Calcolatrice dell'area superficiale
Risultato
Superficie totale
Il calcolo dell'area superficiale risponde a una domanda molto pratica: quanto materiale servirebbe per rivestire un solido, quanta vernice per ricoprirlo, quanto cartone per inscatolarlo. Scegli la forma e dalle le misure che legge — un raggio per una sfera, un raggio e un'altezza per un cono o un cilindro, una lunghezza, una larghezza e un'altezza per una scatola rettangolare — e la pagina restituisce un solo numero in centimetri quadrati. Le quattro forme qui presenti sono quelle che coprono quasi ogni domanda di scuola e di officina. Una sfera è quattro π per il raggio al quadrato. Un cono è π per il raggio per il raggio più l'apotema, dove l'apotema è la distanza in linea retta dalla punta giù fino al bordo e si ricava con Pitagora dal raggio e dall'altezza. Un cilindro è due π per il raggio per il raggio più l'altezza, cioè i due cerchi di base più la superficie laterale distesa. Un prisma rettangolare è due volte la somma delle tre coppie di facce: lunghezza per larghezza, lunghezza per altezza, larghezza per altezza. Quattro forme, quattro formule, e le tabelle di riferimento qui sotto dicono quale è quale. La cosa da sapere prima di cominciare è che tutti e quattro i campi di lunghezza restano sullo schermo contemporaneamente e restano compilati quando cambi forma. È una scelta deliberata e non una dimenticanza: un modulo che nascondesse i campi che una forma non usa dovrebbe spostare le caselle sotto le tue mani ogni volta che cambi idea, e un modulo che li tenesse ma li ignorasse scarterebbe in silenzio un numero che avevi digitato. Così la pagina lascia ogni campo dov'è e legge solo quelli che servono alla forma selezionata, e la regola è semplice: una sfera legge il raggio e nient'altro, un cono e un cilindro leggono il raggio e l'altezza, e il prisma rettangolare legge la lunghezza, la larghezza e l'altezza. Il campo del raggio non viene letto dal prisma, e i campi di lunghezza e larghezza non vengono letti dalle altre tre: il valore che sta in un campo non letto non cambia nulla nella risposta. Le tabelle di riferimento rendono tutto questo concreto, perché la loro colonna della formula dice quale riga ha usato quale formula. Un'ultima cosa da sapere: la risposta è in centimetri quadrati indipendentemente dall'unità impostata nei menu a tendina, che è la regola fissa del lotto e vale per tutte le pagine attorno a questa.
Solidi rotondi raggiunti da un raggio e da un'altezza
| Formula | Raggio (cm) | Altezza (cm) | Area superficiale (cm²) |
|---|---|---|---|
| 4πr² | 3 | — | 113.1 |
| 4πr² | 5 | — | 314.16 |
| πr(r + l) | 3 | 4 | 75.4 |
| πr(r + l) | 5 | 12 | 282.74 |
| 2πr(r + h) | 3 | 4 | 131.95 |
| 2πr(r + h) | 5 | 12 | 534.07 |
| 4πr² | 1 | — | 12.57 |
| 2πr(r + h) | 1 | 2 | 18.85 |
Otto righe che coprono la sfera, il cono e il cilindro. La prima colonna è tutto il senso della tabella: una volta risolta la forma non resta nulla sulla riga che dica quale solido fosse, quindi è la formula a fare le veci del nome della forma. Fa anche una cosa che un nome non potrebbe fare, cioè dirti quale degli altri due numeri sulla riga è stato davvero usato: le due righe della sfera hanno un trattino nella colonna dell'altezza perché una sfera non ha altezza e quel campo non viene letto affatto. Le prime due righe sono la sfera con raggio 3 e 5, e il rapporto tra loro vale la pena di verificarlo: il raggio cresce di cinque terzi, l'area va con il quadrato del raggio, e cinque terzi al quadrato fa circa 2,78, che è esattamente il rapporto tra 314,16 e 113,10. L'area va con il quadrato del raggio, mai con il raggio. La terza riga è il cono 3-4-5 il cui apotema viene esattamente 5, e la quinta riga è il valore predefinito della pagina del cilindro: raggio 3, altezza 4, area superficiale 131,95, la stessa cifra che quella pagina stampa come suo totale. La settima riga è una sfera di raggio 1 a 12,57 centimetri quadrati, che è 4π ed è l'unica cifra della tabella a essere una costante familiare invece che una misura. L'ottava è un cilindro di raggio 1 e altezza 2 a 18,85, che è 6π. Ogni cifra qui è ricalcolata dal proprio raggio e dalla propria altezza quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i trattini vengono stampati così come sono. Nota sulle due convenzioni: i numeri dentro le celle di questa tabella sono generati automaticamente e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo qui sopra le stesse quantità sono scritte con la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due risultati diversi.
Scatole rettangolari raggiunte da una lunghezza, una larghezza e un'altezza
| Lunghezza (cm) | Larghezza (cm) | Altezza (cm) | Area superficiale (cm²) |
|---|---|---|---|
| 5 | 4 | 4 | 112 |
| 1 | 2 | 3 | 22 |
| 2 | 2 | 2 | 24 |
| 10 | 10 | 10 | 600 |
| 0.5 | 0.5 | 0.5 | 1.5 |
| 3 | 4 | 0 | 24 |
Sei scatole, e la prima riga è quella con cui la pagina si carica quando è selezionato il prisma rettangolare. La seconda riga è la scatola più piccola a numeri interi, uno per due per tre, a 22 centimetri quadrati: l'aritmetica lì è abbastanza breve da fare a mente, il che la rende la riga su cui verificare la formula: 2 × (2 + 3 + 6) = 22. La terza riga è un cubo di due centimetri di lato a 24, e la sesta è un foglio piatto tre per quattro con altezza zero, anch'esso a 24. La coppia è la cosa più utile di questa tabella, perché i due solidi non si somigliano per niente e condividono un numero: il cubo ha sei facce da quattro, e il foglio ha due facce da dodici e quattro che sono collassate. Un'area superficiale da sola non identifica una forma, e questa è la dimostrazione più economica che se ne possa dare. La quarta riga è un cubo di dieci centimetri di lato a 600 centimetri quadrati, che è la dimensione della scatola in cui arriva una risma di carta, e la quinta è mezzo centimetro di lato, dove i decimali cominciano a contare. Ogni cifra è esatta, dato che la formula del prisma non contiene π, e tutte e sei sono ricalcolate quando la pagina viene costruita. Nota sulle due convenzioni: le celle di questa tabella sono generate automaticamente e usano il punto come separatore decimale, mentre il testo qui sopra usa la virgola — è lo stesso numero scritto in due modi, non due risultati diversi.
Formula
Sfera: S = 4πr² Cono: S = πr(r + l), l = √(r² + h²) Cilindro: S = 2πr(r + h) Prisma rettangolare: S = 2(lw + lh + wh)
- Forma
- Quale solido stai rivestendo. Decide quale delle quattro formule viene eseguita e quindi quali dei campi di lunghezza qui sotto vengono davvero letti: una sfera usa il solo raggio, mentre il prisma rettangolare usa la lunghezza, la larghezza e l'altezza e ignora del tutto il raggio
- r
- Il raggio, in centimetri: la distanza dal centro della sfera alla sua superficie, oppure dal centro della faccia circolare al suo bordo per un cono o un cilindro. Viene letto da tre delle quattro forme e ignorato dal prisma rettangolare
- h
- L'altezza, in centimetri: la distanza perpendicolare dalla base alla faccia opposta per un prisma rettangolare, oppure dalla base su fino alla punta per un cono, oppure tra le due facce circolari per un cilindro. Ignorata dalla sfera, che non ha altezza
- l
- Due cose diverse, ed è l'unico punto in cui questa pagina ti chiede di leggere con attenzione. Nella formula del cono è l'apotema, la distanza in linea retta dalla punta giù lungo il fianco fino al bordo, ricavata dal raggio e dall'altezza con Pitagora. Nella formula del prisma è la lunghezza della scatola. La colonna della formula nella tabella di riferimento dice quale riga è quale
- lw, w e le altre lettere
- Le tre dimensioni del prisma rettangolare in centimetri: lunghezza, larghezza e altezza. Il prisma ha sei facce in tre coppie, e ogni coppia è uno dei tre prodotti: è per questo che la formula raddoppia la loro somma invece di sommare sei termini separati
- π
- Il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, circa 3,14159. Compare in tre delle quattro formule e non in quella del prisma, ed è il motivo per cui l'area superficiale di una scatola è spesso un numero esatto mentre quella di una sfera quasi mai
- Centimetri quadrati
- L'unità della risposta, sempre, qualunque unità sia impostata nei menu a tendina. L'area superficiale è una grandezza bidimensionale, quindi l'unità è quella dell'ingresso elevata al quadrato: un raggio in centimetri dà un'area in centimetri quadrati, e in questa pagina non c'è nessun passaggio al cubo
- Due cifre decimali
- La larghezza con cui è scritta la risposta. Due invece di quattro perché queste sono misure di oggetti e non coordinate su un piano: un raggio preso con un righello è già incerto ben oltre la terza cifra decimale
Il più delle volte la domanda riguarda il materiale, e la forma ti dice quale formula ti serve. Una palla, un globo o un palloncino sono una sfera e la domanda di solito è quanta stoffa o quanta vernice li copra. Un cappello da festa, un imbuto o un mucchio conico di sabbia sono un cono, e l'apotema è la misura che tutti dimenticano: non è l'altezza del cono ma la distanza lungo il suo fianco, e un cono di raggio 3 e altezza 4 ha un apotema esattamente di 5, che è Pitagora nella sua forma intera più piccola. Un barattolo, un tubo o un pilastro sono un cilindro, e lì la formula è quella che si può ricavare invece che imparare a memoria: due basi da πr² ciascuna più un fianco che si distende in un rettangolo largo 2πr e alto h. Una scatola, una cassa o una stanza sono un prisma rettangolare, e le sei facce in tre coppie sono tutta l'idea. Un avvertimento vale per tutte e quattro: area superficiale e volume non sono proporzionali, e raddoppiando ogni lunghezza l'area si moltiplica per quattro e il volume per otto, ed è per questo che un animale grande perde calore più in fretta di uno piccolo e che una scatola piccola costa in cartone più di quanto il suo contenuto lasci supporre.
Esempi svolti
Un cilindro di raggio 3 e altezza 4
- Le due basi: 2 × π × 3 × 3 = 56,548667…
- Il fianco disteso: 2 × π × 3 × 4 = 75,398223…
- Totale: 56,548667… + 75,398223… = 131,946891…, che arrotondato dà 131,95
- I campi della lunghezza e della larghezza non vengono letti dal cilindro, e il 5 e il 4 che ci stanno dentro non cambiano nulla
La forma con cui la pagina si carica, e la riga da confrontare con la pagina del cilindro, che restituisce 131,95 come area superficiale totale per lo stesso raggio e la stessa altezza. Due pagine, due strumenti, una cifra: eseguono la stessa formula, e vederle concordare è il punto. Il controllo che non richiede calcolatrice: le due basi valgono circa 28 ciascuna e il fianco si distende in un rettangolo largo circa 18,8 e alto 4, quindi il totale deve assestarsi poco sopra 130.
Un cono di raggio 3 e altezza 4
- Apotema: √(3² + 4²) = √25 = 5
- Base: π × 3 × 3 = 28,274333…
- Fianco curvo: π × 3 × 5 = 47,123889…
- Totale: 28,274333… + 47,123889… = 75,398223…, che arrotondato dà 75,4
Il triangolo 3-4-5 che fa il suo solito lavoro: con un raggio di 3 e un'altezza di 4 l'apotema viene esattamente 5, quindi l'aritmetica resta pulita dall'inizio alla fine. Questo è anche lo stesso 75,4 che la pagina del cilindro restituisce come area laterale per un raggio di 3 e un'altezza di 4, che è una coincidenza tra due solidi diversi e non una formula condivisa: il fianco del cono e il fianco del cilindro sono superfici diverse che qui capitano allo stesso numero.
Una sfera di raggio 3
- Quattro cerchi: 4 × π × 3 × 3 = 36π = 113,097335…
- Che arrotondato dà 113,1
- Viene letto solo il raggio; i campi dell'altezza, della lunghezza e della larghezza sono ignorati dalla sfera
L'area superficiale di una sfera è esattamente quattro volte l'area della sua sezione massima, ed è il fatto che vale la pena ricordare: un cerchio di raggio 3 vale 28,27, e quattro di quelli fanno 113,1. Il campo dell'altezza contiene ancora 4 dalla forma precedente e la pagina non se ne accorge, che è il comportamento descritto nell'introduzione e il motivo per cui viene descritto.
Un prisma rettangolare 5 per 4 per 4
- Sopra e sotto: 2 × 5 × 4 = 40
- Davanti e dietro: 2 × 5 × 4 = 40
- I due fianchi: 2 × 4 × 4 = 32
- Totale: 40 + 40 + 32 = 112 centimetri quadrati, esatto
L'unica delle quattro forme la cui risposta è di norma esatta, e l'unica che ignora il raggio. Dato che qui la lunghezza e l'altezza capitano uguali, due delle tre coppie di facce hanno la stessa dimensione, il che rende la somma facile da seguire: 40, 40 e 32. Il raggio di 3 che sta nel suo campo non gioca alcun ruolo.
Un cubo 2 per 2 per 2 e un prisma 3 per 4 per 0
- Sopra e sotto: 2 × 3 × 4 = 24
- Davanti e dietro: 2 × 3 × 0 = 0
- I due fianchi: 2 × 4 × 0 = 0
- Totale: 24 centimetri quadrati
La coppia da guardare insieme, perché un cubo di due centimetri di lato e un foglio piatto tre per quattro arrivano entrambi a 24 centimetri quadrati. Il cubo è 2 × 2 × 2 e dà 2 × (4 + 4 + 4) = 24; il secondo ha altezza zero, quindi quattro delle sue sei facce sono collassate a nulla e le due che restano sono quella superiore e quella inferiore. Stesso numero, solidi completamente diversi, e un promemoria che un'area superficiale da sola non identifica una forma.
Limiti
La risposta è sempre in centimetri quadrati, qualunque unità sia impostata nei menu a tendina. Scegliere i pollici cambia come vengono interpretati i tuoi numeri in ingresso e nulla di come viene mostrata la risposta. Tutti e quattro i campi di lunghezza restano sullo schermo per ogni forma, e quelli che la forma selezionata non legge vengono ignorati invece che svuotati, quindi un raggio rimasto lì da una sfera non cambia nulla in una scatola. La pagina non ti impedisce di lasciare un campo a un valore che andava bene per la forma precedente, e non ti avvisa che non l'ha usato. La colonna della formula nelle tabelle di riferimento è l'unico punto della pagina che dice quali numeri sono entrati in una riga, ed è per questo che c'è. Le due cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione. L'area superficiale del cono usa l'apotema e non l'altezza perpendicolare, e la pagina calcola l'apotema da sola a partire dal raggio e dall'altezza, quindi un cono misurato lungo il suo fianco inclinato non si può inserire così com'è. Le pagine del cilindro e del cono altrove su questo sito restituiscono cifre per alcuni degli stessi ingressi, e concordano con questa pagina perché eseguono le stesse formule: un disaccordo sarebbe un difetto e non un'opinione diversa. Qui non si gestisce una forma che non sia una delle quattro, né un contenitore aperto a cui mancano le basi, né un solido attraversato da un foro.
Domande frequenti
- Quali campi usa davvero ciascuna forma?
- La sfera legge il raggio e nient'altro. Il cono e il cilindro leggono il raggio e l'altezza. Il prisma rettangolare legge la lunghezza, la larghezza e l'altezza e ignora il raggio. Ogni campo resta sullo schermo e conserva quello che contiene, quindi un numero rimasto lì da una forma guardata prima non fa nulla. La colonna della formula nelle tabelle di riferimento è il modo più rapido per vedere quali numeri sono entrati in una data riga.
- Che cos'è l'apotema del cono e come si misura?
- È la distanza in linea retta dalla punta del cono giù lungo il suo fianco fino al bordo, ed è maggiore dell'altezza verticale a meno che il cono non sia piatto. Non devi misurarla: la pagina la ricava dal raggio e dall'altezza con il teorema di Pitagora, dato che raggio, altezza e apotema formano un triangolo rettangolo. Un cono di raggio 3 e altezza 4 ha un apotema esattamente di 5.
- Perché la risposta è in centimetri quadrati se ho digitato in pollici?
- Perché la risposta è un'uscita fissa in centimetri quadrati, scelta così che il pannello dei risultati e le tabelle di riferimento sotto di esso concordino sempre. I menu a tendina cambiano come vengono interpretate le tue misure in ingresso, non come viene scritta la risposta. Per convertire, dividi il risultato per 6,4516 se lo vuoi in pollici quadrati: oppure eleva al quadrato il fattore di conversione, dato che l'area scala con il quadrato della lunghezza.
- Perché un cubo di 2 cm di lato ha la stessa area superficiale di un foglio 3 per 4?
- Perché entrambi arrivano a 24 centimetri quadrati, e non c'è altro da aggiungere: il cubo ha sei facce da 4 ciascuna, e il foglio piatto ha due facce da 12 e quattro che sono collassate a nulla perché la sua altezza è zero. Un'area superficiale da sola non identifica una forma, e il secondo solido è un caso degenere che la pagina calcola volentieri invece di trattarlo come un errore.
- Le pagine del cilindro e del cono danno le stesse risposte di questa?
- Per le figure che si sovrappongono sì, ed è per progetto e non per caso: le tre pagine eseguono le stesse formule. Un cilindro di raggio 3 e altezza 4 ha qui un'area superficiale totale di 131,95, e la pagina del cilindro stampa gli stessi 131,95 come sua area superficiale totale, perché entrambe sommano le stesse due basi allo stesso fianco disteso.
- Posso calcolare quanto colore o quanto involucro mi serve?
- Sì, per un solido chiuso, ed è l'uso più comune della pagina. Due cose da tenere d'occhio: la risposta è tutto l'esterno, quindi un contenitore aperto richiede di sottrarre una faccia, e la cifra non tiene conto di sovrapposizioni, sfridi o spessore, per cui una stima pratica va arrotondata per eccesso invece che usata così com'è. L'area è in centimetri quadrati, quindi dividi per diecimila se la vuoi in metri quadrati.
Riferimenti
- Surface area — the area of the boundary of a solid, with the formulas for the sphere, the cone, the cylinder and the rectangular prism that this page implements — Wolfram MathWorld (United States)
- Cone — the solid whose lateral surface unrolls into a sector, and whose slant height is the hypotenuse of the right triangle formed by the radius and the height — Wolfram MathWorld (United States)
- Sphere — the surface at a fixed distance from a centre, whose area is exactly four times that of its great circle, the relation the sphere formula here states — Wolfram MathWorld (United States)