Calcolatrice del cerchio
Risultato
Raggio
- Diametro
- 10,0000 cm
- Circonferenza
- 31,4159 cm
- Area
- 78,5398 cm²
Questa calcolatrice del cerchio risolve il cerchio intero a partire da una sola misura. Scrivi il raggio, oppure il diametro, oppure la circonferenza, oppure l'area, e leggi le altre tre: quattro numeri in uscita, uno dei quali è quello che hai scritto. È la pagina da tenere aperta quando la misura che hai non è quella che ti serve, che è la situazione più comune di tutte. Sul disegno c'è il diametro e a te serve la superficie; intorno al tronco hai misurato la circonferenza e ti serve il raggio per impostare la sega; conosci l'area di un'aiuola e devi comprare la bordura, che si vende a metri lineari. Sono quattro domande diverse e non c'è nessun motivo di risolverle con quattro formule separate, dato che le quattro misure sono legate l'una all'altra. I legami sono tre e sono tutti elementari. Il diametro è il doppio del raggio, che è la definizione stessa di diametro. La circonferenza è pigreco volte il diametro, che è la definizione di pigreco letta come istruzione invece che come numero. L'area è pigreco volte il raggio al quadrato, ed è l'unica delle tre che contiene un quadrato, quindi l'unica che si comporta in modo non proporzionale: raddoppia il raggio e l'area quadruplica, mentre le altre due raddoppiano soltanto. Le tre relazioni si leggono in entrambi i sensi, ed è quello che fa questa pagina. Dalla circonferenza si torna al raggio dividendo per due pigreco, dall'area si torna al raggio con una radice quadrata, dal diametro si torna al raggio dimezzando. C'è una cosa che vale la pena sapere prima di guardare i risultati, e riguarda le cifre. Il raggio e il diametro escono esatti, o quasi: dimezzare e raddoppiare non introducono errore, quindi quelle due colonne sono precise fino all'ultima cifra stampata. La circonferenza e l'area invece contengono pigreco, che è irrazionale, quindi sono approssimate quasi sempre. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una promessa di precisione, ed è per questo che i numeri che leggi non sempre si riproducono a vicenda se li usi per rifare il calcolo a mano. Il valore corretto è quello della misura che hai inserito.
Le quattro misure dello stesso cerchio, a partire da una sola
| Dato di partenza | Raggio (cm) | Diametro (cm) | Circonferenza (cm) | Area (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 78.5398 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 113.0973 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 31.831 |
| A | 5.6419 | 11.2838 | 35.4491 | 100 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 3.1416 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 0.7854 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 564.1896 | 1128.3792 | 3544.9077 | 1000000 |
Otto cerchi, e la prima colonna dice da quale delle quattro misure parte ciascuna riga — r per un raggio, d per un diametro, C per una circonferenza e A per un'area. Quella colonna serve perché su ogni riga sono stampati tutti e quattro i numeri: una volta risolto il cerchio non ne manca più nessuno, quindi senza la prima colonna non si capirebbe quale dei quattro era il dato inserito. Le prime quattro righe prendono i quattro punti di partenza in ordine, e la prima è quella con cui la pagina si carica. La terza riga è quella da studiare, perché parte da una circonferenza e mostra l'aritmetica che fa sì che i numeri stampati non si riproducano a vicenda: l'area di 31,831 è cento diviso pigreco, e elevando al quadrato il raggio stampato si otterrebbe 31,8309. La quarta riga parte da un'area di cento e arriva a un raggio di 5,6419, che è la radice quadrata che tutti dimenticano: dividere cento per pigreco avrebbe dato 31,831. La quinta e la sesta riga sono il cerchio di raggio uno e la sua metà, e fra loro fanno un'osservazione che vale la pena rileggere: l'area del cerchio di raggio uno è 3,1416, che è esattamente la circonferenza del cerchio di raggio mezzo, stampata una riga più sotto. Le stesse quattro cifre significano un'area in una riga e una lunghezza nell'altra, ed è il promemoria più netto di questa tabella del fatto che l'intestazione di una colonna porta tanto significato quanto il numero. La settima riga è un cerchio di raggio zero, dove ogni colonna è zero e la risposta è vera invece che vuota. L'ottava parte da un'area di un milione di centimetri quadrati e arriva a un raggio di 564,1896 centimetri, poco più di cinque metri e mezzo, che è il tipo di ingresso per cui la casella dell'area è dimensionata. Vale anche la pena notare che la prima colonna non è divisa in modo uniforme: quattro delle otto righe partono da un raggio, perché il raggio è il valore da cui gli altri tre sono definiti, mentre il diametro e la circonferenza compaiono una volta ciascuno. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo valore di partenza quando la pagina viene costruita, e tutti sono in centimetri. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.
Formula
d = 2r C = 2πr = πd A = πr² e al contrario: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)
- Raggio
- La distanza dal centro al bordo, in centimetri. È la misura da cui le altre tre sono definite, ed è quella che la pagina ricava per prima qualunque sia la casella che hai riempito
- Diametro
- La distanza da un bordo all'altro passando per il centro, cioè il doppio del raggio. È la misura di comodo su tutto ciò che è cilindrico, perché si prende con un calibro senza dover trovare il centro
- Circonferenza
- La lunghezza del bordo, cioè il perimetro del cerchio, in centimetri. È la misura che si prende passando un flessometro intorno a qualcosa di tondo, ed è pigreco volte il diametro
- Area
- La superficie racchiusa dal cerchio, in centimetri quadrati. È l'unica delle quattro che si misura in unità al quadrato, ed è l'unica che cresce con il quadrato del raggio invece che con il raggio
- π
- Il rapporto fra la circonferenza e il diametro, uguale per tutti i cerchi, circa 3,1416. Entra in due delle quattro misure ed è la ragione per cui quelle due sono quasi sempre numeri che non finiscono
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga ciascuna delle quattro letture. Per il raggio e il diametro è una scelta di comodo; per la circonferenza e per l'area è un'approssimazione reale, quindi due colonne della stessa riga possono non riprodursi a vicenda
Ogni volta che si ha una misura del cerchio e se ne vuole un'altra, che nella pratica è quasi sempre. È la pagina da aprire per prima quando il problema è ancora senza forma, perché non richiede di sapere in anticipo quale grandezza sia quella giusta: si scrive quello che si ha e si guarda che cosa esce. In officina risolve il caso del pezzo cilindrico di cui si conosce il diametro e si vuole la sezione per calcolare una portata. In giardino risolve l'aiuola di cui si è misurato il perimetro e si vuole sapere quanta terra serve, che si vende al metro cubo ma si stima dall'area. In falegnameria risolve il tavolo rotondo di cui si vuole la fascia di bordo, che è una circonferenza, a partire dall'area del piano che si è già tagliato. Serve anche per le verifiche, ed è forse l'uso più frequente di tutti: un preventivo che dichiara un'area e un diametro può essere controllato in due secondi scrivendo il diametro e leggendo che cosa ne esce. Se il conto non torna, l'errore è nel preventivo e non nella formula, e vale la pena scoprirlo prima di firmare. Le tre pagine sorelle fanno una cosa sola per volta — quella dell'area, quella della circonferenza e quella che converte fra circonferenza e diametro — e sono più dirette quando il dubbio è già precisato; questa è quella che risponde quando il dubbio non lo è ancora.
Esempi svolti
Un raggio di 5
- Raddoppia il raggio per il diametro: 5 × 2 = 10
- Moltiplica il raggio per 2π per la circonferenza: 5 × 6,2832 = 31,4159
- Eleva al quadrato il raggio e moltiplica per π per l'area: 25 × π = 78,5398
La coppia con cui la pagina si carica, e i due numeri più riconoscibili di tutta la pagina: 31,4159 e 78,5398 sono quello che si ottiene da un raggio di cinque centimetri, e sono gli stessi che la pagina dell'area del cerchio stampa per lo stesso raggio. Vale la pena notare che il raggio di uscita è identico a quello di ingresso, cioè che la pagina rimanda indietro il dato che hai scritto insieme agli altri tre: è il modo più rapido per accorgersi di aver digitato in una casella diversa da quella che credevi.
Un diametro di 12
- Dimezza il diametro per il raggio: 12 ÷ 2 = 6
- Moltiplica il diametro per π per la circonferenza: 12 × π = 37,6991
- Eleva al quadrato il raggio e moltiplica per π per l'area: 36 × π = 113,0973
La strada del diametro, che è quella di chi ha in mano un tubo o un coperchio e non sa dove sia il centro. Le due colonne di mezzo si ricavano in modo diretto e la circonferenza si potrebbe ottenere anche senza passare dal raggio, moltiplicando il diametro per pigreco: è la stessa cosa, e vale la pena vedere che i due percorsi danno lo stesso numero. L'area invece ha bisogno del raggio, perché il quadrato nella formula è il quadrato del raggio e non del diametro.
Una circonferenza di 20
- Dividi la circonferenza per 2π per il raggio: 20 ÷ 6,2832 = 3,1831
- Raddoppia il raggio per il diametro: 3,1831 × 2 = 6,3662
- Eleva al quadrato il raggio e moltiplica per π per l'area: 10,1321 × π = 31,831
La riga da guardare con più attenzione di tutte, perché è quella che mostra dal vero come mai le colonne di questa tabella non si riproducono a vicenda. L'area vera è venti diviso pigreco, cioè 31,8310, e non è quello che si ottiene elevando al quadrato il raggio stampato, 3,1831, che darebbe 31,8309. Il raggio è una misura del cerchio e l'area è un'altra, e la conversione fra le due passa per un numero irrazionale: le quattro cifre sono abbastanza per usarle, non abbastanza per rifare il giro completo.
Un'area di 100
- Dividi l'area per π e prendi la radice quadrata per il raggio: √(100 ÷ π) = 5,6419
- Raddoppia il raggio per il diametro: 5,6419 × 2 = 11,2838
- Moltiplica il raggio per 2π per la circonferenza: 5,6419 × 6,2832 = 35,4491
La direzione che si dimentica sempre, ed è l'unica delle quattro che richiede una radice quadrata. Il modo di sbagliarla è dividere l'area per pigreco e fermarsi lì: si ottiene 31,8310, che è il quadrato del raggio e non il raggio, e non ha nessun segnale di essere un passaggio intermedio invece di una risposta. La radice quadrata è quello che separa le due cose, e vale la pena notare che 31,8310 è lo stesso numero che compare nella riga della circonferenza per l'area di un cerchio di circonferenza 20: una coincidenza che non è una coincidenza, perché in entrambi i casi è cento diviso pigreco.
Un raggio di 0
- Raddoppia il raggio per il diametro: 0 × 2 = 0
- Moltiplica il raggio per 2π per la circonferenza: 0 × 6,2832 = 0
- Eleva al quadrato il raggio e moltiplica per π per l'area: 0 × π = 0
Un cerchio ridotto a un punto, e tutte e quattro le colonne sono zero, che è una risposta vera e non una risposta mancante. La distinzione conta ed è la stessa in tutte le pagine di questa famiglia: uno zero scritto in una casella è una misura, una casella lasciata vuota è una misura che non è stata presa, e le due cose non producono lo stesso schermo. Con il raggio a zero non c'è nessun caso da trattare a parte e nessun errore da segnalare, perché nessuno dei quattro calcoli divide per qualcosa che possa essere zero.
Limiti
Questa pagina risolve il cerchio e nient'altro: non calcola l'area di una sua parte, quindi un settore, un segmento tagliato da una corda e una corona fra due cerchi concentrici hanno tutti formule proprie che qui non ci sono, e non risolve figure tridimensionali come la sfera o il cilindro. L'uscita è sempre in centimetri e in centimetri quadrati qualunque cosa dicano i menu a tendina, quindi un cerchio misurato in pollici torna come numeri in centimetri: il raggio si converte dividendo per 2,54 e l'area dividendo per 6,4516, che è 2,54 al quadrato e non 2,54. Il raggio viene tenuto intero per tutta la durata del calcolo e arrotondato solo per essere stampato, quindi le quattro colonne di una riga non si riproducono sempre a vicenda: rifacendo a mano il conto da un valore stampato si può ottenere una differenza nell'ultima cifra, e il valore corretto è quello che la pagina mostra, che parte dal dato esatto. La circonferenza e l'area contengono pigreco e sono quindi approssimate quasi sempre; il raggio e il diametro no, ed è per questo che le due colonne non vanno considerate ugualmente precise. Le quattro caselle sono tutte facoltative e ne basta una, ma se ne riempi più di una la pagina ne usa una sola e ignora le altre: non c'è nessun controllo di coerenza fra i valori scritti, quindi due misure che si contraddicono non producono un avviso ma semplicemente un risultato basato su una delle due.
Domande frequenti
- Quante caselle devo riempire?
- Una sola. Le quattro misure sono legate fra loro, quindi conoscerne una significa conoscerle tutte, e la pagina ricava le altre tre da quella. Se ne riempi più di una usa la prima che trova e ignora le altre, senza segnalare nulla: non c'è nessun controllo di coerenza, quindi due valori che si contraddicono non producono un avviso ma semplicemente un risultato basato su uno dei due.
- Quale casella conviene usare?
- Quella che corrisponde alla misura che hai davvero, perché tutte portano allo stesso cerchio e nessuna è più precisa delle altre quando il dato di partenza è lo stesso. Nella pratica si finisce quasi sempre su una delle due estremità: il raggio o il diametro quando la misura si prende con un calibro, la circonferenza quando si passa un flessometro intorno a qualcosa di tondo, l'area quando è quella che c'era già scritta da qualche parte.
- Perché il raggio che leggo non riproduce l'area che leggo?
- Perché il raggio stampato è arrotondato a quattro decimali mentre il calcolo lo tiene intero. Partendo da una circonferenza di 20, per esempio, la pagina stampa un raggio di 3,1831 e un'area di 31,831, ma elevando al quadrato il raggio stampato si ottiene 31,8309. Il valore corretto è quello mostrato, che è stato calcolato dal dato esatto; quello ricalcolato parte da un raggio già approssimato. È lo stesso motivo per cui le colonne di una tabella di conversione, usate all'indietro, non ridanno sempre il numero di partenza.
- Da dove si ricava il raggio partendo dall'area?
- Da una radice quadrata: si divide l'area per pigreco e poi si estrae la radice, perché la formula dell'area contiene il raggio al quadrato. Fermarsi alla divisione è l'errore classico, e dà un numero che non ha nessun segnale di essere sbagliato: per un'area di 100 si ottiene 31,8310, che è il quadrato del raggio e non il raggio, mentre il raggio è 5,6419.
- Che differenza c'è fra questa pagina e quella dell'area del cerchio?
- L'area del cerchio accetta un raggio, un diametro o una circonferenza e restituisce solo l'area; questa accetta anche l'area e restituisce sempre tutte e quattro le misure. La differenza si vede quando la misura che hai è proprio l'area: là non c'è nessuna casella dove scriverla, perché da lì l'area sarebbe già nota e il calcolo non avrebbe senso. Le due pagine danno le stesse risposte sugli stessi ingressi.
- I pollici funzionano?
- Per il calcolo sì, per le unità di uscita no. Se misuri un cerchio in pollici e scrivi il valore, la pagina lo tratta come se fosse in centimetri e restituisce centimetri e centimetri quadrati. Per rileggere il risultato in pollici bisogna convertire: il raggio si divide per 2,54, ma l'area si divide per 6,4516, che è 2,54 al quadrato e non 2,54. È l'errore di conversione più comune su questa pagina e vale la pena controllarlo prima di usare un numero in un preventivo.
Riferimenti
- Circle — the set of points at a fixed distance from a centre, with the relations between radius, diameter, circumference and area that this page solves in both directions — Wolfram MathWorld (United States)
- Circumference — the distance around a circle, π times the diameter, which is the relation the circumference box inverts — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the ratio of a circle's circumference to its diameter, and the constant that makes the circumference and area outputs irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)