Calcolatrice del volume del cono

V = πr²h ÷ 3 l = √(r² + h²) Area laterale = πrl Superficie totale = πr(l + r)

r

Il raggio della base circolare, in centimetri. Obbligatorio, e lo zero è ammesso: un cono di raggio zero è un segmento verticale appoggiato su un punto

h

L'altezza perpendicolare dal centro della base dritta fino alla punta, in centimetri. Obbligatoria, e non è l'apotema: sono due numeri diversi su ogni cono tranne quello degenere in cui l'altezza è zero

l

L'apotema, cioè la distanza dalla punta lungo il fianco fino al bordo. È l'ipotenusa del triangolo formato dal raggio, dall'altezza e dal fianco, quindi è sempre più lunga di entrambi. È l'unico dei quattro risultati a cadere spesso esatto, perché un raggio e un'altezza interi possono dare un apotema intero

V

Il volume in centimetri cubi, un terzo dell'area di base per l'altezza. Quel terzo è tutta la differenza tra questa pagina e quella del cilindro, dove la stessa espressione non ha divisore

Area laterale

L'area della sola superficie curva, π per il raggio per l'apotema. Non comprende la base. Nota che usa l'apotema e non l'altezza, che è la sostituzione sbagliata più frequente su questa figura

Superficie totale

La superficie curva più la base circolare, che si semplifica in π per il raggio per la somma tra apotema e raggio. È calcolata dal raggio e dall'apotema in un passo solo invece che sommando le due aree, quindi non sempre coincide con l'area laterale sullo schermo più πr²

Due cifre decimali

La larghezza con cui è scritto ogni risultato. Il volume e le due aree sono irrazionali per quasi ogni valore di partenza; l'apotema è esatto ogni volta che raggio e altezza formano una terna pitagorica, ed è il motivo per cui i valori di partenza della pagina producono zeri finali

I lavori ovvi sono quelli in cui hai un cono davanti e ti serve un numero che lo riguardi. Un mucchio conico di ghiaia o di grano, di cui puoi misurare la larghezza della base e l'altezza ma il fianco resta sepolto nel materiale. Un tetto conico o una guglia, dove la superficie inclinata è quella da coprire e l'apotema è il numero su cui si prezza il lavoro. Un imbuto, una tramoggia, un bicchiere di carta, un cappello da festa: il volume dice quanto contengono e l'area laterale dice quanto materiale serve a fabbricarli, e sono due domande diverse con due risposte diverse sulla stessa pagina. La terza domanda a cui la pagina risponde è quella comparativa. Scegliere tra un cono e un cilindro è una decisione reale nei contenitori e nel magazzinaggio, e il confronto è sempre lo stesso fattore tre: il cilindro con la stessa base e la stessa altezza contiene esattamente il triplo, quindi una tramoggia conica a parità di impronta contiene un terzo di una cilindrica. Due abitudini vale la pena portarsele dietro. L'apotema è sempre la più lunga delle tre lunghezze del triangolo sul fianco, quindi un apotema che viene più corto dell'altezza significa che le due caselle sono state riempite al contrario: l'apotema è quello che misureresti lungo l'esterno, e non può essere il minore. E l'area laterale è sempre minore della superficie totale, dato che la totale è la laterale più la base, quindi una totale più piccola della laterale è il segno che qualcosa è stato sottratto invece che sommato.

1. Un raggio di tre e un'altezza di quattro

   1. Apotema: √(3² + 4²) = √25 = 5
   2. Volume: π × 3² × 4 ÷ 3 = π × 36 ÷ 3 = 12π = 37,6991…, che arrotonda a 37,70
   3. Area laterale: π × 3 × 5 = 15π = 47,1239…, che arrotonda a 47,12
   4. Superficie totale: π × 3 × (5 + 3) = 24π = 75,3982…, che arrotonda a 75,40

   I valori con cui la pagina si apre, e gli unici di questa serie in cui ogni passo si può fare a mente: tre e quattro danno un'ipotenusa esattamente pari a cinque, quindi l'apotema è un numero intero e le due aree sono multipli interi di π. Vale la pena notare l'aritmetica del volume: l'area di base è nove π e un terzo di quella per quattro fa dodici π, ed è per questo che la risposta sta poco sotto trentotto invece che poco sopra cento. Un cono di questa dimensione contiene circa trentotto millilitri, cosa utile da sapere quando un risultato sembra sbagliato di un fattore tre.

2. Un raggio di cinque e un'altezza di dodici

   1. Apotema: √(25 + 144) = √169 = 13
   2. Volume: π × 25 × 12 ÷ 3 = 100π = 314,1592…, che arrotonda a 314,16
   3. Area laterale: π × 5 × 13 = 65π = 204,2035…, che arrotonda a 204,20
   4. Superficie totale: π × 5 × (13 + 5) = 90π = 282,7433…, che arrotonda a 282,74

   L'altra terna intera ben nota, e un cono più alto e più stretto di quello di partenza. Guarda quanto il volume sia vicino a un numero tondo: cento π fa 314,16, quindi un cono di raggio cinque e altezza dodici contiene quasi esattamente un litro. È il tipo di coincidenza da usare come controllo quando si lavora in centimetri: cento π centimetri cubi sono cento volte il volume di un cubo di un centimetro moltiplicato per π, e i numeri sullo schermo devono stare poco sopra i trecento.

3. Un raggio di sei e un'altezza di otto, dove due risposte coincidono

   1. Apotema: √(36 + 64) = √100 = 10
   2. Volume: π × 36 × 8 ÷ 3 = 96π = 301,5928…, che arrotonda a 301,59
   3. Area laterale: π × 6 × 10 = 60π = 188,4955…, che arrotonda a 188,50
   4. Superficie totale: π × 6 × (10 + 6) = 96π = 301,5928…, che arrotonda a 301,59

   La riga della tabella qui sotto che viene segnalata come errore. Il volume e la superficie totale sono lo stesso numero, 301,59, e non è una colonna duplicata ma aritmetica: il volume viene novantasei π e anche la superficie totale viene novantasei π, perché con un apotema di dieci l'espressione πr(l + r) diventa π × 6 × 16, che è la stessa novantasei π del volume. Non sono la stessa grandezza — una è centimetri cubi e l'altra centimetri quadrati — quindi la coincidenza è nelle cifre e da nessun'altra parte. Succede perché questo particolare cono ha l'apotema uguale a otto e raggio e altezza che formano una terna; non è una regola, e le righe vicine non la condividono.

4. Un raggio uguale all'altezza

   1. Apotema: √(100 + 100) = √200 = 14,1421…, che arrotonda a 14,14
   2. Volume: π × 100 × 10 ÷ 3 = 1000π ÷ 3 = 1047,1975…, che arrotonda a 1047,20
   3. Area laterale: π × 10 × 14,14214 = 444,2883…, che arrotonda a 444,29
   4. Superficie totale: π × 10 × (14,14214 + 10) = 758,4479…, che arrotonda a 758,45

   Un cono alto quanto è largo lungo il raggio di base, il che rende il triangolo isoscele e l'apotema esattamente il raggio per la radice di due. Quella radice è irrazionale, quindi questo è il caso ordinario: un apotema che non finisce mai e due aree che lo seguono. È anche il caso in cui la formula del volume si legge più facilmente — mille π diviso tre — e in cui chi ha dimenticato il terzo atterra su 3141,59, che è esattamente tre volte troppo. Il fattore tre è l'errore più comune su questa pagina.

5. Un'altezza di zero

   1. Apotema: √(16 + 0) = 4, che è il raggio, perché la punta non è stata sollevata affatto
   2. Volume: π × 16 × 0 ÷ 3 = 0, perché non c'è altezza che gli dia un volume
   3. Area laterale: π × 4 × 4 = 16π = 50,2655…, che arrotonda a 50,27
   4. Superficie totale: π × 4 × (4 + 4) = 32π = 100,5310…, che arrotonda a 100,53

   Un valore di partenza legale che produce una riga sorprendente: il volume è zero e le altre tre risposte no. Un cono di altezza zero è un disco piatto — sopra la base non c'è nulla, quindi non contiene niente, ma la sua superficie curva non è sparita, si è appiattita in un secondo disco grande quanto la base, e l'area totale delle due facce è il doppio di un disco solo. Vale la pena vederlo una volta, perché un volume zero con tre risposte diverse da zero accanto sembra un calcolo fallito a metà e non lo è. È anche il valore che smaschera la scorciatoia descritta sopra: qui la superficie totale è πr² + πr², esattamente il doppio dell'area laterale, e una pagina che sommasse le due otterrebbe la stessa risposta su questa riga e una diversa sulla prima.

Ogni risultato è in centimetri, centimetri quadrati e centimetri cubi, qualunque cosa dicano i menu di input. Scegliere i pollici cambia il modo in cui i tuoi numeri vengono letti all'ingresso e nulla dei risultati, quindi un cono inserito come quattro pollici per sei pollici torna con un volume in centimetri cubi. È voluto e la tabella di riferimento segue la stessa convenzione, ma significa che la risposta va convertita se la volevi nell'unità che hai scritto. Il volume è espresso in centimetri cubi e non in litri o millilitri, che sono un'altra unità della stessa grandezza; se ti servono i litri dividi per mille, e se ti servono i millilitri il numero di centimetri cubi è il numero di millilitri. Tre delle quattro risposte contengono π e sono quindi irrazionali per quasi ogni valore di partenza, perciò due decimali sono un taglio e non una risposta completa. Le quattro risposte sono calcolate direttamente dal tuo raggio e dalla tua altezza e mai l'una dall'altra, quindi la superficie totale non è sempre l'area laterale sullo schermo più l'area di base sullo schermo: è la stessa espressione valutata in un passo solo, e ricostruirla dall'area laterale stampata può differire nell'ultima cifra. Questa pagina prende due misure e ne dà quattro; non risale da un volume a un raggio, e non ha una casella per l'apotema, quindi un cono di cui riesci a misurare il fianco ma il cui altezza è sepolta nel materiale non si può inserire qui così com'è. L'altezza è quella perpendicolare e non l'apotema, e la pagina non può accorgersi che le due sono state confuse: mettere un apotema nella casella dell'altezza dà quattro risposte tutte internamente coerenti e tutte sbagliate. Almeno uno dei due valori deve essere diverso da zero perché la risposta abbia senso, anche se entrambi possono essere zero se ti interessa l'aritmetica e non la figura. Infine questo è un cono circolare retto, con la punta esattamente sopra il centro della base; un cono inclinato da un lato, o con la base a forma di ellisse, è un altro solido e le formule di qui non gli si applicano.

Perché il volume è diviso per tre?

Perché un cono contiene esattamente un terzo di quello che contiene un cilindro sulla stessa base e della stessa altezza. Prendi l'area di base, moltiplicala per l'altezza e hai il volume di quel cilindro; il cono ne è un terzo. La stessa relazione vale tra una piramide e il prisma in cui starebbe, ed è il fattore più spesso dimenticato in questo calcolo: un risultato tre volte troppo grande è quasi sempre una divisione per tre mancante e non uno sbaglio di aritmetica.

L'altezza è la stessa cosa dell'apotema?

No, ed è l'errore che questa figura invita a fare più spesso. L'altezza si misura dritta dal centro della base fino alla punta. L'apotema si misura lungo la superficie, dalla punta fino al bordo, quindi è l'ipotenusa del triangolo formato dal raggio, dall'altezza e dal fianco, ed è sempre più lungo di entrambi. Il volume usa l'altezza. L'area laterale usa l'apotema. Confonderli produce una risposta sbagliata di un fattore che dipende da quanto è alto il cono, e la pagina non è in grado di accorgersene.

Come si calcola l'apotema?

È la radice quadrata del raggio al quadrato più l'altezza al quadrato, cioè il teorema di Pitagora applicato al triangolo che scende lungo il fianco del cono. Un raggio di tre e un'altezza di quattro danno un apotema esattamente pari a cinque, ed è per questo che sono i numeri con cui la pagina si apre: ogni passo è verificabile a mente. La maggior parte delle coppie di numeri non viene così pulita, e l'apotema è allora un numero irrazionale arrotondato a due decimali.

Perché la superficie totale non è semplicemente l'area laterale più la base?

Nell'aritmetica esatta lo è, e la pagina usa la forma combinata πr(l + r) invece di sommare due pezzi arrotondati separatamente. La differenza si vede nelle cifre stampate: l'area laterale viene arrotondata a due decimali prima ancora che tu la veda, quindi sommarla tu stesso all'area di base può atterrare a un centesimo dalla risposta che dà la pagina. Il numero della pagina è quello calcolato dal raggio e dall'apotema in un passo solo, ed è quello di cui fidarsi.

Perché la risposta è in centimetri se ho scritto in pollici?

Perché questa pagina riporta tutto in centimetri, centimetri quadrati e centimetri cubi a prescindere dai menu, così che i risultati e la tabella di riferimento sotto di loro vadano sempre d'accordo. Il menu cambia il modo in cui il tuo numero viene interpretato all'ingresso. Per convertire, dividi la lunghezza per 2,54, le aree per 6,4516 e il volume per 16,3871; oppure lascia la conversione alla fine e cambia l'unità della risposta, che di solito è meno lavoro.

Il raggio o l'altezza possono essere zero?

Sì, ed entrambi danno risposte vere invece che vuote. Mettere l'altezza a zero appiattisce il cono in un disco: il volume è zero perché sopra la base non c'è nulla, ma la superficie curva è semplicemente diventata un secondo disco, quindi l'area laterale è uguale all'area di base e la superficie totale è il doppio. Mettere il raggio a zero riduce il cono a un segmento verticale: volume e aree sono zero, mentre l'apotema è uguale all'altezza. Mettendo a zero entrambi si ottiene zero dappertutto.

• Cone — the solid formed by a circular base and an apex, with the volume one third of the base area times the height and the lateral area πrl, both of which this page evaluates; the entry traces the one-third result to Eudoxus, with later proofs by Archimedes in On the Sphere and Cylinder and by Euclid in Elements XII.10 — Wolfram MathWorld (United States)
• Pythagorean theorem — the relation that gives the slant height from the radius and the perpendicular height, since those two are the legs of the right triangle down the side of the cone — Wolfram MathWorld (United States)
• Pi — the constant in the volume and the two areas, and the reason three of the four answers on this page are irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)