Calcolatrice del punto medio

Punto medio x = (x₁ + x₂) ÷ 2 Punto medio y = (y₁ + y₂) ÷ 2 Semilunghezza = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) ÷ 2

Primo estremo

Un capo del segmento, come una x e una y. Puoi inserire per primo uno qualsiasi dei due estremi: scambiare le due coppie non cambia il punto medio, perché l'addizione non tiene conto dell'ordine

Secondo estremo

L'altro capo, con le stesse regole. Nessuno dei due estremi deve essere più grande dell'altro, quindi la seconda x può essere minore della prima e una coordinata qualsiasi può essere negativa

Punto medio

Le due medie, una per asse, ciascuna arrotondata a quattro cifre decimali. Questa è la risposta, e cade sempre fra i due estremi: un punto medio fuori da quell'intervallo significa che da qualche parte è stato perso un segno

Semilunghezza

La distanza dal punto medio a uno qualsiasi dei due estremi, calcolata direttamente dai due estremi e non dal punto medio arrotondato. È lo stesso numero per entrambi i capi, ed è il controllo che questa riga esiste per darti

Quattro cifre decimali

La larghezza con cui è scritto ogni numero della pagina, non una dichiarazione di precisione. Le coordinate si stampano con gli zeri finali, e la semilunghezza è spesso una radice quadrata che non finisce mai, quindi quattro cifre è il punto in cui viene tagliata

Ricorri al punto medio quando qualcosa deve stare esattamente a metà fra due cose che sai nominare. A metà strada fra due paesi su una mappa, il centro di un diametro, il punto in cui un geometra pianta un paletto, il centro di una parete su cui stai per appendere qualcosa, il punto di equilibrio fra due figure su un grafico. In ognuno di questi casi hai i due capi e vuoi sapere cosa sta in mezzo, e fare la media di ciascuna coordinata te lo dà. È anche il modo più rapido per ottenere il centro di un cerchio quando conosci due suoi punti che stanno uno di fronte all'altro, perché il centro di un cerchio è il punto medio di un diametro qualsiasi. L'altra metà della pagina è la parte che si dimentica di usare. Un punto medio non è solo una coppia di numeri prodotta da una regola: è un punto che si trova alla stessa distanza dai due capi, e la semilunghezza che la pagina restituisce ti permette di verificarlo sul posto. Se hai misurato il segmento con un righello conosci già la lunghezza intera, e la sua metà deve coincidere con quello che la pagina stampa. Quando non coincide, quello sbagliato è il dato di ingresso e non la risposta, e la causa più frequente è un segno: la differenza fra una y di meno 7 e una y di 7 è quattordici e non zero, e un meno perso nel secondo estremo sposta tutta la risposta in su o in giù di sette continuando a sembrare del tutto normale. Nei due punti che dai alla pagina, infine, sta anche il caso in cui il segmento è verticale od orizzontale: se le due x coincidono la prima media resta quella x e il punto medio sta sulla stessa verticale dei capi, e se le due y coincidono vale lo stesso sull'orizzontale. È una situazione che ricorre spesso quando si lavora su una pianta allineata agli assi, e la pagina la gestisce senza casi speciali perché la media di due numeri uguali è quel numero.

1. Il segmento predefinito, da uno a cinque in orizzontale e da due a otto in verticale

   1. Media dei valori x: (1 + 5) ÷ 2 = 3
   2. Media dei valori y: (2 + 8) ÷ 2 = 5
   3. Il punto medio è (3; 5)
   4. Semilunghezza: la differenza delle x è 4 e quella delle y è 6, quindi la lunghezza intera è √(16 + 36) = √52 = 7,2111 e la sua metà è 3,6056

   La coppia che compare quando la pagina si apre, e una buona da controllare a occhio. Entrambe le medie sono numeri interi, quindi le due coordinate sono esatte, mentre la semilunghezza è una radice quadrata e perciò arrotondata: un ritratto onesto della pagina nel suo insieme. Camminare da (1; 2) a (5; 8) vuol dire quattro passi in orizzontale e sei in verticale; il punto medio sta a due passi in orizzontale e tre in verticale dal primo estremo, che è quello che (3; 5) rappresenta, e la semilunghezza di 3,6056 è la diagonale di quel passo di due per tre.

2. Il segmento tre quattro cinque, dove ogni numero è esatto

   1. Media dei valori x: (0 + 3) ÷ 2 = 1,5
   2. Media dei valori y: (0 + 4) ÷ 2 = 2
   3. Il punto medio è (1,5; 2)
   4. La differenza delle x è 3 e quella delle y è 4, quindi la lunghezza intera è √(9 + 16) = 5 e la semilunghezza è 2,5

   Il triangolo tre quattro cinque ricorre in tutto questo lotto perché è il più piccolo triangolo rettangolo con tutti i lati interi, e qui ripaga due volte: la lunghezza intera è esattamente 5 e la semilunghezza esattamente 2,5, quindi non c'è nulla di arrotondato. Usalo come taratura quando sei incerto se una risposta sorprendente sia un effetto dell'arrotondamento: su questo dato non può esserlo. Nota anche lo zero finale in una forma diversa: la coordinata x è 1,5 e si stampa come 1,5000, che è il contratto delle quattro cifre e non una dichiarazione che la risposta sia nota fino alla quarta cifra.

3. Due estremi ai lati opposti dell'origine

   1. Media dei valori x: (4 + (−4)) ÷ 2 = 0
   2. Media dei valori y: ((−7) + 7) ÷ 2 = 0
   3. Il punto medio è l'origine, (0; 0)
   4. La differenza delle x è −8 e quella delle y è 14, quindi la lunghezza è √(64 + 196) = √260 = 16,1245 e la metà è 8,0623

   Un punto medio pari a zero è una risposta vera e non una casella vuota. La coppia di questo esempio è simmetrica rispetto all'origine, quindi l'origine sta esattamente a metà fra i due punti ed entrambe le coordinate tornano come 0,0000. Lo stesso zero compare sulla pagina per ogni segmento i cui estremi siano uno il riflesso dell'altro, che è una famiglia numerosa e non una curiosità. Nota come vengono trattati i segni nelle differenze: sottrarre una coordinata negativa equivale ad addizionarla, quindi la differenza delle y è 14 anche se i due valori sono 7 e meno 7.

4. Un punto medio che cade su un numero intero partendo da estremi che sembrano frazionari

   1. Media dei valori x: ((−3) + 7) ÷ 2 = 2
   2. Media dei valori y: (4 + (−2)) ÷ 2 = 1
   3. Il punto medio è (2; 1)
   4. La differenza delle x è 10 e quella delle y è −6, quindi la lunghezza è √(100 + 36) = √136 = 11,6619 e la metà è 5,831

   Qui entrambe le differenze sono pari, ed è per questo che due coordinate dall'aria scomoda hanno come media dei numeri interi. Dieci in orizzontale e sei in verticale danno una semilunghezza di 5,831, una radice quadrata che non termina mai, quindi questo è anche il caso che mostra il taglio a quattro cifre al lavoro. Se vuoi controllare la riga a mano, eleva al quadrato la semilunghezza stampata: 5,831 al quadrato fa 34,0 e 5,8309 al quadrato fa 33,999, abbastanza vicino al 34 che è il quadrato della risposta esatta, ed è la conferma migliore che quattro cifre possano dare.

5. Due estremi che sono lo stesso punto

   1. Media dei valori x: (2,5 + 2,5) ÷ 2 = 2,5
   2. Media dei valori y: ((−1,5) + (−1,5)) ÷ 2 = −1,5
   3. Il punto medio è il punto da cui sei partito
   4. Entrambe le differenze sono zero, quindi la lunghezza è 0 e la semilunghezza è 0

   Un segmento di lunghezza zero, a cui la pagina risponde con onestà: il punto medio di un punto con se stesso è quel punto, e la semilunghezza è zero. È l'unico tipo di dato che possa far stampare 0 alla terza riga, perché una semilunghezza nulla richiede che i due estremi coincidano. Vale la pena vederlo una volta, così una pagina che mostra tre numeri di cui uno è zero non viene letta come un valore mancante: qui non è fallito niente.

La pagina restituisce il punto medio del segmento che descrivi, e nient'altro di quel segmento. Non ti dà la retta che passa per i due punti, quindi non ti dirà la pendenza, le intersezioni con gli assi né l'equazione di quella retta, e non ti dà nemmeno la lunghezza intera del segmento: la terza riga è la sua metà, quindi raddoppia la semilunghezza se quello che ti serviva era la lunghezza completa. Le coordinate sono numeri puri e nessuna unità è associata ad alcuna uscita. Se i tuoi punti sono in piedi le risposte sono in piedi, se sono quadretti di griglia le risposte sono quadretti, ma la pagina non converte niente e non ti avverte se mescoli metri e millimetri fra i due estremi. È un rischio reale con una pagina senza unità: non può accorgersi che (1; 2) e (5000; 8000) sono probabilmente lo stesso segmento digitato in unità diverse, e il punto medio che restituisce sarà semplicemente sbagliato di un fattore. Le coordinate sono limitate a più o meno un miliardo. Il limite esiste per ragioni aritmetiche e non matematiche, e il messaggio di errore ti dirà quale casella lo ha superato, ma significa comunque che la pagina non è uno strumento per coordinate su scala di un rilevamento continentale o di un'orbita satellitare espressa in metri. Infine la semilunghezza è arrotondata a quattro cifre decimali ed è spesso un numero irrazionale, quindi per la maggior parte dei dati è un'approssimazione; la moltiplicazione per due alla fine di un controllo a mano erediterà quell'arrotondamento, ed è per questo che una semilunghezza raddoppiata può differire dalla lunghezza intera nell'ultima o nelle ultime due cifre. Non ci sono opzioni per le unità né per gli angoli, perché qui non ce ne sono: la pagina non ha un menù e non ha nulla da convertire.

Qual è la formula del punto medio?

Fai la media di ciascuna coordinata separatamente. La x del punto medio è la somma delle due x divisa a metà, e la y del punto medio è la somma delle due y divisa a metà: per questo la risposta cade sempre fra i due estremi, un asse alla volta, e non altrove sul piano. Per gli estremi (1; 2) e (5; 8) questo dà 3 e 5, perché 1 e 5 hanno media 3 mentre 2 e 8 hanno media 5. Non c'è una seconda regola nascosta dietro la prima: se sai fare la media di due numeri sai trovare un punto medio.

Perché la pagina stampa un terzo numero oltre alle due coordinate?

Perché due coordinate non si possono controllare e una semilunghezza sì. Ogni punto ha coordinate, quindi un punto medio sbagliato resta una coppia di numeri dall'aria plausibile senza nulla che lo tradisca. La semilunghezza è la distanza dal punto medio a uno qualsiasi dei due estremi, e per definizione quelle due distanze sono uguali: confrontarla con la metà della lunghezza che hai misurato è quindi un controllo che sul posto o passa o fallisce. Spesso è anche il numero che ti serviva davvero, cioè la distanza dal centro di qualcosa al suo bordo.

Le coordinate hanno un'unità di misura?

No, e nemmeno la risposta. La pagina tratta i tuoi numeri come coordinate pure, ed è una scelta voluta: un piano cartesiano non ha un'unità propria, e una calcolatrice che ti obbligasse a scegliere centimetri o pollici prima di poterne leggere una dal grafico starebbe inventando un'unità che non hai mai avuto. Se i tuoi punti vengono da una mappa in metri, leggi l'uscita in metri; se sono longitudine e latitudine, leggi la semilunghezza in gradi, che non è una distanza in chilometri e non si può convertire in una senza sapere dove ti trovi sul globo.

Il punto medio può cadere fuori dal segmento?

No, ed è una cosa utile da sapere quando controlli una risposta. Il punto medio tra due numeri è la loro media, e una media non esce mai dall'intervallo dei numeri da cui è costruita, quindi il punto medio di un segmento sta sempre da qualche parte fra i suoi due capi, e sul bordo solo quando i due estremi sono uguali. Se la pagina restituisce un punto che non sta fra i tuoi due estremi, sbagliati sono i dati di ingresso e non l'aritmetica. La causa abituale è un meno perso.

Che cosa succede se i due estremi sono lo stesso punto?

Ti torna indietro quel punto e una semilunghezza di zero, che è la risposta corretta e non un errore. Un punto e se stesso definiscono un segmento di lunghezza nulla, e il punto medio di quel segmento è il punto stesso. È l'unico dato che possa produrre uno zero nella terza riga, dato che una semilunghezza nulla richiede che entrambe le differenze si annullino. La pagina non si lamenterà, perché non c'è nulla di cui lamentarsi.

Quante cifre decimali ha la risposta?

Quattro, e gli zeri finali vengono stampati invece che eliminati, quindi il punto medio di (1; 2) e (5; 8) si legge come 3,0000 e 5,0000. Quegli zeri riguardano la larghezza della visualizzazione e non la certezza: la coordinata è esattamente 3, e la pagina la stampa così per tenere allineata una colonna di numeri. La semilunghezza è quella che di solito è approssimata, dato che sulla maggior parte dei dati è una radice quadrata, e quattro cifre è il punto in cui la pagina smette di scriverla.

Il punto medio è lo stesso se scambio i due estremi?

Sì. L'addizione non tiene conto dell'ordine, quindi la media di 1 e 5 è la stessa della media di 5 e 1, e lo stesso vale per ogni altra casella. L'unica cosa che cambia scambiando i capi è il segno delle due differenze usate per la semilunghezza, e dato che le differenze vengono elevate al quadrato prima di essere sommate, anche la semilunghezza viene uguale. Scambia le coppie liberamente: nulla sulla pagina dipende da quale estremo hai chiamato primo.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, with the coordinate formula for it and the property that the midpoint of a diameter is the centre of a circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, and the object whose midpoint this page returns — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair this page takes in and gives back, and the reason a coordinate-plane problem carries no unit unless the axes were drawn with one — Wolfram MathWorld (United States)