Perché la tangente non ha valore a novanta gradi?

Perché la tangente è il seno diviso il coseno, e a novanta gradi il coseno è zero. Il punto si è spostato in cima alla circonferenza, la sua ascissa è zero, e non c'è niente per cui dividere. Il modo onesto di dirlo è che la tangente lì non ha valore, non che è molto grande. Il seno e il coseno a quell'angolo sono definiti benissimo, valgono uno e zero, e la tabella qui sotto continua a elencarli.

L'angolo si inserisce in gradi o in radianti?

In entrambi: accanto al campo c'è un selettore di unità, e la lettura è lo stesso angolo in un modo o nell'altro. Trenta gradi e 0,5236 radianti danno gli stessi tre numeri a quattro cifre. La differenza salta fuori solo quando ti confronti con una fonte che dà per scontata un'unità, e sono quasi tutti i manuali: una pagina che dice che il seno di trenta è un mezzo sta parlando di gradi.

A che cosa serve la tabella trigonometrica qui sotto?

Dodici angoli, quattro per giro, con tutte e tre le funzioni su ogni riga. Insieme coprono ogni combinazione di segni che le tre funzioni possono assumere, entrambi i poli della tangente e tutti e quattro i quadranti. Leggi una colonna alla volta e lo schema di ciascuna funzione diventa visibile: il seno sale fino a uno e ridiscende, il coseno è la stessa forma spostata, e la tangente si ripete ogni mezzo giro invece che a ogni giro intero.

L'angolo può essere negativo, o più grande di un giro intero?

Sì a entrambe le cose, e nessuna delle due è un caso speciale. Un angolo negativo gira in senso orario invece che antiorario, e atterra sullo stesso punto della sua controparte positiva sommata a un giro intero: meno trenta gradi e trecentotrenta gradi sono lo stesso angolo e danno le stesse tre letture. Quello che supera un giro intero continua a girare: trecentonovanta è di nuovo trenta. Conta solo la posizione finale, quindi la calcolatrice riduce prima l'angolo e poi ne legge i rapporti trigonometrici.

Che differenza c'è fra questa pagina e quella della circonferenza goniometrica?

Condividono il campo e concordano fino all'ultimo decimale, di proposito: sono fatte per essere confrontate l'una con l'altra. La differenza è quello che mostrano. La pagina della circonferenza goniometrica è costruita attorno al disegno: un punto su una circonferenza di raggio uno, le sue coordinate e gli angoli notevoli con i loro valori esatti. Questa pagina è costruita attorno alle funzioni e agli angoli scomodi da disegnare: angoli negativi, angoli oltre un giro intero, e i due angoli in cui la tangente non ha valore.

Perché quattro decimali e non di più?

Perché quattro bastano a distinguere la risposta di un manuale da una sbagliata, e oltre quel punto le cifre smettono di riguardare l'angolo. I valori esatti nella maggior parte degli angoli della tabella sono radici e frazioni, e le loro espansioni decimali non finiscono e non si ripetono: il coseno di trenta gradi è radice di tre mezzi, e 0,8660254037844386 ne è un troncamento, non un numero diverso. Stampare più cifre suggerirebbe una precisione che l'angolo non ha.

Calcolatrice di trigonometria

Risultato

0,5000

Seno

Coseno: 0,8660
Tangente: 0,5774

Una calcolatrice di trigonometria prende un angolo e restituisce il suo seno, il suo coseno e la sua tangente. Digita l'angolo, indica se è in gradi o in radianti, e la pagina ti dà tutti e tre insieme: i tre numeri che descrivono dove quell'angolo si ferma. Il seno e il coseno sono le due coordinate di un punto solo. Disegna una circonferenza di raggio uno con il centro nell'origine, parti dal semiasse orizzontale positivo e ruota in senso antiorario del tuo angolo: il punto su cui ti fermi ha un'ascissa e un'ordinata, e quelle coordinate sono il coseno e il seno. La tangente è il rapporto fra i due, seno diviso coseno, che è anche la pendenza della retta che va dall'origine a quel punto. Siccome la tangente è un rapporto e non una coordinata, fa una cosa che le altre due non fanno mai: si esaurisce. Dove il coseno è zero — all'angolo retto e ai tre quarti di giro — non c'è niente per cui dividere, quindi la tangente lì non è un numero molto grande, è nessun numero. Questa pagina rifiuta quegli angoli e li nomina, invece di stampare un valore enorme lasciandoti indovinare che significhi la stessa cosa. La tabella qui sotto dispone tutte e tre le funzioni trigonometriche su dodici angoli, quattro per giro, così lo schema si vede invece di doverlo credere sulla parola. Gli angoli oltre un giro intero qui sono input del tutto ordinari: trecentonovanta gradi sono lo stesso angolo di trenta, e la pagina li legge allo stesso modo. I rapporti trigonometrici sono mostrati a quattro decimali, quanto basta per confrontarli con un manuale, e abbastanza onesti da dire che i valori esatti qui sono radici e frazioni che nessun decimale esaurisce. Fra i dodici angoli ce ne sono diversi notevoli, e sono quelli che vale la pena di imparare a memoria.

Seno, coseno e tangente su dodici angoli lungo la circonferenza

θ (gradi)	sen θ	cos θ	tan θ
0	0	1	0
30	0.5	0.866	0.5774
45	0.7071	0.7071	1
60	0.866	0.5	1.7321
90	1	0	—
120	0.866	-0.5	-1.7321
135	0.7071	-0.7071	-1
150	0.5	-0.866	-0.5774
180	0	-1	0
210	-0.5	-0.866	0.5774
270	-1	0	—
330	-0.5	0.866	-0.5774

Dodici angoli, quattro per giro, e i due trattini nella colonna della tangente sono il punto della tabella: a novanta e a duecentosettanta gradi la tangente non ha valore, e la pagina lo dice con un trattino invece che con un numero grande. Leggi la colonna del seno dall'alto e sale da zero a uno nel primo quarto di giro, riscende a zero entro il mezzo giro, diventa negativa e poi torna: un'onda intera a ogni giro. La colonna del coseno è la stessa onda un quarto di giro prima. La tangente è diversa di natura: si ripete ogni mezzo giro invece che a ogni giro intero, ed è per questo che le quattro righe da zero a centottanta contengono già tutta la sua storia. Nota anche dove toccano il massimo le due colonne positive: il seno arriva a uno a novanta gradi esattamente dove il coseno arriva a zero, e la tangente è il rapporto fra quei due, che è ciò che rende quell'angolo il polo.

Formula

sen θ = opposto ÷ ipotenusa cos θ = adiacente ÷ ipotenusa tan θ = sen θ ÷ cos θ

θ: L'angolo, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove si ferma sulla circonferenza
opposto / adiacente: I due cateti di un triangolo rettangolo con dentro l'angolo θ: il lato di fronte a θ e quello che gli sta accanto. Su un'ipotenusa di uno diventano le due coordinate che il seno e il coseno leggono
ipotenusa: Il lato più lungo di un triangolo rettangolo, quello opposto all'angolo retto. Dividere per esso è ciò che tiene il seno e il coseno fra meno uno e uno

Questa pagina risponde a una domanda in tre modi: dato un angolo, quanto valgono il suo seno, il suo coseno e la sua tangente? Rivolgiti a lei quando l'angolo ce l'hai già — l'inclinazione di un tetto che conosci in gradi e vuoi come pendenza, una fase che conosci in radianti, una direzione che stai per scomporre in componenti — e vuoi i tre rapporti trigonometrici insieme invece di uno alla volta. La tabella dei valori trigonometrici su dodici angoli esiste per lo stesso motivo: quasi tutti gli angoli che si incontrano davvero sono uno di quei dodici, e avere le tre funzioni affiancate è il modo in cui ci si accorge che il seno di trenta e il coseno di sessanta sono lo stesso numero. Il calcolo delle funzioni trigonometriche in radianti funziona esattamente come quello in gradi: cambia solo l'unità che scegli accanto al campo. Se invece ti serve la lettura di un angolo notevole, la tabella qui sotto è già pronta. E se quello che hai è un rapporto e vuoi tornare all'angolo, quella è la direzione inversa: il seno, il coseno e la tangente di un angolo non ti dicono l'angolo, e quel lavoro lo fanno le pagine inverse

Esempi svolti

Un angolo di trenta gradi
1. L'angolo è nel primo quadrante, quindi tutte e tre le letture sono positive
2. Il punto a trenta gradi sulla circonferenza di raggio uno è (√3/2, 1/2)
3. Quindi il coseno è √3/2 e il seno è 1/2, e la tangente è il loro rapporto, √3/3
L'angolo con cui la pagina si apre, e la prima riga della tabella qui sotto. I valori esatti sono un mezzo, radice di tre mezzi e radice di tre fratto tre; i decimali mostrati sono quei tre arrotondati a quattro cifre, e 0,5774 è quello che vale la pena di notare: un terzo di una radice, non un decimale periodico.
Un angolo di quarantacinque gradi
1. A quarantacinque gradi il punto sta sulla retta y = x, quindi le due coordinate sono uguali
2. Coordinate uguali significano che il seno e il coseno sono lo stesso numero, √2/2
3. Il rapporto di due numeri uguali è esattamente 1, ed è per questo che qui la tangente è esatta
L'unico angolo sotto i novanta gradi la cui tangente è esatta: 1, non 0,9999. Il seno e il coseno valgono entrambi 0,7071, ed è il valore più grande che uno dei due raggiunga nel primo quadrante dopo i quarantacinque gradi: oltre questo angolo il seno continua a salire e il coseno comincia a scendere. È anche l'unico angolo in cui la tangente è il seno diviso il coseno e il risultato viene pulito.
Un angolo del secondo quadrante, centotrentacinque gradi
1. Centotrentacinque gradi sono quarantacinque gradi oltre l'angolo retto, quindi il punto è nel secondo quadrante
2. La sua ordinata è ancora positiva, quindi il seno resta 0,7071
3. La sua ascissa è diventata negativa, quindi il coseno è −0,7071
4. La tangente è il rapporto fra un positivo e un negativo, quindi è negativa
I segni sono lo scopo di questo esempio. Il seno di centotrentacinque gradi è esattamente il seno di quarantacinque, il coseno ha cambiato segno, e la tangente l'ha cambiato con lui. Leggendo la tabella qui sotto dall'alto verso il basso, la colonna del seno è positiva nei primi due quadranti e negativa negli ultimi due; la colonna del coseno cambia a novanta gradi; e la colonna della tangente cambia anch'essa a novanta, che è lo stesso punto in cui si esaurisce.

Limiti

Tre cose che questa pagina non fa. Legge un angolo e dà dei rapporti, non va nella direzione opposta. Se hai 0,5 e vuoi l'angolo il cui seno vale quello, qui non lo troverai: lo fanno le pagine inverse, ed è una domanda genuinamente diversa con un insieme di risposte genuinamente diverso, perché un seno di 0,5 appartiene a più di un angolo. Secondo, la tangente di un angolo retto o dei tre quarti di giro viene rifiutata invece che approssimata, e lo stesso rifiuto copre ogni angolo che si riduca a uno di quei due, compresi quelli negativi e quelli oltre un giro intero. È il trattamento onesto, ma significa che un angolo di quattrocentocinquanta gradi restituisce un errore dove quattrocentocinquanta è un angolo del tutto ragionevole per il seno e per il coseno. Terzo, le letture sono date a quattro decimali. Per i dodici angoli della tabella non bastano a far vedere i valori esatti — il coseno di trenta qui è 0,866 e vale radice di tre mezzi — e nessuna espansione decimale basterebbe, perché i valori esatti a quegli angoli sono irrazionali. La tabella qui sotto stampa i decimali; se ti servono le radici, stanno nelle tavole degli angoli notevoli.

Domande frequenti

Perché la tangente non ha valore a novanta gradi?: Perché la tangente è il seno diviso il coseno, e a novanta gradi il coseno è zero. Il punto si è spostato in cima alla circonferenza, la sua ascissa è zero, e non c'è niente per cui dividere. Il modo onesto di dirlo è che la tangente lì non ha valore, non che è molto grande. Il seno e il coseno a quell'angolo sono definiti benissimo, valgono uno e zero, e la tabella qui sotto continua a elencarli.
L'angolo si inserisce in gradi o in radianti?: In entrambi: accanto al campo c'è un selettore di unità, e la lettura è lo stesso angolo in un modo o nell'altro. Trenta gradi e 0,5236 radianti danno gli stessi tre numeri a quattro cifre. La differenza salta fuori solo quando ti confronti con una fonte che dà per scontata un'unità, e sono quasi tutti i manuali: una pagina che dice che il seno di trenta è un mezzo sta parlando di gradi.
A che cosa serve la tabella trigonometrica qui sotto?: Dodici angoli, quattro per giro, con tutte e tre le funzioni su ogni riga. Insieme coprono ogni combinazione di segni che le tre funzioni possono assumere, entrambi i poli della tangente e tutti e quattro i quadranti. Leggi una colonna alla volta e lo schema di ciascuna funzione diventa visibile: il seno sale fino a uno e ridiscende, il coseno è la stessa forma spostata, e la tangente si ripete ogni mezzo giro invece che a ogni giro intero.
L'angolo può essere negativo, o più grande di un giro intero?: Sì a entrambe le cose, e nessuna delle due è un caso speciale. Un angolo negativo gira in senso orario invece che antiorario, e atterra sullo stesso punto della sua controparte positiva sommata a un giro intero: meno trenta gradi e trecentotrenta gradi sono lo stesso angolo e danno le stesse tre letture. Quello che supera un giro intero continua a girare: trecentonovanta è di nuovo trenta. Conta solo la posizione finale, quindi la calcolatrice riduce prima l'angolo e poi ne legge i rapporti trigonometrici.
Che differenza c'è fra questa pagina e quella della circonferenza goniometrica?: Condividono il campo e concordano fino all'ultimo decimale, di proposito: sono fatte per essere confrontate l'una con l'altra. La differenza è quello che mostrano. La pagina della circonferenza goniometrica è costruita attorno al disegno: un punto su una circonferenza di raggio uno, le sue coordinate e gli angoli notevoli con i loro valori esatti. Questa pagina è costruita attorno alle funzioni e agli angoli scomodi da disegnare: angoli negativi, angoli oltre un giro intero, e i due angoli in cui la tangente non ha valore.
Perché quattro decimali e non di più?: Perché quattro bastano a distinguere la risposta di un manuale da una sbagliata, e oltre quel punto le cifre smettono di riguardare l'angolo. I valori esatti nella maggior parte degli angoli della tabella sono radici e frazioni, e le loro espansioni decimali non finiscono e non si ripetono: il coseno di trenta gradi è radice di tre mezzi, e 0,8660254037844386 ne è un troncamento, non un numero diverso. Stampare più cifre suggerirebbe una precisione che l'angolo non ha.

Riferimenti

Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
Trigonometria — le funzioni trigonometriche, i valori notevoli e le relazioni fondamentali fra seno, coseno e tangente — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice circonferenza goniometricaSeno, coseno e tangente sulla circonferenza goniometrica.Calcolatrice del triangolo rettangoloRisolvi un triangolo rettangolo da due lati o da un angolo.Calcolatrice del cosenoCoseno di un angolo, espresso in gradi o in radianti.Calcolatrice della cotangenteCotangente di un angolo, in gradi o in radianti.