Calcolatrice dell'angolo al centro
Risultato
Angolo al centro
- Angolo al centro in radianti
- 1,0000 rad
Questa calcolatrice dell'angolo al centro prende la lunghezza di un arco e il raggio della circonferenza su cui quell'arco è disegnato, e restituisce l'angolo che l'arco sottende al centro. È la stessa relazione della pagina della lunghezza dell'arco letta al contrario: là si parte dall'angolo per arrivare all'arco, qui si parte dall'arco per arrivare all'angolo, e le due pagine condividono una sola formula. La divisione è tutto quello che c'è da fare: si divide la lunghezza dell'arco per il raggio e il quoziente è l'angolo, espresso nell'unità naturale di questa divisione, cioè in radianti. Se non hai mai incontrato i radianti, il modo più rapido per farsene un'idea è questa pagina stessa. Un arco lungo quanto il raggio, cioè un arco con la stessa lunghezza della linea che va dal centro al bordo, sottende esattamente un radiante. Non c'è niente da memorizzare: è la definizione, ed è letteralmente la divisione che questa pagina esegue. Un giro completo misura due pigreco radianti, qualunque sia la dimensione del cerchio, ed è per questo che i radianti sono l'unità in cui si scrivono quasi tutte le formule in cui un angolo compare dentro un'altra espressione: fanno sparire un fattore di conversione che altrimenti andrebbe portato dietro. I gradi restano però l'unità in cui gli angoli si dicono ad alta voce — nessuno dice che il tetto sale di zero virgola cinque radianti — quindi questa pagina stampa entrambe le letture e ti lascia usare quella che ti serve. La conversione è una sola moltiplicazione, centottanta diviso pigreco, che vale circa cinquantasette virgola tre gradi per radiante. C'è un dettaglio pratico che vale la pena sapere prima di leggere i risultati. Un angolo al centro non è limitato a un giro: un arco lungo il doppio del raggio dà due radianti, cioè circa centoquattordici gradi e mezzo, e un arco lungo cinque volte il raggio dà cinque radianti, che è più di un giro intero. La formula non si ferma a trecentosessanta gradi e non dovrebbe: un filo avvolto più volte intorno a un rocchetto percorre molti giri, e l'angolo che descrive è quello che è. Quello che invece vale la pena guardare con attenzione è il caso opposto, un risultato appena sopra o appena sotto i trecentosessanta gradi. Nella tabella in fondo alla pagina ci sono due righe costruite apposta per mostrarlo, e il motivo è che quella differenza non è un errore di calcolo ma l'effetto di un dato di partenza già arrotondato.
L'angolo al centro che un arco sottende, dalle due misure che lo determinano
| Raggio (cm) | Lunghezza dell'arco (cm) | Angolo al centro (gradi) | Angolo al centro (radianti) |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 57.2958 | 1 |
| 10 | 5 | 28.6479 | 0.5 |
| 5 | 10 | 114.5916 | 2 |
| 4 | 1 | 14.3239 | 0.25 |
| 3 | 3 | 57.2958 | 1 |
| 6 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 31.4159 | 359.9997 | 6.2832 |
| 2 | 12.5664 | 360.0008 | 6.2832 |
Otto archi e quattro colonne: due misure in ingresso, lo stesso angolo in uscita due volte. La prima riga è la coppia con cui la pagina si carica ed è la definizione di radiante in una riga sola: un arco lungo quanto il raggio dà esattamente 1, che sono 57,2958 gradi. La seconda e la terza portano quella stessa divisione un gradino sotto e uno sopra — un arco di metà raggio dà mezzo radiante e un arco di due raggi ne dà due — e lette insieme mostrano che la colonna dei radianti si comporta come la divisione semplice che è. La quarta riga è un quarto di radiante: un arco di 1 steso su un raggio di 4 dà 0,25, cioè 14,3239 gradi, quindi la colonna dei gradi continua a essere la cifra in radianti moltiplicata per 57,2958. La quinta riga è la stessa divisione su un cerchio diverso, un raggio di 3 con un arco di 3, e dà di nuovo 1 radiante e 57,2958 gradi: l'angolo non dipende dalla dimensione del cerchio, solo dal rapporto fra arco e raggio. La sesta ha un arco di zero, che è un arco ridotto a un punto: l'angolo è zero, ed è una risposta vera e non una casella vuota. Le ultime due righe sono la stessa cosa in due direzioni opposte e sono il motivo per cui la tabella esiste: un raggio di 5 alimentato con la propria circonferenza stampata dà 359,9997 gradi e un raggio di 2 alimentato con la propria dà 360,0008, perché un arrotondamento è andato per difetto e l'altro per eccesso. Una lettura appena sopra i 360 è quindi corretta, e le due righe sono qui per dirlo. Ogni valore è ricalcolato dalla sua coppia di ingressi quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.
Formula
θ(radianti) = L ÷ r, θ(gradi) = θ(radianti) × 180 ÷ π
- Lunghezza dell'arco
- La porzione di circonferenza percorsa, in centimetri: la misura da cui si parte, e la stessa che la pagina della lunghezza dell'arco calcola a partire dall'angolo
- Raggio
- La distanza dal centro al bordo, in centimetri. È il numero per cui si divide, quindi un raggio più grande dà, a parità di arco, un angolo più piccolo: lo stesso arco steso su un cerchio più largo copre una fetta più stretta
- θ (theta)
- L'angolo al centro, cioè l'angolo che ha il vertice nel centro del cerchio e i cui lati passano per le due estremità dell'arco: è l'angolo sotteso dall'arco, quello che si vedrebbe stando al centro. È l'unica incognita della pagina, e compare due volte perché viene stampato in due unità diverse
- 180 ÷ π
- Il fattore che porta i radianti in gradi, e vale circa 57,2958. È l'angolo in gradi di un solo radiante, quindi moltiplicare per esso è la conversione intera: non serve nessun altro passaggio
- Gradi
- La lettura in gradi, quella che si dice ad alta voce e si usa in cantiere. Un giro completo sono 360 gradi, un angolo retto 90, e il valore può superare i 360 senza che nulla sia rotto
- L = rθ
- La stessa relazione scritta dalla parte opposta, ed è tutto quello che serve ricordare: la lunghezza dell'arco è il raggio moltiplicato per l'angolo in radianti. Vale solo se l'angolo è in radianti, ed è esattamente per questo che i radianti esistono
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga ciascuna delle due letture. La divisione è esatta quando l'arco è un multiplo esatto del raggio; in tutti gli altri casi entrambe le colonne sono approssimate, e la lettura in gradi lo è un po' di più perché porta con sé anche l'approssimazione del fattore di conversione
Ogni volta che si conosce la lunghezza di un arco e il raggio, e quello che interessa è l'angolo. È la forma in cui il problema si presenta più spesso nella pratica, molto più spesso della forma diretta, perché la lunghezza lungo una curva è una cosa che si misura con un flessometro o si legge da un disegno, mentre un angolo al centro di solito è quello che si sta cercando di ricavare. In officina, un arco segnato sul bordo di una flangia e il raggio della flangia danno l'angolo delle due cave, che è il numero da impostare sulla macchina. Sul tetto, la lunghezza di un colmo curvo e il raggio della curva danno l'angolo che la curva copre, e quindi quanti coppi servono. Su una strada, la lunghezza di un tratto di curva e il suo raggio danno l'angolo di sterzo complessivo, ed è così che si descrive una curva nei progetti stradali invece di dire quanto è larga la strada. È anche la pagina da aprire quando si ha in mano un dato in radianti e non si sa se è tanto o poco: la conversione in gradi è la seconda metà di ogni riga, quindi un valore che sembra un'astrazione diventa subito un numero di gradi riconoscibile. E vale la pena usarla anche al contrario, per controllare un lavoro fatto a mano: prendi un arco che hai tracciato, dividilo per il raggio e guarda se l'angolo che ne esce è quello che intendevi. Se non lo è, la differenza è un errore di tracciatura e non un errore di calcolo.
Esempi svolti
Un raggio di 5 e un arco lungo quanto il raggio
- Dividi la lunghezza dell'arco per il raggio: 5 ÷ 5 = 1 radiante
- Moltiplica per 180 e dividi per π per passare ai gradi: 1 × 180 ÷ π = 57,2958
La coppia con cui la pagina si carica, ed è il radiante definito in una riga: un arco lungo quanto il raggio sottende un angolo di un radiante esatto, che in gradi è 57,2958. Vale la pena notare quanto poco vistoso sia il risultato: un angolo di quasi cinquantasette gradi e mezzo, cioè poco più di un angolo retto. Se ti aspettavi che un radiante fosse piccolo, quello è il momento in cui l'aspettativa cade.
Un raggio di 10 con lo stesso arco di 5
- Dividi la lunghezza dell'arco per il raggio: 5 ÷ 10 = 0,5 radianti
- Passa ai gradi: 0,5 × 180 ÷ π = 28,6479
Lo stesso arco della riga precedente, su un cerchio dal raggio doppio, e l'angolo è dimezzato. È il verso dell'effetto che vale la pena fissare: un cerchio più grande è anche un cerchio più piatto nel punto in cui lo guardi, quindi la stessa lunghezza di bordo copre una fetta più stretta. La colonna dei radianti lo mostra nel modo più pulito possibile, perché il dimezzamento è esatto e non c'è nessun arrotondamento di mezzo.
Un raggio di 4 con un arco di 12,5664, cioè mezzo giro arrotondato
- La circonferenza intera di un cerchio di raggio 4 vale 2 × π × 4 = 25,1327, e l'arco usato qui è la sua metà
- Dividi la lunghezza dell'arco per il raggio: 12,5664 ÷ 4 = 3,1416 radianti
- Passa ai gradi: 3,1416 × 180 ÷ π = 180,0004
Un mezzo giro, e la lettura in gradi non è 180 ma 180,0004. La differenza non è un errore: l'arco di partenza è la circonferenza vera divisa a metà e poi arrotondata a quattro decimali, quindi è un pelo più lungo del mezzo giro esatto, e un arco più lungo sottende un angolo più grande. È lo stesso fenomeno che si incontra in tutte le pagine di questa famiglia: la risposta è corretta rispetto al dato che le hai dato, e il dato era già una misura approssimata.
Un raggio di 2 con l'arco che corrisponde al giro completo stampato
- La circonferenza intera vale 2 × π × 2 = 12,5664, e questo è il valore usato come arco
- Dividi per il raggio: 12,5664 ÷ 2 = 6,2832 radianti
- Passa ai gradi: 6,2832 × 180 ÷ π = 360,0008
L'altra faccia della riga precedente: qui l'arrotondamento è andato per eccesso, quindi il giro completo stampato è un filo più lungo di un giro vero e l'angolo esce appena sopra i trecentosessanta gradi. Un risultato di 360,0008 è corretto e non deve far pensare a un errore: la formula non riporta l'angolo dentro un giro, e con un arco più lungo della circonferenza vera un angolo maggiore di un giro è esattamente quello che deve uscire. Confrontando le due righe si vede che la stessa circonferenza arrotondata in due modi diversi produce uno scarto in una direzione o nell'altra.
Un raggio di 6 con un arco di lunghezza zero
- Dividi la lunghezza dell'arco per il raggio: 0 ÷ 6 = 0 radianti
- Passa ai gradi: 0 × 180 ÷ π = 0
Un arco di lunghezza zero è un arco ridotto a un punto, e l'angolo che sottende è zero: una risposta vera e non una risposta mancante. La distinzione conta ed è la stessa in tutte le pagine di questa famiglia: uno zero scritto in una casella è una misura, una casella lasciata vuota è una misura che non è stata ancora presa, e le due cose non producono lo stesso schermo. Nessuna delle due divisioni di questa pagina può avere zero al denominatore, perché il divisore è sempre il raggio.
Limiti
Questa pagina calcola un angolo e nient'altro. Non dà l'area del settore, la lunghezza della corda, la distanza dall'arco al centro, né il raggio o l'arco a partire dall'angolo: per quelle due ultime c'è la pagina della lunghezza dell'arco, che è questa stessa relazione scritta nell'altro senso. Il raggio e l'arco devono essere nella stessa unità e la lettura in centimetri vale solo se lo sono, ma l'angolo non ha unità: è l'unica cosa che questa pagina restituisce, quindi cambiare unità agli ingressi non cambia l'angolo, solo se il rapporto fra i due numeri cambia. Le due cifre decimali in più della colonna in gradi portano con sé l'arrotondamento del fattore di conversione, quindi un valore in gradi è un'approssimazione anche quando la divisione in radianti era esatta. Il valore può superare i trecentosessanta gradi e non viene riportato dentro un giro: un arco lungo più di una circonferenza intera resta un angolo maggiore di un giro, e se ti serve l'angolo equivalente fra zero e trecentosessanta devi sottrarre i giri tu. Un arco che non sia un arco di cerchio — un'ellisse, una curva di raccordo stradale, una spirale — non è descritto da questa formula, che presuppone un raggio costante. E il risultato è un angolo geometrico fra due raggi, non un angolo misurato sulla superficie di una sfera, che è una quantità diversa e non va calcolata così.
Domande frequenti
- Che cos'è esattamente l'angolo al centro?
- L'angolo sotteso dall'arco: ha il vertice nel centro della circonferenza e i suoi due lati passano per le estremità dell'arco, quindi è quello che si vedrebbe stando al centro a guardare l'arco. È l'unica cosa che questa calcolatrice restituisce, e la restituisce due volte, in gradi e in radianti.
- Perché due letture invece di una?
- Perché servono a due cose diverse. I radianti sono l'unità in cui la relazione fra arco, raggio e angolo è una semplice moltiplicazione, ed è per questo che la prima divisione della pagina li produce direttamente. I gradi sono l'unità in cui gli angoli si dicono e si misurano in pratica. Stampare solo i radianti lascerebbe un valore che quasi nessuno riconosce; stampare solo i gradi nasconderebbe da dove viene il numero.
- Un risultato sopra i 360 gradi è un errore?
- No. La formula non riporta l'angolo dentro un giro, e non dovrebbe farlo: un arco lungo più di una circonferenza intera sottende davvero un angolo maggiore di un giro. Se ti serve l'angolo equivalente fra zero e trecentosessanta gradi, sottrai i giri multipli di 360. Lo stesso vale per la colonna in radianti, dove un giro intero misura circa 6,2832.
- Perché la tabella ha una riga che dà 359,9997 gradi e non 360?
- Perché quel dato di partenza è un arco arrotondato. La circonferenza vera di un cerchio di raggio 5 è 31,41592654 e rotti: la tabella usa 31,4159, che è leggermente più corta, e un arco più corto del giro intero sottende un angolo più piccolo del giro intero. La risposta è quindi corretta, ed è la stessa cosa che succede quando misuri un arco con un flessometro e leggi quattro decimali: la differenza che trovi intorno ai 360 gradi è l'arrotondamento della misura, non un errore di calcolo.
- Cambia qualcosa se l'arco e il raggio sono in pollici?
- Per l'angolo no. La divisione mette a confronto due lunghezze, quindi quello che conta è il loro rapporto, e un rapporto non ha unità: cinque pollici su dieci pollici danno mezzo radiante esattamente come cinque centimetri su dieci centimetri. Le due misure devono però essere nella stessa unità, altrimenti il rapporto non vuol dire niente e l'angolo che ne esce è privo di senso.
- Posso ricavare il raggio o l'arco da un angolo?
- Non da questa pagina: qui l'angolo è il risultato, non l'ingresso, e una sola equazione con due incognite non si risolve. Quello che ti serve è la pagina della lunghezza dell'arco, che fa la stessa relazione nella direzione opposta: le dai l'angolo e il raggio e ti restituisce l'arco. Vale la pena usare le due pagine insieme, perché sono davvero la stessa formula scritta nei due sensi.
Riferimenti
- Central Angle — the angle at the centre of a circle subtended by an arc, and the relation between it, the arc and the radius — Wolfram MathWorld (United States)
- Radian — the unit the radians reading is in, defined as the angle subtended by an arc equal in length to the radius, which is the division this page performs — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the circumference that bounds an arc, and the 2π radians a full turn comes to — Wolfram MathWorld (United States)