Calcolatrice circonferenza goniometrica

sen θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

L'angolo, misurato in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x. Può essere negativo e può superare un giro intero: conta solo dove atterra sulla circonferenza

cos θ

La coordinata x del punto su cui l'angolo atterra. A zero gradi il punto è in (1, 0), quindi il coseno è uno; a novanta gradi è zero

sen θ

La coordinata y dello stesso punto. A zero gradi è zero; a novanta gradi il punto è in cima alla circonferenza e il seno è uno

tan θ

Il seno diviso per il coseno, cioè la pendenza della retta che va dall'origine al punto. Non ha valore dove il coseno è zero, perché è lì che la retta è verticale

Raggio unitario

Il motivo per cui le coordinate si leggono direttamente. Il punto dista una unità dall'origine, quindi per Pitagora le due coordinate al quadrato sommano sempre a uno: è l'identità cos²θ + sen²θ = 1

Gradi o radianti

Il menu converte quello che digiti in gradi prima che parta il calcolo, quindi il risultato è lo stesso in entrambi i casi. Un quarto di giro è novanta gradi, ovvero metà di pi greco in radianti

Quattro cifre decimali

Quanto sono larghe le letture. Solo una manciata di valori viene esatta — il seno di trenta è un mezzo, la tangente di quarantacinque è esattamente uno, e i valori che stanno sugli assi sono tutti numeri interi — e tutto il resto è un numero come radice di due fratto due, che va arrotondato alla fine

La circonferenza goniometrica è la tabella trigonometrica che ogni corso fa imparare a memoria, perché le tre funzioni trigonometriche non sono altro che le coordinate di un punto su di essa: e questa pagina è quella tabella con una casella in cui puoi digitare qualunque angolo. Gli usi immediati sono quelli in cui hai un angolo e ti servono le sue componenti: scomporre una forza o una velocità in parte orizzontale e parte verticale, che è esattamente la coppia seno e coseno e nient'altro; calcolare una fase in elettronica o un fattore di potenza; trovare la gittata orizzontale di qualcosa lanciato in diagonale. Il rilievo e la navigazione se ne servono ogni volta che un azimut va trasformato in uno spostamento verso est e uno verso nord, che sono precisamente le due coordinate. La grafica e i videogiochi lo usano per tutto ciò che ruota — uno sprite che gira, una telecamera che orbita, un punto su una ruota — perché la posizione di un punto in rotazione è il coseno e il seno, e scriverlo una volta con questa funzione invece che con aritmetica caso per caso è ciò che rende corto il codice di rotazione. C'è poi l'uso puramente didattico, che è quello per cui la pagina è davvero costruita: gli angoli notevoli vale la pena di saperli a memoria, e poter digitare novanta e vedere la tangente che rifiuta è un modo molto migliore di ricordare che lì non ha valore di quanto non sia sentirselo dire. La tabella di riferimento qui sotto è lo stesso insieme di angoli, scritto come frazioni esatte invece che come decimali, perché è in quella forma che vengono effettivamente usati.

1. Un angolo di 30 gradi

   1. Ruota di 30 gradi in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x
   2. Il punto su cui atterri è (√3/2, 1/2)
   3. Il coseno è la coordinata x: 0,8660
   4. Il seno è la coordinata y: 0,5
   5. La tangente è il rapporto: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   L'angolo con cui la pagina si apre, e la prima riga della tabella con cui di solito si insegnano gli angoli notevoli. I suoi valori esatti sono radice di tre fratto due, un mezzo e radice di tre fratto tre: qui sono mostrati come decimali, nella tabella di riferimento qui sotto come frazioni esatte.

2. Un angolo di 45 gradi

   1. Ruota di 45 gradi in senso antiorario, il che porta il punto sulla diagonale
   2. Seno e coseno sono uguali perché il punto è a 45 gradi da entrambi gli assi: √2/2 = 0,7071
   3. La tangente è il loro rapporto, e un numero diviso per se stesso fa 1

   L'unico angolo fra zero e novanta in cui seno e coseno sono uguali, cosa che accade perché il punto sta sulla retta y = x. La tangente esattamente uguale a 1 è l'algebra che lo conferma, ed è il motivo per cui una pendenza di 45 gradi si chiama pendenza uno a uno.

3. Un angolo di 180 gradi

   1. Ruota di mezzo giro, il che porta il punto sul semiasse negativo delle x
   2. Il coseno è la coordinata x: -1
   3. Il seno è la coordinata y: 0
   4. La tangente è zero diviso meno uno, cioè 0

   Mezzo giro, e il segno che coglie di sorpresa: il coseno è meno uno invece di uno, perché il punto è passato dalla parte opposta della circonferenza. Il seno qui torna esattamente zero anche se l'aritmetica interna della pagina produce per strada un numero piccolissimo: la lettura viene arrotondata alla fine, che è il modo onesto di gestirla.

4. Un angolo di 390 gradi

   1. Un giro completo ti riporta al punto di partenza, quindi 390 gradi equivalgono a 30
   2. Il punto è (√3/2, 1/2), esattamente come per 30 gradi

   Le stesse tre letture dell'esempio a 30 gradi, perché fare un giro in più atterra sullo stesso punto. È questo che rende la pagina utilizzabile con angoli che non stanno fra zero e un giro: la riduzione è gestita per te invece di essere qualcosa da fare a mano prima.

Questa pagina prende un angolo e ne restituisce seno, coseno e tangente. La tangente non ha valore a novanta gradi né a duecentosettanta, né a qualunque angolo che differisca da quelli per un numero intero di giri, perché il punto è arrivato dove la sua coordinata x è zero e il rapporto non ha nulla per cui dividere. Quando succede, la pagina rifiuta e lo spiega invece di stampare un numero enorme, e in quel punto seno e coseno sono perfettamente definiti — uno e zero — ma la pagina restituisce i tre insieme, quindi li trattiene tutti e tre invece di due; la tabella di riferimento qui sotto riporta i valori esatti di quella riga. Angoli molto vicini a quei valori vengono accettati e danno tangenti molto grandi, il che è matematicamente corretto — una pendenza quasi verticale è davvero ripida — quindi un valore vicino non è la stessa cosa di un valore esatto e la pagina non lo tratta come tale. Le tre letture sono numeri puri senza unità, qualunque cosa dica il menu: il menu sceglie come si inserisce l'angolo, non cosa esce. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione, e la maggior parte degli angoli non ha affatto valori decimali esatti: la tabella di riferimento dà quelli comuni come frazioni esatte proprio per questo. Qui non si gestiscono i problemi inversi: la pagina trasforma un angolo in coordinate ma non trasforma le coordinate in un angolo, e non dà né la lunghezza dell'arco, né l'area del settore, né di quanto è girato l'angolo lungo la circonferenza.

Perché la tangente non ha risposta a 90 gradi?

Perché la tangente è il seno diviso per il coseno e a novanta gradi il coseno è zero. Il punto è arrivato in cima alla circonferenza, la sua coordinata x è zero e non c'è nulla per cui dividere. La descrizione onesta è che lì la tangente non ha valore, non che è enorme. Seno e coseno in quell'angolo sono perfettamente definiti — il punto è in cima alla circonferenza, quindi il seno è uno e il coseno è zero — ma questa pagina riporta i tre insieme, quindi non ne dà nessuno invece di darne due: rifiuta l'angolo e ne spiega il motivo. La tabella di riferimento qui sotto riporta comunque i valori esatti di quella riga.

Posso inserire un angolo più grande di 360 gradi?

Sì, e anche angoli negativi. Conta solo dove l'angolo atterra sulla circonferenza, quindi 390 gradi danno esattamente le stesse tre letture di 30 e meno 30 dà le stesse di 330. La pagina riduce l'angolo per te invece di obbligarti a farlo prima a mano, cosa che conta perché gli azimut e le rotazioni superano regolarmente il giro completo.

Perché i valori sono decimali quando a scuola la tabella mostra frazioni?

Perché il pannello dei risultati è una calcolatrice e la tabella è un prospetto. I valori esatti degli angoli notevoli sono radice di due fratto due, radice di tre fratto due e i loro parenti, e quelli non si scrivono come decimali esatti: 0,7071 è la versione arrotondata di uno di essi. La tabella di riferimento qui sotto dà gli stessi angoli come frazioni esatte, che è la forma in cui vale la pena impararli a memoria.

A cosa serve davvero la tangente?

È una pendenza. La tangente dell'angolo è il dislivello fratto lo spostamento orizzontale della retta che va dall'origine al punto: è per questo che salta fuori nelle pendenze, nelle inclinazioni dei tetti e in tutto ciò che si misura come rapporto fra verticale e orizzontale. Il seno e il coseno sono coordinate, la tangente è il rapporto fra loro, e quella differenza è il motivo per cui solo la tangente ha buchi nel suo dominio.

L'unità di misura conta?

Il menu sceglie come si inserisce l'angolo — gradi, radianti o gradi centesimali — e nient'altro. Le tre letture sono numeri puri, senza alcuna unità, perché una coordinata su una circonferenza di raggio uno non ha unità e un rapporto fra due di esse nemmeno. La pagina converte internamente il tuo angolo in gradi, quindi 0,5236 radianti e 30 gradi danno risposte identiche.

È la stessa cosa di una calcolatrice del triangolo rettangolo?

È il suo caso particolare. In qualunque triangolo rettangolo il seno è il cateto opposto fratto l'ipotenusa e il coseno è il cateto adiacente fratto l'ipotenusa; sulla circonferenza goniometrica l'ipotenusa vale uno, quindi i rapporti sono semplicemente i due cateti. Ogni triangolo rettangolo è una copia in scala di un disegno sulla circonferenza goniometrica, ed è per questo che i numeri di questa pagina valgono per triangoli di qualunque dimensione.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)