Calcolatrice dell'estremo mancante

Altro estremo x = 2 × (x del punto medio) − (x dell'estremo noto) Altro estremo y = 2 × (y del punto medio) − (y dell'estremo noto) Semilunghezza = √((x dell'estremo noto − x del punto medio)² + (y dell'estremo noto − y del punto medio)²)

Punto medio

Una x e una y per il punto che sta in mezzo al segmento. Ti viene dato e non calcolato, quindi deve essere il vero punto medio del segmento che hai in mente: la pagina non ha alcun modo di accorgersi che non lo è

Estremo noto

L'estremità che hai già. Deve essere una delle due estremità e non un altro punto qualsiasi del segmento, perché la regola dà per scontato che sia esattamente alla stessa distanza dal punto medio a cui starà la risposta

Altro estremo

La risposta, una coordinata per asse, ciascuna arrotondata a quattro cifre decimali. Sta alla stessa distanza dal punto medio a cui sta l'estremità nota, ma dalla parte opposta, quindi di solito cade fuori dall'intervallo dei numeri che hai inserito

Semilunghezza

La distanza dall'estremo noto al punto medio, calcolata direttamente da quei due punti. È il controllo che la pagina fa su se stessa: l'estremo recuperato deve stare alla stessa distanza dal punto medio, e confrontare questa cifra con la tua misura è quello che fa saltare fuori un segno invertito

Quattro cifre decimali

La larghezza con cui viene scritto ogni numero, zeri finali compresi. Le coordinate intere si stampano comunque con quattro zeri in coda, che è una scelta di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione

Il mestiere più evidente è completare una figura: hai il centro di qualcosa e un bordo, e ti serve il punto esattamente opposto. Il centro di un cerchio e un estremo di un diametro ti danno l'altro estremo di quel diametro, che è lo stesso problema detto in un altro modo. Un topografo che ha piantato un picchetto a metà di un tracciato e sa dove è finita un'estremità vuole l'altra, e questa pagina è esattamente quello. Serve anche nel disegno: il mezzo di una linea e un capo, e ti serve il capo lontano per posizionare uno specchio o un elemento simmetrico. C'è un secondo uso meno evidente e spesso più prezioso: il controllo. Dato un segmento, prendine il punto medio, inserisci quello e un estremo, e la pagina deve restituirti l'altro estremo. Se non lo fa, il punto medio era sbagliato oppure il segmento non è dritto, e in entrambi i casi hai trovato qualcosa che valeva la pena sapere prima di costruirci sopra. La riga della semilunghezza è la versione rapida di quel controllo, dato che una figura le cui due metà non concordano non è simmetrica rispetto al punto che credevi fosse il suo centro. Un'abitudine rende la risposta molto più facile da credere: prima di leggere il risultato, chiediti da che parte del punto medio deve cadere il nuovo punto. La risposta è sempre la parte opposta rispetto all'estremo che hai inserito, e un risultato dalla stessa parte dell'estremità nota è un errore di segno, non una sorpresa. Fuori dall'aula la pagina compare quando si parte dal centro invece che dai bordi: il centro di una pista e un cartello a un'estremità per posizionare quello simmetrico, il centro di una campata e un pilastro per sapere dove va l'altro, il centro di un'orbita e un afelio per ricavare il perielio, il centro di una finestra e uno spigolo per segnare lo spigolo opposto, il centro di un'immagine e un punto noto per ricavare il punto simmetrico. È anche il modo più svelto di trovare il punto simmetrico di un punto rispetto a un altro: si prende il secondo come punto medio e si inserisce il primo come estremo noto. E in un foglio di calcolo è quello che serve quando hai metà di una serie simmetrica e vuoi l'altra metà senza riscrivere a mano i valori: inserisci il centro e ogni valore noto, e ottieni il corrispondente dall'altra parte.

1. La coppia con cui la pagina si carica, cioè il default della pagina del punto medio letto al contrario

   1. Raddoppia la x del punto medio: 3 × 2 = 6, poi togli la x nota: 6 − 1 = 5
   2. Raddoppia la y del punto medio: 5 × 2 = 10, poi togli la y nota: 10 − 2 = 8
   3. L'altro estremo è (5, 8)
   4. Semilunghezza: la distanza da (1, 2) a (3, 5) è √(4 + 9) = √13 = 3,6056

   Lo stesso segmento con cui si carica la pagina del punto medio, percorso nel verso opposto: dai a quella pagina (1, 2) e (5, 8) e ti restituisce (3, 5), che è da dove parte questa. Le due pagine che concordano sono il controllo più economico che nessuna delle due formule abbia i segni invertiti, e funziona su qualunque ingresso e non soltanto su questo. La semilunghezza di 3,6056 è la stessa cifra che la pagina del punto medio stampa per lo stesso segmento, e non è una coincidenza: è la stessa distanza misurata fra la stessa coppia di punti.

2. L'altra estremità di un segmento che ha il punto medio nell'origine

   1. Raddoppia la x del punto medio: 0 × 2 = 0, poi togli la x nota: 0 − 3 = −3
   2. Raddoppia la y del punto medio: 0 × 2 = 0, poi togli la y nota: 0 − 4 = −4
   3. L'altro estremo è (−3, −4)
   4. Semilunghezza: la distanza da (3, 4) all'origine è √(9 + 16) = 5

   Un punto medio nell'origine fa collassare la regola a un cambio di segno, ed è il caso più chiaro per vedere che cosa fa la pagina: la risposta è la riflessione dell'estremo noto attraverso il punto medio. Con parecchi zeri nell'ingresso è anche facile perdere un segno, quindi è l'ingresso a cui ricorrere se un risultato sembra sbagliato: qui la risposta è obbligata e non c'è niente da arrotondare.

3. Un'estremità nel quadrante opposto

   1. Raddoppia la x del punto medio: (−2) × 2 = −4, poi togli la x nota: −4 − 4 = −8
   2. Raddoppia la y del punto medio: 1 × 2 = 2, poi togli la y nota: 2 − (−3) = 5
   3. L'altro estremo è (−8, 5)
   4. Semilunghezza: la distanza da (4, −3) a (−2, 1) è √(36 + 16) = √52 = 7,2111

   Qui ogni segno sta facendo qualcosa, e la seconda riga è quella che coglie in fallo: sottrarre una y negativa somma, quindi la risposta di 5 sta sopra il punto medio di 1 e non sotto. L'estremo recuperato cade nel quadrante diagonalmente opposto a quello dell'estremo noto, che è lo schema generale: un segmento che passa per il punto medio attraversa da una parte all'altra su entrambi gli assi contemporaneamente.

4. Un'estremità nota che è il punto medio stesso

   1. Raddoppia la x del punto medio: 2 × 2 = 4, poi togli la x nota: 4 − 2 = 2
   2. Lo stesso per la y: 4 − 2 = 2
   3. L'altro estremo è (2, 2), il punto da cui sei partito
   4. Semilunghezza: zero, perché i due punti coincidono

   Un segmento di lunghezza zero è l'unico caso in cui la risposta non sta dalla parte opposta del punto medio: è il punto medio, e l'estremo noto è lì pure lui. È la risposta corretta e non un fallimento del calcolo: se le due estremità di un segmento sono lo stesso punto, quel punto è anche il suo mezzo, e la pagina non ha altro da dire. Vale la pena vederlo una volta perché una coordinata ripetuta non si legga come un difetto della pagina.

5. Un punto medio molto lontano dall'estremità nota

   1. Raddoppia la x del punto medio: 1.000.000 × 2 = 2.000.000, poi togli la x nota: 2.000.000 − 0 = 2.000.000
   2. Raddoppia la y del punto medio: 0 × 2 = 0, poi togli la y nota: 0 − 0 = 0
   3. L'altro estremo è (2.000.000, 0), sull'asse x come quello noto
   4. Semilunghezza: la distanza dall'origine a (1.000.000, 0) è 1.000.000

   Il caso che mostra come la risposta non sia confinata nell'intervallo degli ingressi. I numeri inseriti stanno entrambi entro un milione dall'origine, e la risposta è a due milioni: più lontano di qualunque cifra sulla pagina, perché l'estremità nota e la risposta stanno a cavallo del punto medio invece che vicine. Qui non c'è nessun trabocco e nessuna approssimazione: raddoppiare e sottrarre numeri interi resta esatto ben oltre questa dimensione.

La pagina dà per scontato che il punto che chiami punto medio lo sia davvero. Non verifica che l'estremità nota e quella recuperata stiano alla stessa distanza da esso: costruisce la seconda perché lo stiano, il che vuol dire che un punto medio sbagliato in ingresso produce una risposta sbagliata della stessa identica quantità, e la pagina non è in grado di accorgersene. Se il punto medio che hai è una stima e non una misura, anche la risposta è una stima. Le coordinate non portano alcuna unità e la pagina non ne converte né ne conserva nessuna, quindi non può vedere che un punto medio in metri e un'estremità in millimetri sono stati mescolati. I quattro ingressi sono limitati a più o meno un miliardo, ma l'estremo recuperato no: può arrivare a tre miliardi, ed è corretto e non un difetto, perché raddoppiare e poi sottrarre può benissimo superare i numeri che gli sono stati dati. Una coordinata recuperata fuori dall'intervallo che hai inserito è normale su questa pagina. La semilunghezza è arrotondata a quattro cifre decimali ed è spesso irrazionale, quindi per quasi tutti gli ingressi è un'approssimazione, e un controllo fatto a mano contro la tua misura non sempre concorderà fino all'ultima cifra. Infine la pagina recupera un punto e non dice altro: non ti dà la lunghezza intera del segmento, non ti dà la pendenza della retta che lo contiene e non conosce una terza dimensione, quindi una coppia di punti nello spazio non si completa qui nemmeno se due delle tre coordinate sono note.

Qual è la formula dell'estremo mancante?

Raddoppia il punto medio e sottrai l'estremo che conosci, una volta per ciascun asse. Se il punto medio è 3 e l'estremo noto è 1, l'altro estremo è 6 meno 1, cioè 5. È la regola del punto medio risistemata: il punto medio è la media dei due estremi, quindi i due estremi sommati fanno il doppio del punto medio, e togliendone uno resta l'altro. Oltre alla direzione dell'ultima sottrazione non c'è niente da ricordare.

Perché la risposta cade fuori dall'intervallo dei numeri che ho inserito?

Perché le due estremità stanno da parti opposte del punto medio, quindi la risposta è tanto oltre il mezzo quanto l'estremità che hai inserito è prima del mezzo. Inserisci un punto medio a un milione dall'origine e un estremo noto nell'origine, e la risposta è a due milioni. Non è un trabocco né un errore: raddoppiare e sottrarre può produrre un numero più grande di entrambi gli ingressi, e la pagina non ha un limite superiore proprio per il risultato, ma solo il limite a un miliardo su quello che puoi scrivere nelle quattro caselle.

A che cosa serve la terza cifra della pagina?

È la pagina che controlla se stessa. Un punto medio sta alla stessa distanza dalle due estremità, quindi la distanza fra l'estremo noto e il punto medio deve essere uguale alla distanza fra il punto medio e l'estremo appena recuperato. La pagina stampa la prima delle due, e se coincide con la metà del segmento che conoscevi già, la risposta è coerente. Confrontarla con la seconda non proverebbe niente, dato che la pagina userebbe la propria risposta per verificare la propria risposta.

La pagina controlla che il mio punto medio sia davvero il punto medio?

No, e non può farlo. La pagina prende il punto che chiami punto medio come dato di partenza e costruisce l'altra estremità in modo che stia alla stessa distanza, quindi se il punto che hai inserito non era il vero mezzo del segmento la risposta sarà sbagliata della stessa identica quantità e nulla sulla pagina sembrerà strano. Un punto medio stimato invece che misurato dà un estremo stimato. La riga della semilunghezza è l'unico appiglio che hai, e ti parla solo della geometria che hai inserito, non del mondo.

Posso usarla per punti nello spazio?

Solo lavorando un asse alla volta. La pagina ha due caselle di coordinate per punto e non una terza, quindi un problema tridimensionale non si può inserire così com'è. La regola in sé non ha niente a che vedere con le due dimensioni — raddoppia il punto medio e sottrai l'estremo noto, su ogni asse — quindi puoi applicare la stessa aritmetica alla terza coordinata per conto tuo, ma la pagina non lo farà e non mostrerà il risultato.

E se l'estremità nota coincide con il punto medio?

Allora la risposta è quello stesso punto e la semilunghezza è zero. Un segmento le cui estremità coincidono non ha lunghezza, e il suo mezzo è il punto stesso, quindi non è andato storto niente. È l'unico caso in cui l'estremo recuperato non sta dalla parte opposta del punto medio, e vale la pena vederlo una volta perché una coordinata ripetuta non sembri un fallimento del calcolo.

• Midpoint — the point on a line segment equidistant from both endpoints, and the relation this page inverts to recover the far end from the middle and one end — Wolfram MathWorld (United States)
• Line segment — the part of a line bounded by two endpoints, where knowing the middle and one end determines the other end completely — Wolfram MathWorld (United States)
• Point — the coordinate pair the page takes in and gives back, and the reason no unit is attached to any of it — Wolfram MathWorld (United States)