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CalcMax

Calcolatrice area segmento circolare

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 ° – 360 °

Risultato

7,1350 cm²

Area

Corda
7,0711 cm
Lunghezza dell'arco
7,8540 cm
Altezza del segmento
1,4645 cm

La calcolatrice del segmento circolare prende il raggio di un cerchio e un angolo al centro, e restituisce l'area della regione tra la corda che quei due ritagliano e l'arco sopra di essa, insieme alla corda, all'arco e all'altezza di quella regione. Un segmento circolare è quello che ottieni prendendo un settore — la fetta delimitata da due raggi e da un arco — e tagliandone via il triangolo formato dai due raggi e dalla corda. Quello che resta è la parte a forma di lunula tra la linea retta e la curva, ed è la forma di uno spicchio di mela, di una finestra ad arco, della sezione di un tubo parzialmente pieno o della regione che una corda ritaglia da un campo circolare. L'aritmetica è una sottrazione, una volta che hai i due pezzi: l'area del settore è la frazione del cerchio, e l'area del triangolo è metà del raggio al quadrato per il seno dell'angolo. Sottrai l'una dall'altra. Vale la pena capire quella sottrazione invece di limitarsi ad applicarla, perché è il punto in cui questa pagina smette di poterti dire quale risposta volevi. Una corda divide un cerchio in due regioni — una piccola e una grande — e lo stesso raggio e lo stesso angolo le descrivono entrambe, a seconda di quale lato della corda intendi. Sotto il mezzo cerchio non c'è ambiguità. Sopra, la formula passa in silenzio all'altra regione. Ecco perché qui non c'è nessuna fascia di giudizio e nessuna etichetta di segmento maggiore o minore: un risultato che non può essere attribuito con certezza a una delle due regioni non va etichettato. La pagina calcola, e la lettura resta a te.

Segmenti comuni, da una scheggia sottile fino al cerchio intero

Raggio (cm)Angolo al centro (°)Area (cm²)Corda (cm)Lunghezza dell'arco (cm)Altezza del segmento (cm)
5907.1357.07117.8541.4645
5602.264755.2360.6699
518039.26991015.7085
612022.110710.392312.56643
527071.40497.071123.56198.5355
10180157.07962031.415910
536078.5398031.415910
500000

Otto segmenti, e le prime due colonne sono gli ingressi. Leggi insieme le prime due righe per vedere quanto in fretta un segmento si rimpicciolisce: la riga dei 60 gradi ha due terzi dell'angolo della riga dei 90 e meno di un terzo della sua area, perché agli angoli piccoli il triangolo si sta mangiando quasi tutta la fetta. La terza riga è 180 gradi, dove il triangolo non ha area e il segmento è semplicemente il semicerchio: 39,2699, esattamente quello che la pagina del settore stampa per il suo semicerchio. La quinta riga è quella da leggere con attenzione: a 270 gradi il seno è negativo, la sottrazione diventa un'addizione e la pagina restituisce 71,4049 — la più grande delle due regioni che la corda ritaglia, non la più piccola. La sua corda è 7,0711, come nella riga dei 90 gradi, perché sen(135°) e sen(45°) sono uguali: due angoli, una corda, e il segmento è dieci volte più grande. L'ultima riga è un giro completo, dove la corda si è ridotta a 0 e il segmento è cresciuto fino a diventare l'intero cerchio, con un'altezza di 10: il diametro intero, che è il massimo di cui un arco possa sporgere. La riga prima è un angolo di zero, dove il segmento si è ridotto a nulla. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo raggio e dal suo angolo quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali del pannello dei risultati: nella tabella il separatore decimale è il punto, nel testo qui sopra è la virgola, e sono lo stesso numero scritto in due modi.

Formula

A = (θ ÷ 360) × πr² − ½r²sen θ c = 2r sen(θ ÷ 2) h = r(1 − cos(θ ÷ 2))

Raggio
La distanza dal centro all'arco, in centimetri. È metà della base del triangolo che viene tolto, e l'unico numero che dice quanto era grande il cerchio
Angolo al centro
L'angolo che la corda sottende al centro, in gradi. Fissa il segmento insieme al raggio: stabilisce sia quanto del cerchio prende il settore sia quanto è alto il triangolo che viene rimosso
Area
La superficie del segmento, in centimetri quadrati: l'area del settore meno quella del triangolo. Sotto i 180 gradi è la più piccola delle due regioni che una corda crea; sopra, la sottrazione diventa un'addizione e ottieni quella più grande
Corda
La linea retta che chiude il segmento, in centimetri, e la base del triangolo che è stato rimosso. Cresce fino a diventare un diametro a 180 gradi e poi torna a rimpicciolire, annullandosi a un giro completo
Lunghezza dell'arco
La distanza lungo il bordo curvo, in centimetri: la stessa dell'arco del settore, dato che tagliare via il triangolo non cambia la curva. È il confine esterno del segmento e continua semplicemente a crescere con l'angolo
Altezza del segmento
Quanto l'arco sporge sopra la corda nel suo punto centrale, in centimetri. È la profondità del segmento, ed è la grandezza che misureresti con un righello appoggiato sul lato piatto: va da 0 ad angolo nullo fino al diametro intero a un giro completo
½r² sen θ
L'area del triangolo formato dai due raggi e dalla corda. Raggiunge il massimo a 90 gradi e si annulla a 180, ed è per questo che un semicerchio non ha alcun triangolo da sottrarre
Quattro cifre decimali
Quanto è larga ogni lettura. Tutte e quattro portano un π o un seno e quindi non finiscono quasi mai, e l'area è la differenza di due numeri di quel tipo, il che significa che le sue ultime cifre sono le meno affidabili della pagina

Questa pagina serve per la regione che una linea retta ritaglia da un cerchio, che si rivela una forma più comune di quanto non lo sia la fetta da cui deriva. Una finestra ad arco o un portale con la sommità curva è un segmento appoggiato su un rettangolo; lo stesso vale per la sezione di una galleria con la volta ad arco e le pareti dritte. Tubi e serbatoi parzialmente pieni sono il caso classico: l'area bagnata di un cilindro orizzontale è un segmento, ed è per questo che il volume di liquido in un fusto è un problema da segmento e non da cerchio. Su una mappa, l'area tra un confine rettilineo e una strada o un fiume curvi è un segmento, e così è la striscia di campo circolare che resta fuori da una recinzione dritta. In produzione, un taglio di corda attraverso una barra tonda o uno sbozzato circolare lascia come sfrido un segmento, e la formula dell'altezza è quella da usare quando ciò che puoi misurare è quanto è profondo il taglio e non l'angolo: un righello appoggiato sul piatto e spinto fino al punto più profondo della curva dà direttamente l'altezza, e da lì l'angolo si ricava. Ed è anche la forma di un morso: un morso dato a un biscotto rotondo è un segmento, con la corda attraverso i segni dei denti e l'altezza pari alla profondità del morso.

Esempi svolti

  1. Un segmento di un quarto di cerchio

    1. Area del settore: (90 ÷ 360) × π × 5² = 19,6349…
    2. Area del triangolo: ½ × 5² × sen(90°) = 12,5
    3. Area del segmento: 19,6349 − 12,5 = 7,1349…, che arrotonda a 7,135
    4. Corda: 2 × 5 × sen(45°) = 7,0711
    5. Lunghezza dell'arco: (90 ÷ 360) × 2π × 5 = 7,854
    6. Altezza: 5 × (1 − cos(45°)) = 5 × 0,2928932 = 1,4645

    L'ingresso con cui la pagina si carica, e il caso più chiaro di che cosa faccia la sottrazione. Il settore vale 19,6349 e il triangolo gliene toglie 12,5, lasciando 7,135: un terzo di quanto copriva la fetta. L'altezza rende concreta la forma: l'arco si alza di appena 1,4645 centimetri sopra la corda, quindi questa è una striscia piuttosto piatta e non un pezzo pieno di cerchio.

  2. Un segmento sottile da 60 gradi

    1. Area del settore: (60 ÷ 360) × π × 5² = 13,0899…
    2. Area del triangolo: ½ × 5² × sen(60°) = 12,5 × 0,8660254 = 10,8253
    3. Area del segmento: 13,0899 − 10,8253 = 2,2646…, che arrotonda a 2,2647
    4. Corda: 2 × 5 × sen(30°) = 5
    5. Lunghezza dell'arco: (60 ÷ 360) × 2π × 5 = 5,236
    6. Altezza: 5 × (1 − cos(30°)) = 5 × 0,1339746 = 0,6699

    Lo stesso cerchio della riga sopra ma con un angolo più stretto, e il segmento è molto più piccolo di quanto il cambio di angolo lasci intendere: 2,2647 contro 7,135 per due terzi dell'angolo. La ragione è che il triangolo si sta mangiando quasi tutta la fetta: il settore vale 13,0899 e il triangolo ne prende 10,8253. Agli angoli piccoli un segmento è una scheggia sottile, e l'area cala molto più in fretta dell'angolo.

  3. Un semicerchio

    1. Area del settore: (180 ÷ 360) × π × 5² = 39,2699…
    2. Area del triangolo: ½ × 5² × sen(180°) = 0
    3. Area del segmento: 39,2699 − 0 = 39,2699
    4. Corda: 2 × 5 × sen(90°) = 10
    5. Lunghezza dell'arco: (180 ÷ 360) × 2π × 5 = 15,708
    6. Altezza: 5 × (1 − cos(90°)) = 5 × 1 = 5

    L'angolo in cui il triangolo svanisce. A 180 gradi la corda è un diametro e i due raggi giacciono distesi su di essa, quindi il triangolo non ha area da sottrarre e il segmento è l'intero semicerchio: 39,2699, esattamente quello che la pagina del settore stampa per il suo semicerchio. L'altezza è 5, il raggio, che è il massimo che un segmento di questo cerchio possa sporgere.

  4. Un terzo di cerchio

    1. Area del settore: (120 ÷ 360) × π × 6² = 37,6991
    2. Area del triangolo: ½ × 6² × sen(120°) = 18 × 0,8660254 = 15,5885
    3. Area del segmento: 37,6991 − 15,5885 = 22,1106…, che arrotonda a 22,1107
    4. Corda: 2 × 6 × sen(60°) = 10,3923
    5. Lunghezza dell'arco: (120 ÷ 360) × 2π × 6 = 12,5664
    6. Altezza: 6 × (1 − cos(60°)) = 6 × 0,5 = 3

    La riga che si allinea con le pagine ai due lati di questa. La corda è 6√3 e l'arco è 4π, gli stessi numeri che la pagina del settore stampa per una fetta di 120 gradi dello stesso cerchio: né la corda né l'arco cambiano quando il triangolo viene rimosso, perché nessuno dei due ne fa parte. L'altezza è esattamente 3, metà del raggio, perché il coseno di 60 gradi è un mezzo.

  5. Il segmento maggiore a 270 gradi

    1. Area del settore: (270 ÷ 360) × π × 5² = 58,9049
    2. Area del triangolo: ½ × 5² × sen(270°) = 12,5 × (−1) = −12,5
    3. Area del segmento: 58,9049 − (−12,5) = 71,4049
    4. Corda: 2 × 5 × sen(135°) = 7,0711
    5. Lunghezza dell'arco: (270 ÷ 360) × 2π × 5 = 23,5619
    6. Altezza: 5 × (1 − cos(135°)) = 5 × 1,7071068 = 8,5355

    La riga da leggere con attenzione, e quella che spiega perché questa pagina non dà alcun giudizio sulla sensatezza di una risposta. A 270 gradi il seno è negativo, quindi sottrarre il triangolo aggiunge 12,5 invece di toglierli, e la pagina restituisce 71,4049: la più grande delle due regioni che la corda ritaglia, non la più piccola. È la risposta corretta dal punto di vista aritmetico, e molto spesso non è la regione che il lettore aveva in mente, ed è per questo che qui nulla viene etichettato come segmento piccolo o grande. La corda è 7,0711, come nella riga dei 90 gradi qui sopra, perché sen(135°) è uguale a sen(45°): due angoli diversi, una sola corda.

Limiti

La pagina è solo per i segmenti circolari: una corda retta e l'arco che le sta sopra, su un cerchio piano. Oltre i 180 gradi l'aritmetica passa dall'altra parte e restituisce la maggiore delle due regioni che la corda ritaglia invece della minore: è voluto e inevitabile, dato che la formula non può sapere quale delle due intendevi, ed è per questo che qui nessun risultato viene etichettato come segmento maggiore o minore. L'area è la differenza di due numeri che portano ciascuno un π o un seno, quindi le sue ultime cifre sono le meno affidabili della pagina. Corda e arco non cambiano quando il triangolo viene rimosso, quindi chi voleva la fetta e non la lunula deve usare la pagina del settore qui accanto. Le letture sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque sia l'unità impostata nel menu, quindi un raggio inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire. L'altezza si misura dalla corda al punto più profondo dell'arco ed è la grandezza a cui ricorrere quando l'angolo è ignoto, ma la pagina non va al contrario da un'altezza a un angolo. Gli angoli sopra 360 gradi vengono rifiutati invece che riportati nel primo giro. Qui non si gestisce un segmento di ellisse, né una corda che non sottende l'arco per intero, né lo spessore e le testate di un pezzo fisico come una doga di botte o un concio d'arco.

Domande frequenti

In che cosa un segmento è diverso da un settore?
Un settore è la fetta delimitata da due raggi e da un arco: una fetta di torta. Un segmento è quello che resta quando da quella fetta tagli via il triangolo, cioè solo la regione tra la corda e l'arco. La pagina del settore qui accanto calcola la fetta, e questa pagina calcola quello che rimane dopo che ½r²sen θ è stato sottratto.
Perché a 270 gradi la pagina dà la regione più grande?
Perché l'area del triangolo è ½r²sen θ, e oltre i 180 gradi il seno è negativo, quindi sottrarlo aggiunge invece di togliere. L'aritmetica è corretta e la risposta è la più grande delle due regioni che la corda ritaglia. La pagina non etichetta deliberatamente i risultati come maggiore o minore: da un raggio e da un angolo soli non c'è modo di sapere quale delle due regioni intendevi, quindi ne calcola una e lascia la lettura a te.
A che cosa serve l'altezza del segmento?
È quanto l'arco sporge sopra il punto centrale della corda: la profondità del segmento. È sulla pagina perché è la misura che riesci davvero a prendere: appoggia un righello sul lato piatto e misura fino al punto più profondo della curva, e ce l'hai, senza bisogno di alcun angolo. Va da 0 ad angolo nullo fino al diametro intero a un giro completo, ed è il modo usuale di descrivere un tubo parzialmente pieno.
Perché la corda e l'arco sono gli stessi della pagina del settore?
Perché nessuno dei due fa parte del triangolo che viene tolto. La sottrazione rimuove la regione racchiusa dai due raggi e dalla corda; la corda stessa è il confine di quel triangolo, non parte del suo interno, e l'arco non viene toccato affatto. Quindi un segmento di 120 gradi e un settore di 120 gradi dello stesso cerchio hanno corde identiche, archi identici e aree diverse.
Per che cosa si usa questa forma?
Per tutto ciò in cui una linea retta attraversa un cerchio. Un tubo o un serbatoio orizzontale parzialmente pieno ha come sezione del liquido un segmento, ed è per questo che il volume di liquido in un fusto è un problema da segmento. Una finestra ad arco, la volta di una galleria su pareti dritte, l'area tra un confine rettilineo e una strada curva, lo sfrido quando si sega una corda attraverso una barra tonda e un morso dato a un biscotto rotondo sono tutti segmenti.
Posso ricavare l'angolo dall'altezza invece che dall'angolo?
Non su questa pagina: l'altezza è un'uscita, non un ingresso. L'angolo si può recuperare da essa, dato che l'altezza è r(1 − cos(θ/2)), ma questo significa risolvere rispetto al coseno e applicare una funzione inversa, e la pagina non lo fa. Se quello che hai è una misura di profondità, la via pratica è provare con vari angoli finché la colonna dell'altezza non corrisponde a quello che hai misurato, oppure calcolare l'inversa a parte.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice area settore circolareArea, arco e corda del settore ritagliato da due raggi.Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.Calcolatrice della lunghezza d'arcoLa lunghezza dell'arco tra due punti di una circonferenza.Calcolatrice dell'angolo al centroL'angolo che un arco sottende al centro della circonferenza.