Calcolatrice del volume della sfera
Risultato
Volume
Una calcolatrice del volume della sfera prende una sola misura di una palla — il raggio, il diametro oppure la circonferenza — e restituisce quanto spazio occupa, in centimetri cubi. È la pagina della sfera con tutto il resto tolto di mezzo: quella accetta gli stessi tre ingressi e risponde a cinque domande in una volta sola, mentre questa risponde a quella con cui la gente arriva davvero, cioè quanto tiene, quanto sposta o di quanto materiale è fatta una palla. La formula è quattro terzi per π per il raggio al cubo, e la sua forma merita un momento di attenzione. Quasi tutte le formule di volume di questo gruppo sono un'area di base moltiplicata per un'altezza, perché quasi tutti i solidi di questo gruppo si lasciano affettare in strati piatti che poi si impilano. Una sfera no. I suoi strati cambiano dimensione a ogni altezza, le fette vicine al centro sono larghe e quelle vicine ai poli minuscole, e sommarle è esattamente il problema per cui è stato inventato il calcolo infinitesimale. Il quattro terzi è quello che quella somma vale, e il modo soddisfacente di ricordarlo è che rende la palla esattamente due terzi del cilindro più piccolo che la contenga. Archimede lo dimostrò e chiese che sulla sua tomba fossero incisi la sfera e il cilindro. L'altra cosa da sapere è quanto in fretta questo numero cresce. Il volume va con il cubo del raggio, quindi raddoppiare la dimensione di una palla moltiplica il volume per otto e triplicarla lo moltiplica per ventisette. È per questo che una piccola variazione di diametro produce una grande variazione di capacità, e che la risposta che ottieni qui può diventare molto grande molto in fretta.
Lo spazio che occupa una palla, inserita da ciascuna delle tre misure
| Inserita come | Raggio (cm) | Diametro (cm) | Volume (cm³) |
|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 523.5988 |
| d | 6 | 12 | 904.7787 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 135.0949 |
| r | 10 | 20 | 4188.7902 |
| r | 1 | 2 | 4.1888 |
| r | 0.5 | 1 | 0.5236 |
| r | 0 | 0 | 0 |
| d | 50 | 100 | 523598.7756 |
Otto palle e quattro colonne, due colonne in meno della pagina della sfera qui accanto, che accetta gli stessi tre ingressi e in più dà l'area superficiale e la circonferenza. La prima colonna dice quale campo è stato riempito, e senza di essa la tabella non si leggerebbe, visto che raggio e diametro sono stampati su ogni riga. La prima riga è la palla con cui la pagina si carica, e la quarta è una di quelle da confrontare con essa: raggio 5 contro raggio 10, dove il raggio è raddoppiato e il volume è passato da 523,5988 a 4188,7902, cioè otto volte tanto, che è la legge del cubo in un passaggio solo. La terza riga è quella da leggere se pensi di fare il conto a mano: inserita come circonferenza di 20 il volume è 135,0949, mentre elevando al cubo il raggio arrotondato 3,1831 stampato accanto si ottiene 135,0950. La quinta riga è la sfera unitaria, dove il volume è 4π/3 e l'area superficiale della pagina della sfera per la stessa palla è 4π, cioè numericamente un terzo. La settima riga è un raggio di zero, dove la palla non contiene nulla e la risposta è vera e non mancante. L'ultima riga è un diametro di 100, dove il volume arriva a più di mezzo milione di centimetri cubi — mezzo metro cubo di palla, e un promemoria di quanto in fretta questa grandezza esca dalle unità di tutti i giorni. Ogni numero qui è ricalcolato dalla propria riga quando la pagina viene costruita, in centimetri, e le quattro cifre decimali sono le stesse quattro del pannello dei risultati. Nota sulle due convenzioni: nelle celle di questa tabella i numeri sono generati automaticamente e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo qui sopra le stesse quantità sono scritte con la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due risultati diversi.
Formula
V = 4⁄3 × πr³ r = d ÷ 2 r = C ÷ 2π
- Raggio
- La distanza dal centro alla superficie, in centimetri. È l'unico numero di cui il volume è davvero fatto: gli altri due campi sono soltanto altri modi di arrivarci
- Diametro
- La distanza da una parte all'altra passando per il centro, in centimetri, che la pagina dimezza per ottenere il raggio. È il campo da usare quando la palla ce l'hai davanti e farci passare sopra un righello è la misura più comoda da prendere
- Circonferenza
- Il giro completo nel punto più largo, in centimetri, che la pagina divide per 2π per ottenere il raggio. È il campo da usare quando l'unica cosa che puoi fare è passare un metro da sarto intorno alla palla
- Volume
- Quanto spazio occupa la palla, in centimetri cubi. È l'unico risultato della pagina, e l'unica grandezza qui che cresce con il cubo della dimensione invece che con la dimensione stessa
- 4⁄3 πr³
- La formula, e il quattro terzi è la parte che significa qualcosa: rende la palla due terzi del cilindro che la contiene appena, che è un fatto sulle sfere e non una stranezza dell'aritmetica
- r³
- Il raggio al cubo, ed è il motivo per cui questa pagina tira fuori numeri grandi da ingressi modesti. Raddoppiare il raggio moltiplica il volume per otto, che si tratti di una biglia o di un pianeta
- Quattro cifre decimali
- La larghezza con cui è scritto il risultato. Il volume porta sempre in sé un π e un cubo, quindi non è mai esatto a meno che il raggio non sia zero: le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione
Questa pagina serve per capienza, spostamento d'acqua e materiale, che insieme coprono quasi tutto quello che si può volere da una palla. Capienza: quanto tiene un serbatoio sferico, un gasometro o una torre dell'acqua, quanta aria c'è in un pallone, quanto gelato eroga una pallina. Spostamento: quanta acqua sposta un galleggiante o uno scafo, che è la stessa cosa del suo volume e determina se galleggia e quanto può portare. Materiale: quanto acciaio c'è in una sfera di cuscinetto, quanto calcestruzzo in un riempimento a cupola, quanto pesa una palla di impasto o di argilla una volta nota la densità. È anche la forma di parecchie cose che sono sferiche solo all'incirca, e di solito l'approssimazione basta: un uovo, una goccia, un chicco di grandine, un pianeta leggermente schiacciato all'equatore. C'è poi l'uso al rovescio: dato il volume che un contenitore deve tenere, è questa la pagina che ti dice quanto dovrebbe essere grande la sfera, visto che tra i due c'è di mezzo soltanto una radice cubica. Il calcolo del volume di una sfera è insomma lo stesso numero letto da due direzioni: lo spazio occupato da una sfera da giardino o da un serbatoio si legge qui in un passaggio solo.
Esempi svolti
Una palla di raggio 5
- Eleva il raggio al cubo: 5³ = 125
- Moltiplica per π e per quattro terzi: (4 ÷ 3) × π × 125 = 500π ÷ 3
- 500π ÷ 3 = 523,5987…, che arrotondato dà 523,5988
L'ingresso con cui la pagina si carica, e la riga su cui verificare la formula: il volume è 500π/3, quindi tutto si riduce a un multiplo pulito di π. Cinque centimetri è poco meno di una pallina da tennis, e la risposta — poco più di mezzo litro — è una quantità di cui vale la pena avere un'idea, perché è il tipo di misura con cui ha a che fare una ricetta o un contenitore piccolo.
Una palla di diametro 12
- Raggio: 12 ÷ 2 = 6
- Eleva il raggio al cubo: 6³ = 216
- Moltiplica per π e per quattro terzi: (4 ÷ 3) × π × 216 = 288π
- 288π = 904,7786…, che arrotondato dà 904,7787
L'ingresso a cui ricorrere quando la palla ce l'hai in mano, perché il diametro è quello che dà un righello passato per il centro ed è anche come vengono indicate quasi tutte le palle. La risposta è 288π, di nuovo un multiplo intero di π, cosa che succede ogni volta che il raggio viene un numero intero. Confrontala con la riga precedente: il raggio è cresciuto di un quinto, da 5 a 6, e il volume è cresciuto di più di due terzi, da 523,5988 a 904,7787.
Una palla misurata lungo l'equatore
- Raggio: 20 ÷ (2π) = 3,1830988…
- Eleva il raggio al cubo: 3,1830988…³ = 32,2519…
- Moltiplica per π e per quattro terzi: (4 ÷ 3) × π × 32,2519… = 4000 ÷ 3π²
- 4000 ÷ 3π² = 135,0948…, che arrotondato dà 135,0949
La riga da leggere se hai intenzione di rifare il conto a mano, perché è quella in cui arrotondare presto porta fuori strada. La pagina della sfera stampa per questa palla un raggio di 3,1831, che sembra preciso e non lo è: elevalo al cubo e moltiplica, e ottieni 135,0950. Questa pagina riporta 135,0949 e ha ragione lei, perché la risposta vera appartiene al 20 che hai inserito, non al raggio arrotondato che vedi a schermo. I due valori differiscono nell'ultima cifra e in nessun altro punto, che è esattamente il tipo di errore che sopravvive a un controllo di buon senso.
Una palla di raggio uno
- Eleva il raggio al cubo: 1³ = 1
- Moltiplica per π e per quattro terzi: (4 ÷ 3) × π × 1 = 4π ÷ 3
- 4π ÷ 3 = 4,18879…, che arrotondato dà 4,1888
La sfera unitaria, e la riga che mostra che cos'è davvero il quattro terzi: il volume è 4π/3, mentre l'area superficiale che la pagina della sfera stampa per la stessa palla è 4π. Il volume è numericamente un terzo dell'area, cosa che succede perché il raggio vale uno e non è una regola generale — ma è una coppia di numeri comoda da ricordare, e rende le due formule facili da non confondere.
Una palla di raggio zero
- Eleva il raggio al cubo: 0³ = 0
- Moltiplica per π e per quattro terzi: (4 ÷ 3) × π × 0 = 0
Una palla senza dimensione è un punto e non contiene nulla. Lo zero è un ingresso legittimo e non un campo vuoto, quindi questa è una risposta vera: la pagina la distingue dal caso in cui tutti e tre i campi sono vuoti, che non mostra alcun risultato perché non c'è niente da cui partire.
Limiti
La pagina vale solo per sfere: ogni punto della superficie alla stessa distanza dal centro. Un uovo, un pallone da rugby o un pianeta leggermente schiacciato non lo sono, e non lo è nemmeno un emisfero — che è una sfera tagliata a metà e contiene esattamente la metà di quello che si calcola qui, mentre la sua area superficiale non è la metà. Il volume non si può inserire, quindi una palla indicata da quanto tiene va prima riportata a un raggio altrove. Il risultato è in centimetri cubi qualunque unità sia impostata nel menu a tendina, quindi un diametro inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire — e trattandosi di un volume la conversione è un cubo: da pollici cubi a centimetri cubi il fattore è circa 16,4, non 2,54. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione, visto che il volume porta sempre sia un π sia un cubo. Si può riempire esattamente un campo; due insieme vengono rifiutati invece di essere risolti in silenzio. Qui non si tiene conto dello spessore di parete di un guscio cavo, del materiale di cui è fatta la palla né di quanto pesa, e la pagina non dà l'area superficiale: è la pagina della sfera qui accanto che la stampa insieme al volume per gli stessi tre ingressi.
Domande frequenti
- In che cosa è diversa dalla calcolatrice della sfera?
- Gli ingressi sono identici: gli stessi tre campi, la stessa regola di compilarne esattamente uno. Cambia quello che torna indietro. La pagina della sfera stampa cinque risultati — il volume, l'area superficiale e le tre lunghezze — mentre questa stampa il volume e nient'altro, perché è quello che di solito si viene a cercare e togliere il resto lo lascia come unica cosa sullo schermo.
- Perché il volume cresce molto più in fretta del diametro?
- Perché va con il cubo del raggio, mentre il diametro va con il raggio stesso. Raddoppia il diametro di una palla e il suo volume diventa otto volte tanto; triplicalo e diventa ventisette volte tanto. È per questo che una piccola variazione nella dimensione di un serbatoio produce una grande variazione in quello che contiene, e che la risposta qui può essere molto grande partendo da un numero che sembra modesto.
- Da dove viene il quattro terzi?
- Rende la palla esattamente due terzi del cilindro più piccolo che la contenga: stesso raggio e altezza pari al doppio del raggio. Archimede lo dimostrò e chiese che sulla sua tomba fossero incisi la sfera e il cilindro. È anche il motivo per cui la formula porta una frazione: una sfera non è una pila di strati piatti, e il calcolo che somma i suoi strati curvi è quello che produce il quattro terzi.
- Il mio conto a mano dà 135,0950 ma la pagina dice 135,0949. Quale è giusto?
- La pagina. Il raggio di quella palla è 10/π, cioè 3,1830988…, e il raggio stampato a schermo è arrotondato a 3,1831. È l'elevamento al cubo del valore arrotondato che produce il 135,0950: la differenza sta nell'ultima cifra e viene tutta da un arrotondamento fatto troppo presto. La risposta vera appartiene al numero che hai digitato, e la pagina conserva il raggio esatto al suo interno fino alla fine.
- Posso risalire dal volume al raggio?
- Su questa pagina no: il volume è un risultato, non un ingresso. Sarebbe del tutto possibile, perché il raggio è la radice cubica di tre volte il volume diviso quattro π, ma è un'operazione diversa e la pagina non la fa. Se sai quanto deve tenere un contenitore e vuoi sapere quanto grande dovrebbe essere una sfera, quel conto va fatto a parte.
- La risposta dovrebbe essere in litri?
- La pagina stampa centimetri cubi, e mille di questi fanno un litro: quindi 523,5988 cm³ sono circa 0,524 litri, e un millilitro è un centimetro cubo. Per sfere più grandi i numeri crescono in fretta: una palla di un metro di diametro contiene più di mezzo metro cubo, cioè più di cinquecento litri. Il menu a tendina cambia quello che digiti, non quello che esce.
Riferimenti
- Sphere — the ball itself, with the volume formula this page computes and the two-thirds relation to the cylinder that just contains it — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — what a volume is in general and how it is defined for a curved solid, which is the part of the sphere that cannot be reached by stacking flat slices — Wolfram MathWorld (United States)
- Cylinder — the solid a sphere fits inside, whose volume the sphere takes exactly two thirds of, and the shape most nearly comparable to it — Wolfram MathWorld (United States)