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CalcMax

Calcolatrice volume parallelepipedo

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

80,0000 cm³

Volume

Superficie totale
112,0000 cm²

Una calcolatrice del volume di un parallelepipedo prende i tre lati di una scatola rettangolare e restituisce due numeri: quanto spazio contiene e quanta superficie ha. Il solido in questione è quello che si chiama anche parallelepipedo rettangolo, cioè la forma di una scatola da scarpe, di un mattone, di una stanza, di un container: sei facce rettangolari, tutte le facce opposte uguali e tutti gli angoli retti. I tre lati si chiamano lunghezza, larghezza e altezza, e la cosa da notare è che i nomi non contengono nessuna informazione: scambiarli tra loro non cambia né il volume né la superficie, perché il solido è lo stesso. Sono solo tre numeri, e l'ordine in cui li scrivi è indifferente. Il volume è il prodotto dei tre. Vale la pena capire perché sia proprio un prodotto e non una somma, perché è il passaggio in cui si concentrano gli errori. Un lato da solo è una lunghezza, una linea. Due lati moltiplicati tra loro danno una superficie, che è quello che serve per misurare il pavimento di una stanza. Il terzo lato porta quella superficie in verticale e le dà uno spessore, e da lì nasce un volume. Ogni moltiplicazione aggiunge una dimensione, ed è il motivo per cui il risultato è in centimetri cubi e non in centimetri: il numero di fattori è il numero di dimensioni. La superficie totale è la somma delle aree delle sei facce, e la formula non le somma una per una perché non serve. Le facce opposte di una scatola sono identiche, quindi ci sono tre coppie e ogni coppia vale il prodotto dei suoi due lati: lunghezza per larghezza due volte, lunghezza per altezza due volte, larghezza per altezza due volte. Da lì il due che moltiplica tutta la somma tra parentesi. È una scorciatoia che vale la pena riconoscere, perché è lo stesso ragionamento che si fa per qualunque solido fatto di facce ripetute. Volume e superficie rispondono a due domande diverse e non vanno mai confusi: il volume dice quanta acqua ci sta dentro, la superficie dice quanto cartone serve a costruire la scatola. Una scatola può contenere molto e richiedere poco materiale, e viceversa, ed è per questo che le due risposte non sono proporzionali tra loro. La cosa si vede bene in due righe che la tabella qui sotto mette di proposito: un cubo di dieci centimetri di lato contiene mille centimetri cubi e ha seicento centimetri quadrati di superficie, mentre una scatola allungata di venti per quindici per dieci ne contiene tremila e ha milletrecento centimetri quadrati di superficie. Il volume è triplicato e la superficie è poco più che raddoppiata. Un ultimo motivo per cui i due numeri convivono in una pagina sola: le due risposte sono in unità diverse, centimetri cubi e centimetri quadrati, e sono l'unico posto in cui è facile scambiarle. Il volume cresce con il cubo di un ingrandimento, la superficie solo con il quadrato, e questa asimmetria è la ragione per cui una scatola grande costa meno materiale per litro di una piccola.

Scatole che è probabile incontrare, e quanto misurano

Lunghezza (cm)Larghezza (cm)Altezza (cm)Volume (cm³)Superficie totale (cm²)
11116
3456094
54480112
6810480376
1010101000600
1286576432
20151030001300
0.50.50.50.1251.5

Otto scatole, con i tre lati nelle prime tre colonne e le due risposte nelle ultime due. La prima riga è il cubo unitario, il solido con cui sono definite le unità: un centimetro per lato, volume uno e superficie sei. La seconda è la terna tre quattro cinque, quella in cui tutte e tre le facce distinte hanno diagonale intera, e vale come controllo perché i due risultati, sessanta e novantaquattro, non sono numeri memorabili. La terza riga è quella con cui la pagina si apre, con due lati uguali e quindi due sole facce distinte invece di tre. La quarta e la quinta sono il confronto più utile del gruppo: la quarta è un cubo di dieci centimetri di lato, con mille centimetri cubi dentro e seicento centimetri quadrati di superficie, e la quinta è una scatola allungata di venti per quindici per dieci, con tremila centimetri cubi dentro e milletrecento centimetri quadrati di superficie. Il volume è triplicato e la superficie è poco più che raddoppiata, ed è la relazione da tenere a mente quando si confrontano contenitori di dimensioni diverse: il volume cresce più in fretta della superficie, sempre. La sesta riga è la terna pitagorica raddoppiata, sei per otto per dieci, con quattrocentottanta centimetri cubi e trecentosettantasei centimetri quadrati, e la settima è una scatola da dodici per otto per sei che contiene cinquecentosettantasei centimetri cubi. L'ottava è un cubo da mezzo centimetro di lato, l'unica riga con i decimali: volume zero virgola centoventicinque e superficie uno virgola cinque, e serve a mostrare che le quattro cifre decimali della risposta non sono decorative. Le due risposte sono sempre in centimetri cubi e in centimetri quadrati, e sono ricalcolate dai tre lati quando la pagina viene costruita. Nelle celle di questa tabella il separatore decimale è il punto e nel testo della pagina è la virgola: sono la stessa quantità scritta in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

V = lwh S = 2(lw + lh + wh)

l
La lunghezza, in centimetri. È il lato più lungo della base nella maggior parte dei casi, ma non deve esserlo: qualunque assegnazione dei tre numeri alle tre caselle descrive lo stesso solido
w
La larghezza, in centimetri, cioè il secondo lato della base. È il lato che con la lunghezza forma il rettangolo d'appoggio, e insieme a lui determina l'impronta a terra della scatola
h
L'altezza, in centimetri, misurata perpendicolarmente alla base. È il terzo lato, e sul volume ha lo stesso ruolo degli altri due, mentre sulla superficie il suo effetto è diverso: raddoppiare l'altezza raddoppia il volume ma non raddoppia l'area
lwh
Il volume in centimetri cubi, cioè il prodotto dei tre lati. Tre fattori per tre dimensioni: è il conto che dice quanta materia ci sta dentro, e va letto in unità cubiche perché una lunghezza moltiplicata per sé stessa tre volte è un volume
lw, lh, wh
Le aree delle tre facce distinte, in centimetri quadrati: la base, la faccia frontale e la faccia laterale. Le altre tre facce sono le loro copie, quindi queste tre bastano a descrivere tutto l'esterno del solido
2(lw + lh + wh)
La superficie totale in centimetri quadrati, cioè il doppio della somma delle tre facce distinte. Il due esiste perché le facce opposte sono uguali e vanno contate entrambe: dimenticarlo è l'errore più frequente su questa formula
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui è scritto ogni risultato. È più di quanto serva nella maggior parte dei casi, perché i tre lati sono quasi sempre numeri interi e allora entrambe le risposte sono intere; ma i campi accettano anche i decimali, e una scatola da mezzo centimetro di lato produce cifre che vale la pena non perdere

Il caso più comune è la scatola da spedire, ed è anche il caso in cui servono entrambe le risposte. Il volume dice quanto spazio c'è dentro, quindi quanto materiale da imballaggio serve e con quale riempitivo arrivare al peso tassabile. La superficie dice quanto cartone serve a costruirla, e siccome il cartone si compra a fogli è la superficie, non il volume, a comparire in fattura. Spedire una scatola lunga e stretta invece che una cuba a parità di volume è una decisione che si prende con questi due numeri davanti. Il secondo caso è il contenitore: quanto tiene un acquario, un serbatoio rettangolare, una cassetta degli attrezzi, un vano bagagli, una scatola di stoccaggio. Qui è il volume che interessa, e la conversione in litri è una divisione per mille perché un decimetro cubo è un litro e un decimetro cubo è mille centimetri cubi. Il terzo caso è la pittura e la copertura, dove serve la superficie e non il volume: quante mani di vernice servono su una cassa di legno, quanta carta da parati per una stanza, quanto rivestimento per un container. Il quarto caso è meno ovvio ed è il motivo per cui questa pagina esiste separata da quella del cubo. Non tutti i numeri che si vogliono sapere su una scatola stanno nel volume, e la relazione tra i due risultati non è ovvia: raddoppiando tutti e tre i lati il volume diventa otto volte tanto e la superficie solo quattro volte tanto. Chi confronta due scatole della stessa forma ma di dimensioni diverse troverà quella più grande più efficiente in termini di materiale per unità di contenuto, e questo non è un'eccezione ma la regola. La tabella qui sotto contiene due righe scelte per rendere visibile proprio questo scarto.

Esempi svolti

  1. Cinque per quattro per quattro

    1. Volume: 5 × 4 × 4 = 80 centimetri cubi
    2. Superficie: 2 × (5×4 + 5×4 + 4×4) = 2 × (20 + 20 + 16) = 2 × 56 = 112 centimetri quadrati

    I valori con cui la pagina si apre, e un solido che vale la pena guardare perché due dei tre lati sono uguali: la faccia frontale e quella laterale hanno la stessa area, venti centimetri quadrati, e le facce distinte sono quindi solo due invece di tre. Ottanta centimetri cubi sono ottanta millilitri, poco meno di un terzo di litro, e la superficie di centododici centimetri quadrati è all'incirca un foglio A6 di cartone da piegare. Vale la pena notare che il volume non dice nulla su come sia distribuito: due scatole con lo stesso volume e la stessa superficie possono avere forme molto diverse.

  2. Tre per quattro per cinque

    1. Volume: 3 × 4 × 5 = 60 centimetri cubi
    2. Superficie: 2 × (3×4 + 3×5 + 4×5) = 2 × (12 + 15 + 20) = 2 × 47 = 94 centimetri quadrati

    Tre, quattro e cinque: il solido in cui tutte e tre le facce distinte hanno diagonali intere, ed è la ragione per cui questa terna compare in mezza dozzina di pagine di questo sito. Il volume viene sessanta e la superficie novantaquattro, e nessuno dei due è un numero particolarmente memorabile, il che rende questa riga utile come controllo: se una calcolatrice restituisce qualcosa di diverso da sessanta su questi tre lati, l'errore è nella calcolatrice e non nei numeri.

  3. Sei per otto per dieci

    1. Volume: 6 × 8 × 10 = 480 centimetri cubi
    2. Superficie: 2 × (6×8 + 6×10 + 8×10) = 2 × (48 + 60 + 80) = 2 × 188 = 376 centimetri quadrati

    La terna pitagorica raddoppiata, quindi un solido con le stesse proporzioni di quello precedente ma otto volte il volume e quattro volte la superficie. È il confronto più diretto che questa serie offre tra le due grandezze: raddoppiando tutti e tre i lati il volume è cresciuto di otto volte e la superficie solo di quattro. Il numero di fattori che si moltiplicano è quello che decide l'esponente, e da qui si vede perché il volume cresca più in fretta della superficie in ogni ingrandimento proporzionale.

  4. Dodici per otto per sei, la stessa scatola girata

    1. Volume: 12 × 8 × 6 = 576 centimetri cubi
    2. Superficie: 2 × (12×8 + 12×6 + 8×6) = 2 × (96 + 72 + 48) = 2 × 216 = 432 centimetri quadrati

    Questa è la riga precedente con i lati riassegnati e le proporzioni cambiate: la stessa quantità di lati, lo stesso prodotto, nessuna delle due risposte uguale. Il punto è che i nomi lunghezza, larghezza e altezza non significano niente per il calcolo. Una scatola da dodici per otto per sei è la stessa scatola di una da sei per otto per dodici, appoggiata su un'altra faccia, e il volume resta cinquecentosettantasei in entrambi i casi. Se le due risposte cambiassero girando la scatola, ci sarebbe un errore nella formula.

  5. Un'altezza di zero, la scatola schiacciata

    1. Volume: 5 × 5 × 0 = 0, perché un'altezza di zero non lascia spazio dentro
    2. Superficie: 2 × (5×5 + 5×0 + 5×0) = 2 × (25 + 0 + 0) = 2 × 25 = 50 centimetri quadrati
    3. Cioè due facce da venticinque centimetri quadrati e quattro facce di area zero

    Un valore di partenza legale che produce una risposta sorprendente: volume zero e superficie cinquanta. Un solido alto zero è un quadrato piatto, senza interno, quindi non contiene nulla; ma la sua superficie non è sparita, si è ridotta a due facce sovrapposte da venticinque centimetri quadrati ciascuna, e le quattro facce laterali si sono azzerate. Un volume zero con una superficie diversa da zero accanto sembra un calcolo riuscito a metà e non lo è: è un caso limite corretto, e vale la pena vederlo una volta perché è il tipo di risultato che si incontra quando si misura una scatola vuota e si dimentica di alzare un lato.

Limiti

Tutto è in centimetri, centimetri quadrati e centimetri cubi, qualunque cosa dicano i menu accanto ai tre campi. Scegliere i pollici cambia il modo in cui i tuoi numeri vengono letti all'ingresso e nulla del modo in cui la risposta viene scritta, quindi una scatola inserita come cinque pollici per quattro per quattro torna con un volume in centimetri cubi, non in pollici cubi. Il volume non viene convertito in litri o in millilitri, che sono un'altra unità della stessa grandezza: per i litri dividi il risultato per mille, perché un litro è un decimetro cubo e un decimetro cubo è mille centimetri cubi. La pagina non calcola la diagonale del solido né quella delle facce, che sono due grandezze diverse e non compaiono in nessuna delle due formule: la diagonale della faccia è la radice della somma dei quadrati di due lati, quella del solido coinvolge tutti e tre, e chi ha bisogno di far passare un'asta dentro una scatola cerca la seconda e non la trova qui. La pagina non calcola nemmeno il volume di un solido che non sia una scatola rettangolare: un cilindro, una sfera o una scatola con gli angoli smussati hanno formule diverse, e questa pagina non se ne accorge. I tre lati devono essere non negativi e il campo rifiuta i valori negativi, perché un lato negativo non descrive un solido; lo zero invece è ammesso e dà i due casi limite descritti negli esempi. I tre lati sono completamente interscambiabili e la pagina non lo verifica né lo segnala: chiamare altezza un lato che sta in orizzontale non produce nessun errore, perché entrambe le formule sono simmetriche rispetto ai tre argomenti. Infine le due risposte sono in unità di dimensioni diverse — centimetri cubi e centimetri quadrati — e non sono confrontabili tra loro né proporzionali l'una all'altra; raddoppiare tutti e tre i lati moltiplica il volume per otto e la superficie per quattro, e chi si aspetta lo stesso fattore su entrambe le risposte troverà la pagina in disaccordo con le proprie aspettative e in accordo con la geometria.

Domande frequenti

Che differenza c'è tra volume e superficie?
Il volume dice quanto spazio c'è dentro il solido e si misura in centimetri cubi. La superficie dice quanto materiale serve a rivestirlo e si misura in centimetri quadrati. Una scatola da spedire ha bisogno di entrambe le risposte: il volume per sapere quanto riempitivo ci sta, la superficie per sapere quanto cartone serve a costruirla. Non sono proporzionali tra loro, perché ingrandendo la scatola il volume cresce con il cubo delle dimensioni e la superficie solo con il quadrato.
Perché la formula della superficie ha un due davanti?
Perché le facce opposte di una scatola sono identiche, quindi ci sono tre coppie di facce uguali e non sei facce diverse. Le tre aree distinte sono lunghezza per larghezza, lunghezza per altezza e larghezza per altezza; ognuna compare due volte sul solido, una per lato, ed è per questo che la loro somma va moltiplicata per due. Dimenticare quel due è l'errore più frequente su questa formula, e dà una superficie esattamente pari alla metà di quella giusta.
L'ordine dei tre lati cambia il risultato?
No, e vale la pena dirlo perché è la prima cosa che si prova a fare. Una scatola da dodici per otto per sei è esattamente la stessa scatola di una da sei per otto per dodici, appoggiata su un'altra faccia, e sia il volume sia la superficie restano gli stessi. I nomi lunghezza, larghezza e altezza servono solo a indicare le tre caselle e non contengono nessuna informazione geometrica: qualunque assegnazione dei tre numeri alle tre caselle descrive un solido diverso solo se i numeri sono diversi.
Come si converte il volume in litri?
Dividendo per mille. Un litro è un decimetro cubo, e un decimetro cubo è mille centimetri cubi, quindi la conversione è esatta e non ha nulla a che vedere con l'arrotondamento della risposta. Cinquecentosettantasei centimetri cubi sono zero virgola cinquecentosettantasei litri, cioè poco più di mezzo litro. Il numero di centimetri cubi è anche il numero di millilitri, quindi la divisione per mille è tutto quello che serve per passare da una scala all'altra.
Perché mi servono quattro cifre decimali se i lati sono interi?
Perché i campi accettano anche valori con la virgola, e in quel caso le due risposte smettono di essere intere. Un cubo da mezzo centimetro di lato ha un volume di zero virgola centoventicinque centimetri cubi e una superficie di un centimetro e mezzo, e sono numeri che con due soli decimali si arrotonderebbero perdendo informazione. Quando i tre lati sono interi il volume è un intero e la superficie è un intero pari, quindi le quattro cifre non fanno danno: restano zeri.
Si può usare per un cilindro o per una sfera?
No. Questa pagina misura solo scatole rettangolari, con sei facce rettangolari e tutti gli angoli retti. Un cilindro, una sfera, un cono e una scatola con gli angoli smussati hanno formule diverse e non si ottengono da questa. In particolare la pagina non ti avvisa se i tre numeri che scrivi descrivono qualcosa che non è una scatola: qualunque terna di valori non negativi viene accettata e produce due risposte aritmeticamente corrette, che però non descrivono un solido diverso da quello che le formule presuppongono.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'area superficialeArea superficiale di sfere, coni, cilindri e prismi.Calcolatrice del volume dell'acquarioLitri e galloni che entrano in una vasca dalle sue misure.Calcolatrice del volume del cilindroVolume di un cilindro, aree delle basi e superficie laterale.Calcolatrice del rettangoloArea, perimetro e diagonale di un rettangolo: base e altezza.