori di x e il denominatore della pendenza. È la distanza in orizzontale fra i punti e, a differenza della pendenza e dell'angolo, in pratica non è mai negativa se leggi da sinistra verso destra, anche se la pagina conserva il segno che la sottrazione produce. Non deve essere 0: una distanza orizzontale nulla è una retta verticale, che non ha pendenza, e la pagina si ferma invece di dividere per zero. Qui l'abbinamento conta — x₁ va con y₁ e x₂ con y₂ — e mescolare i quattro numeri in punti diversi da quelli che hai misurato dà la pendenza di un'altra retta
- θ = arctan(m)
- L'angolo di inclinazione in gradi, l'angolo che la retta forma con l'orizzontale, stampato con due decimali. Si ricava dall'arcotangente della pendenza, ed è per questo che sta sempre fra −90 e 90 e che si ripete ogni 180 gradi: la retta per i due punti prosegue in entrambe le direzioni, e l'angolo ne descrive la direzione, non un segmento in particolare. Una pendenza di 0,5 dà 26,57 gradi, una pendenza di 1 dà 45, e una pendenza ripida di 10 dà 84,29: l'angolo si stringe verso 90 man mano che la retta si avvicina alla verticale, senza mai raggiungerla
- pendenza % = m × 100
- La stessa pendenza espressa in percentuale, stampata con due decimali: il dislivello come percentuale della distanza orizzontale. Una pendenza di 0,5 è una percentuale del 50%, una pendenza di 1 è il 100%, e la dolce linea 1:12 è l'8,33%. La percentuale non è l'angolo e le due si confondono facilmente: una percentuale del 100% è solo 45 gradi, perché la percentuale misura il dislivello rispetto alla distanza orizzontale mentre l'angolo lo misura rispetto alla distanza in salita
Usala quando quello che hai sono due punti, cioè in pratica coordinate e non misure: due posizioni rilevate su una planimetria, due letture da un grafico, due vertici presi da un disegno, due righe di una tabella di valori x e y. Questa pagina risponde alla domanda che viene subito dopo la distanza fra due punti, e la risponde nella forma in cui la retta si descrive in matematica — la pendenza, da cui l'equazione della retta segue direttamente. È anche la pagina onesta per una retta che scende, dato che il segno della pendenza viene stampato invece che eliminato. Usa la calcolatrice della pendenza del terreno quando dislivello e distanza orizzontale sono già stati misurati come due distanze separate e la domanda è quella che si scrive in cantiere — una caduta di un centimetro per metro, una salita di due centimetri per metro — perché quella pagina salta la sottrazione fra coordinate e prende direttamente quei due numeri. Usa la calcolatrice della distanza quando ti serve la lunghezza fra i due punti invece della direzione della retta che li attraversa; la calcolatrice del punto medio per il punto a metà strada; e la calcolatrice dell'estremo mancante quando hai il punto medio e un estremo di un segmento e vuoi l'altro. Insieme le quattro descrivono lo stesso segmento: la sua lunghezza, la sua posizione, la sua direzione e dove finisce.
Esempi svolti
I punti (0, 0) e (4, 2)
- Dislivello: 2 − 0 = 2
- Distanza orizzontale: 4 − 0 = 4
- Pendenza: 2 ÷ 4 = 0,5
- Angolo di inclinazione: arctan(0,5) = 26,565…° → 26,57
- Percentuale: 0,5 × 100 = 50%
La riga con cui la pagina si carica, e la più facile da ricontrollare a mano, perché partendo dall'origine il dislivello è la y del secondo punto e la distanza orizzontale è la sua x. Una pendenza di 0,5 significa mezza unità in su per ogni unità in avanti, abbastanza dolce da percorrerla senza accorgersene — una rampa accessibile sta intorno a 1:12, un sesto di questa. Le tre letture concordano fra loro nel modo in cui la pagina vuole: 0,5, 26,57 gradi e 50% sono la stessa pendenza scritta in tre modi, e la distanza orizzontale di 4 è l'unica delle tre che potresti misurare con un metro a nastro.
I punti (1, 2) e (5, 8)
- Dislivello: 8 − 2 = 6
- Distanza orizzontale: 5 − 1 = 4
- Pendenza: 6 ÷ 4 = 1,5
- Angolo di inclinazione: arctan(1,5) = 56,309…° → 56,31
- Percentuale: 1,5 × 100 = 150%
Nessuno dei due punti nell'origine, che è il caso normale e quello che mostra perché la pagina sottrae invece di leggere le coordinate: entrambi i punti stanno in alto a destra rispetto all'origine, e nessuna coordinata da sola è il dislivello o la distanza orizzontale. Una percentuale del 150% è la lettura che sorprende, perché una percentuale sopra il 100% suona impossibile: non lo è, significa solo che la retta sale più di quanto avanzi. L'angolo di inclinazione di 56,31 gradi è la controprova: tutto ciò che sta sopra una pendenza di 1 è più ripido di 45 gradi, e tutto ciò che sta sotto è più dolce.
I punti (0, 0) e (12, 1)
- Dislivello: 1 − 0 = 1
- Distanza orizzontale: 12 − 0 = 12
- Pendenza: 1 ÷ 12 = 0,08333… → 0,0833
- Angolo di inclinazione: arctan(0,08333…) = 4,763…° → 4,76
- Percentuale: 0,08333… × 100 = 8,33%
La pendenza dolce, e la riga che incontra la calcolatrice della pendenza del terreno sullo stesso numero: qui un dislivello di uno su una distanza di dodici è l'8,33%, e là un centimetro di dislivello per trenta di percorso è lo stesso 8,33%: un solo rapporto scritto in due modi, una volta da due punti e una volta da due distanze misurate. Quel rapporto è il massimo standard per una rampa accessibile in molte normative edilizie, e leggerlo come pendenza 0,0833 o come angolo di 4,76 gradi è quello che questa pagina aggiunge: l'angolo è piccolo, ed è esattamente per questo che la pendenza si cita in percentuale — 4,76 gradi sono difficili da puntare, mentre 1:12 è facile da misurare.
I punti (2, 5) e (7, 1)
- Dislivello: 1 − 5 = −4
- Distanza orizzontale: 7 − 2 = 5
- Pendenza: −4 ÷ 5 = −0,8
- Angolo di inclinazione: arctan(−0,8) = −38,659…° → −38,66
- Percentuale: −0,8 × 100 = −80%
Una retta in discesa, e il motivo per cui la pagina stampa anche il dislivello oltre al rapporto: il segno meno viene dal dislivello, quindi chi vedesse solo −0,8 non potrebbe dire se la distanza orizzontale è stata presa nel verso opposto. La distanza orizzontale resta positiva, 5, perché è uno spostamento verso destra, e solo la direzione verticale porta il segno. Letta da sinistra verso destra questa retta scende di 80 centimetri per ogni metro in avanti: il tipo di valore con cui si specifica una caduta di scarico o la corda di una scala, e un valore che sarebbe attivamente fuorviante senza il suo segno.
Limiti
Questa pagina calcola la pendenza di una retta a partire da due punti, e nient'altro. Non interpola una retta su più di due punti, non dice dove la retta incontra gli assi e non dà l'equazione della retta, anche se la pendenza che stampa è la prima metà di una. Non funziona al contrario: una pendenza da sola descrive una direzione, non una retta, e di rette con pendenza 0,5 ce ne sono infinite — servirebbe anche un punto, ed è quello che fa la forma punto-pendenza con gli stessi numeri che questa pagina produce. Le quattro coordinate sono numeri puri e non portano unità, quindi non c'è niente da convertire e niente da scegliere: se i tuoi punti sono in metri, la pendenza è metri su metri e la distanza orizzontale è in metri, e la pagina non etichetta né l'una né l'altra. È anche il motivo per cui non può avvertirti se mescoli le unità: inserisci x in metri e y in centimetri e la pagina dividerà comunque, restituendo una pendenza cento volte troppo grande, senza alcun segno che qualcosa non vada. Una retta verticale viene rifiutata invece che calcolata, perché la pendenza di una retta verticale non esiste; se i tuoi due punti hanno la stessa x, controlla che siano davvero due punti distinti, dato che due punti identici producono lo stesso rifiuto. Una retta orizzontale viene calcolata, con pendenza e angolo di 0. Scambiare i due punti lascia invariati pendenza e angolo, perché entrambe le differenze cambiano segno insieme, ma abbinare le coordinate nei punti sbagliati — x₁ con y₂ — descrive in silenzio un'altra retta, e nessun controllo di questa pagina può accorgersene perché quattro numeri qualsiasi sono le coordinate di una qualche retta. Qui non c'è nulla di valutato: dolce e ripido sono giudizi relativi e la pagina non ne dà nessuno. La pendenza è stampata con quattro decimali e angolo e percentuale con due, che sono larghezze di visualizzazione condivise con il resto del sottoinsieme e non affermazioni sulla precisione; una pendenza di 0,0833 è un 1:12 arrotondato, e un rilievo accurato al centimetro su una distanza di un metro non giustifica l'ultima cifra.
Domande frequenti
- Come si calcola la pendenza da due punti?
- Sottrai i valori di y per ottenere il dislivello, sottrai i valori di x per ottenere la distanza orizzontale e dividi: la pendenza è (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). I punti (0, 0) e (4, 2) danno un dislivello di 2 e una distanza orizzontale di 4, quindi la pendenza è 0,5. Non importa quale punto chiami primo, perché scambiarli inverte entrambe le differenze e i due segni meno si annullano — ma importa che x₁ sia abbinata a y₁.
- Come si trasforma una pendenza in gradi?
- Prendi l'arcotangente della pendenza. Una pendenza di 0,5 dà 26,57 gradi, una pendenza di 1 dà 45 gradi e una pendenza di 10 dà 84,29 gradi. L'angolo cade sempre fra −90 e 90, perché l'arcotangente non distingue i due versi della retta: la retta per i tuoi due punti prosegue in entrambe le direzioni, e l'angolo di inclinazione ne descrive la ripidità invece di puntare lungo di essa.
- Che cosa significa una pendenza negativa?
- Che la retta scende mentre la leggi da sinistra verso destra. I punti (2, 5) e (7, 1) calano di 4 su una distanza orizzontale di 5, quindi la pendenza è −0,8 e l'angolo di inclinazione è −38,66 gradi. Il segno meno non è un errore e la pagina non prende il valore assoluto: è la differenza fra una rampa che sale e uno scarico che scende, due dettagli costruttivi opposti costruiti con gli stessi numeri. La distanza orizzontale resta positiva; solo il dislivello porta il segno.
- Una percentuale di pendenza del 100% equivale a un angolo di 90 gradi?
- No, ed è la confusione più comune con le percentuali. Una percentuale del 100% significa che il dislivello eguaglia la distanza orizzontale, cioè una pendenza di 1, e quella è 45 gradi, non 90. La percentuale confronta il dislivello con la distanza orizzontale, mentre l'angolo lo confronta con la distanza percorsa in salita. Più ripido del 100% è del tutto possibile: una pendenza di 1,5 è una percentuale del 150% e solo 56,31 gradi, e l'angolo si avvicina a 90 solo quando la percentuale tende all'infinito.
- E se i due punti hanno la stessa x?
- Allora la retta è verticale e non ha pendenza. La distanza orizzontale è 0 e la divisione è indefinita, quindi la pagina lo dice invece di stampare un infinito: la pendenza di una retta verticale non è un numero molto grande ma l'assenza di un numero. Se intendevi due punti distinti, controlla i valori di x; se la retta è davvero verticale, la calcolatrice della distanza dà la lunghezza fra i due punti, che è l'unica cosa che una retta verticale possiede.
- In che cosa è diversa dalla calcolatrice della pendenza del terreno?
- Calcolano lo stesso numero partendo da ingressi diversi. Questa pagina prende due punti e sottrae lei le coordinate; la calcolatrice della pendenza del terreno prende dislivello e distanza orizzontale come due distanze che hai già misurato, che è il modo in cui le pendenze si scrivono in cantiere — un centimetro di caduta per metro, due centimetri di salita per metro. I punti (0, 0) e (12, 1) qui danno 8,33%, lo stesso valore che quella pagina dà per un centimetro di dislivello per trenta di percorso. Nota che là i due campi non condividono l'unità di misura — il dislivello si legge in centimetri e la distanza in metri — quindi lo stesso rapporto si inserisce come 1 e 30, non come 1 e 12.
Riferimenti
- Slope — the rise over the run, with the sign conventions for lines that fall as well as rise, and the relation between the slope, the angle of inclination and the grade — Wolfram MathWorld (United States)
- Line — the straight line through two points, whose direction is the slope this page computes and whose other properties follow from it — Wolfram MathWorld (United States)
- Point-Slope Form — where the slope from two points is used next: the equation of the line through them, which needs a slope and one point — Wolfram MathWorld (United States)