Calcolatrice della sfera
Risultato
Volume
- Superficie totale
- 314,1593 cm²
- Raggio
- 5,0000 cm
- Diametro
- 10,0000 cm
- Circonferenza
- 31,4159 cm
La calcolatrice della sfera prende una qualsiasi di tre misure di una palla — il raggio, il diametro o la circonferenza — e ne restituisce cinque: il volume, l'area superficiale e tutte e tre quelle lunghezze. Vale la pena notare la forma del modulo. Va compilato un solo campo, e la pagina lavora su quello che hai dato, perché le tre lunghezze sono la stessa misura della stessa palla vestita in tre modi diversi: misurare intorno all'equatore descrive la palla tanto quanto misurarla dal centro alla superficie. Quello che non è simmetrico è il verso opposto. Le quattro misure di un cerchio sono pari fra loro, e la pagina del cerchio qui accanto parte da una qualsiasi. Quelle di una sfera no: il volume e l'area superficiale sono cose che si ricavano, mai cose che si forniscono, perché risalire da un volume richiede una radice cubica e risalire da un'area richiede una radice quadrata, e entrambe quelle domande hanno già una pagina propria. Quindi qui ci sono tre caselle e cinque letture, e le due letture in più sono il senso della pagina. Il volume è quanto la palla contiene o sposta: quanta aria sta in un pallone, quanta acqua prende un serbatoio sferico, quanto materiale c'è in una sfera di cuscinetto. L'area superficiale è quanta pelle ha: quanta vernice, quanto cuoio, quanta placcatura. Sono queste due a fare della sfera un oggetto tridimensionale, e sono ciò con cui le figure piatte delle pagine ai due lati di questa non hanno nulla da spartire.
Palle comuni, inserite da ciascuna delle tre misure
| Dato inserito | Raggio (cm) | Diametro (cm) | Circonferenza (cm) | Area superficiale (cm²) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 314.1593 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 452.3893 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 127.324 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 62.8319 | 1256.6371 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 12.5664 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 3.1416 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 314.1593 | 31415.9265 | 523598.7756 |
Otto palle, e la prima colonna dice quale delle tre caselle è stata riempita: senza di essa la tabella non si leggerebbe, dato che per ogni riga vengono stampati tutti e cinque i numeri e non c'è altro che dica quale misura era l'ingresso. Le prime tre righe sono inserite di proposito in tre modi diversi — un raggio di 5 cm, un diametro di 12 cm e una circonferenza di 20 cm — così che i tre punti di ingresso si vedano fianco a fianco. La prima riga è la palla con cui la pagina si carica, e la sua circonferenza di 31,4159 è esattamente quello che la pagina del cerchio stampa per un raggio di 5: a una circonferenza non importa se è disegnata piatta o intorno a una palla. La terza riga è quella da leggere se hai intenzione di fare questi calcoli a mano: inserita come circonferenza di 20 il volume è 135,0949, mentre elevando al cubo il raggio arrotondato di 3,1831 stampato accanto si ottiene 135,0950 — una differenza nell'ultima cifra, e ha ragione la pagina, perché la risposta vera appartiene al 20 che hai digitato e non al raggio arrotondato che vedi. La quinta riga è la sfera unitaria, dove l'area superficiale è 4π e il volume è 4π/3. La sesta riga è la coincidenza su cui vale la pena fermarsi: con un raggio di un mezzo l'area superficiale e la circonferenza sono entrambe 3,1416, perché 4πr² e 2πr si incrociano esattamente lì. La settima riga è un raggio di zero, dove ogni colonna è zero e la risposta è vera e non mancante. L'ultima riga è un diametro di 100, dieci volte il raggio della prima, e la scala si vede: dieci volte il raggio dà dieci volte la circonferenza, cento volte l'area superficiale e mille volte il volume. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo dato quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali del pannello dei risultati: nella tabella il separatore decimale è il punto, nel testo qui sopra è la virgola, e sono lo stesso numero scritto in due modi.
Formula
V = 4⁄3 × πr³ A = 4πr² d = 2r C = 2πr
- Raggio
- La distanza dal centro alla superficie, in centimetri. L'unico numero su cui una sfera sia davvero costruita: tutto il resto della pagina, compresi gli altri due ingressi, è un modo di esprimerlo
- Diametro
- La distanza da parte a parte passando per il centro, in centimetri, cioè il doppio del raggio. La misura da usare quando hai la palla fra le mani e un righello attraverso di essa, che è come quasi tutte le palle vengono in realtà descritte
- Circonferenza
- La distanza lungo tutto il giro nel punto più largo, in centimetri, cioè 2πr. La misura da usare quando hai una fettuccia e puoi solo passarle intorno: un tronco, un tubo, o una palla troppo grande per essere abbracciata
- Volume
- Quanto spazio occupa la palla, in centimetri cubi. È l'unica lettura di questa pagina che va con il cubo del raggio, ed è per questo che cresce tanto più in fretta delle altre quando le palle diventano grandi
- Area superficiale
- Quanta pelle ha la palla, in centimetri quadrati, cioè quattro volte l'area di un cerchio dello stesso raggio. È esattamente uguale all'area della superficie curva del cilindro che conterrebbe la palla appena appena
- 4⁄3 πr³
- La formula del volume, e i quattro terzi sono la parte da ricordare. Una sfera occupa i due terzi del cilindro che le sta stretto intorno: il risultato che Archimede volle fatto incidere sulla propria tomba
- 4πr²
- L'area superficiale, e il 4 semplice vale la pena di essere notato accanto ai quattro terzi del volume. È l'area di quattro cerchi piatti dello stesso raggio, una coincidenza del calcolo infinitesimale più che qualcosa che si possa vedere spiegando la superficie
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga ogni lettura. Solo il raggio e il diametro possono essere esatti; la circonferenza, l'area superficiale e il volume portano tutti un π e il volume porta anche un cubo, quindi le loro ultime cifre sono una larghezza di visualizzazione e non un'affermazione
Questa pagina serve per tutto ciò che è tondo in tre dimensioni, e le due letture che aggiunge rispetto alla pagina del cerchio sono quelle che contano per gli oggetti reali. Il volume serve per la capacità e lo spostamento: quanta aria tiene un pallone, quanto prende un serbatoio sferico o un gasometro, quanto pesa una sfera di cuscinetto una volta noto il materiale, quanta spinta dà un galleggiante. L'area superficiale serve per tutto ciò che ricopre la palla: vernice, pannelli di cuoio su un pallone, placcatura su un cuscinetto, la superficie di raffreddamento di una goccia, o la dose di un farmaco trasportata sulla superficie di una particella. C'è poi un uso che va nel verso opposto, ed è il più comune di tutti: hai una palla e una fettuccia, e ti serve un numero che non riesci a raggiungere. Passa la fettuccia intorno all'equatore, inserisci la circonferenza, e la pagina ti dà il diametro e il volume senza che tu debba aprire la palla: è esattamente così che si arriva alla dimensione di un albero, di un tubo o di un pianeta.
Esempi svolti
Una palla di raggio 5
- Diametro: 2 × 5 = 10
- Circonferenza: 2 × π × 5 = 10π = 31,4159…
- Area superficiale: 4 × π × 5² = 100π = 314,1593…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 5³ = 500π ÷ 3 = 523,5987…, che arrotonda a 523,5988
L'ingresso con cui la pagina si carica. Le due letture con π vale la pena di leggerle come multipli interi di π: l'area superficiale è 100π e il volume è 500π/3. È anche la riga in cui i numeri della sfera si possono verificare contro quelli della pagina del cerchio: la circonferenza di questa palla, 31,4159, è esattamente quello che la pagina del cerchio stampa per un raggio di 5, perché a una circonferenza non importa se è disegnata su un foglio piatto o intorno a una palla. Il volume è il punto in cui si fa vedere la terza dimensione.
Una palla di diametro 12
- Raggio: 12 ÷ 2 = 6
- Circonferenza: 2 × π × 6 = 12π = 37,6991…
- Area superficiale: 4 × π × 6² = 144π = 452,3893…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 6³ = 288π = 904,7787…
L'ingresso da usare quando la palla ce l'hai davanti: il diametro è quello che dà un righello passato per il centro, ed è come palloni, cuscinetti e pianeti vengono effettivamente specificati. Qui è tutto un multiplo intero di π — 12π, 144π, 288π — cosa che succede ogni volta che il raggio viene un numero intero, ed è un buon segno che l'aritmetica sia giusta.
Una palla misurata intorno all'equatore
- Raggio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…, che arrotonda a 3,1831
- Diametro: 2 × 3,1830988… = 6,3661977…, che arrotonda a 6,3662
- Area superficiale: 4 × π × 3,1830988…² = 400 ÷ π = 127,3239…, che arrotonda a 127,324
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 3,1830988…³ = 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, che arrotonda a 135,0949
La riga da leggere se hai intenzione di rifare questi calcoli a mano, perché è quella in cui arrotondare presto fa male. Il raggio stampato qui sopra è 3,1831, già arrotondato: elevandolo al cubo si ottiene un volume di 135,0950 invece del 135,0949 che la pagina riporta. Entrambi i numeri sono difendibili e solo uno è giusto: la risposta vera appartiene al 20 che hai digitato, e il 3,1831 è una sua visualizzazione, non la cosa in sé. È anche l'ingresso da usare per tutto ciò a cui riesci a passare intorno solo una fettuccia, come un tronco o un tubo.
Una palla di raggio un mezzo
- Diametro: 2 × 0,5 = 1
- Circonferenza: 2 × π × 0,5 = π = 3,1416…
- Area superficiale: 4 × π × 0,5² = π = 3,1416…
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 0,5³ = π ÷ 6 = 0,5236…
La riga su cui vale la pena fermarsi: la circonferenza e l'area superficiale vengono lo stesso numero, 3,1416, e non è un errore di battitura. Le due formule sono 2πr e 4πr², e con un raggio di un mezzo si incrociano: 2π × ½ e 4π × ¼ valgono entrambi π. Sotto questo raggio l'area superficiale è la più piccola delle due, sopra è la più grande. È il genere di coincidenza che salta fuori solo quando una lunghezza e un'area capita che siano misurate nelle stesse unità, e su questa pagina lo sono.
Una palla di raggio zero
- Diametro: 2 × 0 = 0
- Circonferenza: 2 × π × 0 = 0
- Area superficiale: 4 × π × 0² = 0
- Volume: (4 ÷ 3) × π × 0³ = 0
Una palla di dimensione nulla è un singolo punto, e tutte e cinque le letture sono zero. Lo zero è un ingresso legale e non una casella vuota, quindi una riga di zeri è una risposta vera: la pagina la distingue dal lasciare tutti e tre i campi in bianco, che invece non mostra nulla perché non c'è niente da cui partire.
Limiti
La pagina è solo per le sfere: ogni punto della superficie alla stessa distanza dal centro. Un uovo, un pallone da rugby o la Terra stessa non lo sono, e non lo è nemmeno una semisfera, che è una sfera tagliata a metà con in più una faccia piatta la cui area qui non è compresa. Il volume e l'area superficiale non si possono inserire: sono risposte, non ingressi, quindi una palla descritta da quanto contiene va prima riportata a un raggio altrove. Tutte e cinque le letture sono in centimetri, centimetri quadrati e centimetri cubi qualunque sia l'unità impostata nel menu, quindi un diametro inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione: solo il raggio e il diametro possono essere esatti, e gli altri tre portano un π, con il volume che porta anche un cubo. Le letture vengono arrotondate indipendentemente dal raggio esatto, quindi un valore stampato qui non sempre ne riproduce un altro stampato accanto: la risposta vera appartiene al numero che hai inserito. Va compilata una sola casella; due insieme vengono rifiutate invece che risolte in silenzio, perché un raggio di 5 e un diametro di 10 sono la stessa palla ma un raggio di 5 e un diametro di 12 non lo sono, e la pagina preferisce dirlo piuttosto che scegliere. Qui non si gestiscono lo spessore di un guscio cavo, il materiale di cui è fatta la palla, né il suo peso.
Domande frequenti
- Perché posso compilare una sola casella?
- Perché le tre caselle descrivono la stessa palla. Il raggio, il diametro e la circonferenza sono una sola misura in tre vestiti diversi: basta riempirne una e la pagina conosce la palla. Riempirne due viene rifiutato invece che risolto, perché un raggio di 5 e un diametro di 10 vanno d'accordo mentre un raggio di 5 e un diametro di 12 no, e la pagina non ha modo onesto di indovinare quale delle due intendevi.
- Perché non posso inserire il volume e ottenere il raggio?
- Perché quella è un'altra domanda, e richiede una radice cubica invece di una moltiplicazione. Lo stesso vale per inserire un'area superficiale, che richiede una radice quadrata. Sono entrambe cose del tutto ragionevoli da volere, ma sono problemi separati, e questa pagina prende come ingressi le tre lunghezze per poter dare il volume e l'area come risposte. Andare nel verso opposto è una pagina a sé.
- L'area superficiale e la circonferenza sono venute lo stesso numero. È sbagliato?
- No: con un raggio di un mezzo sono davvero uguali. La circonferenza è 2πr e l'area superficiale è 4πr², e con r = ½ valgono π e π. Sotto quel raggio l'area superficiale è più piccola della circonferenza, sopra è più grande. Sono grandezze di tipo diverso, quindi l'uguaglianza è una coincidenza numerica e non l'affermazione che una lunghezza è uguale a un'area.
- Da dove viene il quattro terzi nella formula del volume?
- Fa sì che la sfera sia esattamente i due terzi del cilindro che le sta stretto intorno. Archimede lo dimostrò e lo apprezzò al punto da chiedere che sulla sua tomba fossero incisi la sfera e il cilindro. È anche il motivo per cui la formula del volume sembra tanto più pesante di quelle del parallelepipedo e del prisma: una superficie curva non si riempie impilando fette piatte senza il calcolo infinitesimale.
- Quale misura conviene usare per una palla a cui riesco solo a passare intorno?
- La circonferenza. Passa una fettuccia nel punto più largo, inserisci quel numero nella casella della circonferenza, e la pagina ti dà il diametro e il raggio insieme al volume e all'area superficiale. È il modo standard di misurare un tronco, un tubo o qualunque cosa troppo grande o troppo scomoda da attraversare con un righello, ed è il motivo per cui la circonferenza qui è un ingresso e non solo un'altra lettura.
- La risposta è in centimetri cubi o in litri?
- La pagina stampa centimetri cubi, e la conversione è quella solita: mille centimetri cubi fanno un litro, quindi un volume di 523,5988 cm³ è circa 0,5236 litri. Per volumi più piccoli, un millilitro equivale a un centimetro cubo. Il menu delle unità cambia quello che digiti, non quello che esce, quindi se inserisci un diametro in pollici la risposta sarà comunque in centimetri.
Riferimenti
- Sphere — the three-dimensional ball, with the volume and the surface area this page computes and the two-thirds relation to the enclosing cylinder — Wolfram MathWorld (United States)
- Circle — the same measurements in two dimensions, and the page next door where a circumference is an input rather than an echo — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general treatment of what the volume output measures, including the sphere among the solids whose volume has a closed form — Wolfram MathWorld (United States)