Calcolatrice degli angoli coterminali

θ′ = θ + 360°n angolo coterminale = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

L'angolo che scrivi, in gradi. Può essere positivo o negativo e non ha limite superiore né inferiore: 400, 750, 1000 e −400 sono tutti valori legali e quattro di loro compaiono nella tabella qui sotto

n

Il numero di giri interi che stai aggiungendo o togliendo, e la variabile che rende infinita la famiglia: per ogni valore intero di n ottieni un altro angolo coterminale. La colonna dei giri interi sottratti nella tabella è il valore di n che la pagina ha effettivamente usato, con il segno, quindi è negativo per gli angoli negativi invece di essere un conteggio in valore assoluto

360°

Un giro completo, la lunghezza dopo la quale il lato terminale torna esattamente dov'era. È anche la distanza costante tra i due angoli coterminali che la pagina restituisce: il rappresentante negativo è sempre quello positivo meno 360, su ogni riga della tabella e su ogni risposta

⌊θ ÷ 360°⌋

La divisione dell'angolo per un giro, arrotondata verso il basso. La parentesi quadra aperta in basso significa che il risultato va abbassato al numero intero più vicino nella direzione di meno infinito, quindi per un angolo negativo dà un numero negativo. È l'unico punto della formula in cui si può sbagliare in modo silenzioso: arrotondare verso lo zero invece che verso il basso lascia gli angoli negativi fuori dall'intervallo e produce una risposta sbagliata che sembra plausibile

Angolo coterminale

Il rappresentante positivo, quello che cade dentro il primo giro, in [0°, 360°). È il risultato principale, ed è il numero che serve quando si consulta una tabella trigonometrica o si lavora sul cerchio unitario. Vale 0 quando l'angolo di partenza è un numero esatto di giri, e non 360

Angolo coterminale negativo

Il rappresentante negativo, in [−360°, 0°). È sempre il positivo meno un giro, quindi è sempre negativo, e per un angolo di partenza già negativo può coincidere con l'input: meno 30 gradi ha rappresentante negativo meno 30 e rappresentante positivo 330

Due cifre decimali

La larghezza con cui è scritto ogni risultato. Su questa pagina serve a poco, perché gli angoli coterminali di un angolo intero sono numeri interi, ma il campo accetta anche valori con la virgola e in quel caso entrambi i rappresentanti portano le due cifre

Il lavoro più frequente è preparare un angolo per una tabella o per una calcolatrice tascabile. Scrivi 750 gradi in una funzione trigonometrica che accetta solo angoli del primo giro e non ottieni niente di sensato; riducilo a 30 e la tabella si apre. La stessa riduzione è il primo passo quando si legge un angolo su un cerchio unitario, quando si converte una rotazione in una posizione, e quando si confrontano due angoli che sembrano lontanissimi e si scopre che cadono nello stesso posto. Il secondo lavoro è la lettura di un angolo che non è mai stato ridotto. Una rotazione di 1000 gradi su una macchina, un angolo di avvolgimento su una bobina, un accumulo di gradi in un gioco o in una simulazione: tutti numeri che sfondano il giro e che vanno riportati dentro per avere un significato geometrico. La colonna dei giri interi serve proprio a questo quando si legge la tabella al contrario, cioè quando si vuole sapere quante rotazioni complete stanno dentro un angolo invece di quanto misura il suo rappresentante. Il terzo lavoro è la verifica dei segni. Gli angoli negativi sono quelli in cui si sbaglia, perché la riduzione richiede un arrotondamento verso il basso che non è quello che si tende a fare a mente: meno 30 gradi sembra già dentro il primo giro a chi conta in valore assoluto, e invece la sua controparte positiva è 330. La pagina esiste soprattutto per questo caso, e la tabella contiene due righe negative di proposito. Convivono poi con le definizioni che si vedono a scuola: 30 gradi e 750 gradi condividono il lato terminale, quindi hanno lo stesso seno e lo stesso coseno, e la riduzione è ciò che rende vera quella frase invece di lasciarla come un'osservazione da disegno. Un'ultima abitudine utile: se le due risposte non differiscono esattamente di 360, qualcosa è andato storto prima di arrivare alla pagina, perché la distanza è costante per costruzione su ogni riga.

1. Quaranta gradi oltre un giro

   1. Un giro completo è 360°, quindi 400° lo supera di 40°: 400 − 360 = 40
   2. Il rappresentante positivo è 40°, che cade già dentro l'intervallo [0°, 360°)
   3. Il rappresentante negativo è un giro più in basso: 40 − 360 = −320°

   Il valore con cui la pagina si apre, scelto perché è il caso più facile da controllare a mente: un giro più quaranta. Vale la pena notare che nessuna delle due risposte è l'angolo di partenza. La pagina non ti restituisce mai il numero che hai scritto, ti restituisce la coppia che condivide il suo lato terminale, ed è il motivo per cui la prima risposta è il numero piccolo e non quello grande. Se ti serve l'angolo originale, ce l'hai già.

2. Due giri interi e un po'

   1. Due giri completi fanno 720°, quindi 750° li supera di 30°: 750 − 720 = 30
   2. Il rappresentante positivo è 30°, che è lo stesso lato terminale di un angolo di 30°
   3. Il rappresentante negativo è 30 − 360 = −330°

   L'angolo che giustifica l'esistenza della riga dei giri interi nella tabella, perché qui i giri tolti sono due e non uno: 750 e 30 finiscono nello stesso posto, e senza la colonna che mostra il 2 il conto resta invisibile. È anche il numero che si trova in un problema trigonometrico classico, dove la domanda è perché seno di 750 gradi valga quanto seno di 30. La risposta breve è che la funzione è periodica, quella lunga è che questa riduzione è il passaggio che rende vera la periodicità.

3. Un angolo negativo

   1. Il resto si prende verso il basso, quindi −30 ÷ 360 si arrotonda a −1 e non a 0
   2. Da lì: −30 − 360 × (−1) = −30 + 360 = 330
   3. Il rappresentante positivo è 330°
   4. Il rappresentante negativo è 330 − 360 = −30°, cioè l'angolo di partenza

   Il caso in cui si sbaglia, ed è il motivo per cui la pagina mostra anche il numero di giri sottratti. Chi arrotonda −30 ÷ 360 verso lo zero ottiene 0, conclude che non c'è nulla da togliere e lascia −30 fuori dall'intervallo, che è visibilmente sbagliato: un rappresentante positivo non può essere negativo. Nota anche la risposta negativa: coincide con l'angolo che hai scritto, perché −30° vive già dentro l'intervallo negativo [−360°, 0°). Un angolo di partenza negativo è già il proprio rappresentante negativo.

4. Mille gradi

   1. Due giri completi fanno 720°, quindi 1000° li supera di 280°: 1000 − 720 = 280
   2. Il rappresentante positivo è 280°, nel quarto quadrante
   3. Il rappresentante negativo è 280 − 360 = −80°

   Un angolo che sembra molto lontano e finisce invece vicino alla fine del giro, nel quarto quadrante. È lo stesso lato terminale di un milione di gradi, e la differenza tra i due sta interamente nella colonna dei giri interi, che qui vale due e lì varrebbe qualche migliaio. Vale la pena guardare la risposta negativa: meno 80 è un angolo piccolo e ordinato che sta comodamente dentro il quarto quadrante anche lui, e le due risposte sono più vicine di quanto l'input facesse pensare.

5. Un numero esatto di giri

   1. Zero sta già dentro il primo giro, quindi non c'è nulla da togliere: resta 0°
   2. Il rappresentante positivo è 0°, che coincide con l'angolo di partenza
   3. Il rappresentante negativo è 0 − 360 = −360°

   Il caso di confine, e l'unico della serie in cui le due risposte non stanno dove ci si aspetta. L'intervallo positivo è semiaperto a destra, quindi 360 appartiene alla famiglia dello zero e non a una famiglia propria: un angolo di 360 gradi ha rappresentante positivo 0, e un angolo di 0 gradi ha rappresentante positivo 0. Quello negativo invece è −360 e non 0, perché l'intervallo negativo è aperto nello zero e non lo contiene mai. È il tipo di dettaglio che fa sembrare rotta una calcolatrice che sta semplicemente applicando la convenzione.

Gli angoli sono in gradi e solo in gradi. Non c'è una casella per i radianti né per i gradi centesimali, e la pagina non converte: 3,14 radianti vanno scritti come 180 gradi prima di entrare, e un angolo in gradi centesimali va convertito a mano. La riduzione funziona su qualunque numero, decimali compresi, ma il risultato porta due cifre decimali, quindi un angolo che non è un multiplo esatto di un centesimo di grado viene arrotondato in risposta. Su questa pagina l'arrotondamento conta poco, perché gli angoli coterminali di un angolo intero restano interi, ma un input come 45,6789 gradi torna arrotondato. La pagina dà i due rappresentanti e non l'angolo di riferimento, che è una grandezza diversa e ha una pagina sua: l'angolo di riferimento è la distanza dall'asse orizzontale e non supera mai i 90 gradi, mentre il rappresentante positivo qui può arrivare fino a 359,99. Chi cerca la distanza dall'asse ha sbagliato pagina, e le due risposte non coincidono tranne che nel primo quadrante. La pagina non calcola seno, coseno o tangente dell'angolo ridotto, e non dice in quale quadrante cade il lato terminale: dà i due angoli e si ferma lì. Non risale nemmeno nella direzione opposta, cioè non prende un lato terminale e non elenca tutti gli angoli che lo condividono: la famiglia è infinita in entrambe le direzioni e la pagina ne mostra due, il più piccolo positivo e il più piccolo negativo, che è la scelta utile ma non l'unica possibile. Gli angoli enormi restano esatti finché stanno dentro i limiti numerici del campo, ma il campo ha un massimo e un minimo, quindi una rotazione di molti milioni di gradi va ridotta a mano prima di essere inserita. Infine i due intervalli sono semiaperti e il confine cade in un punto solo: l'intervallo positivo include 0 e non include 360, quello negativo include −360 e non include 0. Chi si aspetta che un angolo di 360 gradi restituisca 360 troverà 0, e la pagina non ha modo di accorgersi che quella era l'aspettativa.

Cosa vuol dire che due angoli sono coterminali?

Che condividono lo stesso lato terminale, cioè finiscono nella stessa posizione dopo la rotazione. Un angolo di 30 gradi e uno di 390 gradi sono coterminali, perché il secondo ha fatto un giro completo in più e si è fermato esattamente dove si era fermato il primo. Detto in modo più utile: sono lo stesso angolo geometrico con un numero diverso di rotazioni complete registrate. La famiglia è infinita in entrambe le direzioni, e si ottiene aggiungendo o togliendo giri interi a piacere.

Perché un angolo di 400 gradi non è semplicemente 400?

Perché un angolo è una rotazione e non una posizione, e una rotazione può superare il giro senza cambiare dove finisce. Quattrocento gradi sono un giro completo più quaranta, quindi il lato terminale è quello di 40 gradi. La pagina risponde 40 e −320 e non 400: ti dà la coppia che sta sullo stesso lato, cioè i due rappresentanti più piccoli, uno positivo e uno negativo. L'angolo di partenza resta comunque dentro la casella che hai riempito.

Come si trova l'angolo coterminale di un angolo negativo?

Togli un giro intero arrotondando la divisione verso il basso, che per un angolo negativo significa verso meno infinito e non verso lo zero. Meno 30 gradi diviso 360 dà circa meno 0,083, che arrotondato verso il basso fa meno 1; da lì meno 30 meno 360 per meno 1 fa 330. Arrotondando invece verso lo zero si otterrebbe zero, nessun giro verrebbe tolto e la risposta resterebbe negativa, il che è visibilmente sbagliato perché un rappresentante positivo non può esserlo.

Perché il rappresentante negativo è sempre 360 gradi sotto quello positivo?

Perché i due intervalli sono adiacenti e si toccano sulle due estremità: il positivo vive in [0°, 360°) e il negativo in [−360°, 0°). Il rappresentante negativo è quello positivo meno un giro, quindi la distanza è costante su ogni riga della tabella e su ogni risposta. È anche un controllo rapido: se le due risposte non differiscono esattamente di 360, il problema è a monte. E per un angolo di partenza già negativo il rappresentante negativo può coincidere con l'input, come nel caso di meno 30 gradi, che ha 330 come positivo e resta meno 30 come negativo.

A cosa serve ridurre un angolo dentro un solo giro?

Serve quasi sempre prima di consultare una tabella di seno e coseno o di lavorare sul cerchio unitario, perché entrambi sono costruiti su un giro solo e non hanno nulla da dire su 750 gradi. Le funzioni trigonometriche sono periodiche, quindi seno di 750 gradi vale quanto seno di 30, e la riduzione è il passaggio che trasforma quella frase in un conto che si può fare. Vale anche per le posizioni: un angolo di avvolgimento di 1000 gradi e uno di 280 finiscono nello stesso punto, e per disegnarli serve il secondo.

Un angolo di 360 gradi dà 0 o 360?

Dà 0 come rappresentante positivo e meno 360 come rappresentante negativo, e il motivo è che il giro si conta a partire da zero e non fino a zero. L'intervallo positivo è semiaperto a destra: contiene 0 e non contiene 360, quindi 360 appartiene alla famiglia dello zero. Un angolo di 0 gradi ha la stessa coppia di risposte di un angolo di 360, perché sono coterminali anche loro. È un dettaglio di confine che vale la pena conoscere, perché una calcolatrice che restituisce 0 a chi ha scritto 360 sembra rotta e invece sta applicando la convenzione corretta.

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)