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CalcMax

Calcolatrice del rettangolo

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

12,0000 cm²

Area

Perimetro
14,0000 cm
Diagonale
5,0000 cm

Una calcolatrice del rettangolo prende la lunghezza e la larghezza di un rettangolo e ne restituisce tre misure: l'area, il perimetro e la diagonale. Nulla su questa pagina sorprenderà chi è passato per la scuola, ed è proprio questo il punto: il rettangolo è la figura in cui i tre tipi di misura di cui si occupa tutta questa famiglia di pagine si distinguono con la massima chiarezza, perché tutti e tre partono dagli stessi due dati e tutti e tre si comportano in modo diverso quando quei dati cambiano. L'area è la lunghezza moltiplicata per la larghezza e risponde alla domanda su quanta superficie copre il rettangolo. Il perimetro è il doppio della somma di lunghezza e larghezza e risponde alla domanda su quanto bordo ha la figura, cioè la domanda che ti fai quando compri una cornice o una striscia di bordura. La diagonale è la radice quadrata della somma dei quadrati della lunghezza e della larghezza e risponde alla domanda su quanto dista un angolo da quello opposto, cioè la domanda che ti fai quando controlli se qualcosa passerà da una porta o attraverserà una stanza. Le prime due sono formule da scuola. La terza è il teorema di Pitagora, e vale la pena accorgersi che qui è lui a fare il lavoro: la diagonale taglia il rettangolo in due triangoli rettangoli, la lunghezza e la larghezza sono i due cateti e la diagonale è l'ipotenusa, ed è per questo che il risultato è la radice di una somma di quadrati invece di qualcosa di più semplice. Il calcolo della diagonale è anche l'unico dei tre che quasi mai esce esatto: è una radice quadrata, quindi di solito si porta dietro una coda di cifre. Se conosci già due lati di un triangolo rettangolo sai già usare questa pagina; se non li conosci, la pagina del teorema di Pitagora qui accanto è dove quella relazione viene spiegata da sola.

Rettangoli comuni, da un 4 per 3 a uno schiacciato

Lunghezza (cm)Larghezza (cm)Area (cm²)Perimetro (cm)Diagonale (cm)
4312145
5525207.0711
6424207.2111
125603413
10101004014.1421
100505000300111.8034
00000
700147

Otto rettangoli, e la prima riga è quella con cui la pagina si apre. La colonna da leggere con attenzione è quella del perimetro, perché si ripete: la prima e l'ultima riga arrivano entrambe a 14, e la seconda e la terza arrivano entrambe a 20. Non è un errore di aritmetica nella tabella, è il fatto che il perimetro non fissa una forma: il 5 per 5 e il 6 per 4 hanno la stessa quantità di bordo e aree e diagonali ben diverse, ed è per questo che la pagina chiede due numeri invece di uno. La quarta riga è il rettangolo 5-12-13, l'unico qui i cui tre risultati sono tutti numeri interi, e quello da tenere accanto al 4 per 3 come secondo controllo. La quinta riga è un quadrato 10 per 10, dove la diagonale è 14,1421: una radice quadrata che non finisce mai, e la risposta corretta per un quadrato di quella dimensione. La sesta riga è volutamente grande, per mostrare l'area che scappa via dalle altre due: a 100 per 50 l'area è 5000 ma il perimetro è solo 300 e la diagonale 111,8, perché l'area va con il quadrato della dimensione mentre le altre due vanno con la dimensione stessa. L'ultima riga è un rettangolo schiacciato a larghezza zero, dove l'area è 0 e il perimetro è ancora 14. Nelle celle di questa tabella il separatore decimale è il punto e nel testo è la virgola: sono la stessa quantità scritta in due modi, non due risposte diverse. Ogni numero qui è ricalcolato dalla sua lunghezza e larghezza quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi che usa il pannello dei risultati.

Formula

A = l × w P = 2(l + w) d = √(l² + w²)

Lunghezza
Il più lungo dei due lati, in centimetri. La pagina non controlla che sia davvero il più lungo: scambiare le due caselle dà esattamente le stesse tre risposte, perché ogni formula di questa pagina tratta lunghezza e larghezza allo stesso modo
Larghezza
L'altro lato, in centimetri, ad angolo retto rispetto alla lunghezza. Insieme alla lunghezza fissa il rettangolo del tutto: due numeri indipendenti sono quello che serve a un rettangolo, dove un quadrato ne basta uno e un triangolo ne servono tre
Area
La superficie che il rettangolo copre, in centimetri quadrati: è la formula dell'area, lunghezza × larghezza. È l'unico dei tre risultati che cresce con il quadrato della dimensione invece che con la dimensione stessa: raddoppia entrambi i lati e l'area diventa quattro volte più grande
Perimetro
La distanza lungo tutto il bordo, in centimetri: il doppio della somma di lunghezza e larghezza, una volta per ciascuna delle due coppie di lati. È la misura che ti serve per tutto ciò che corre lungo il bordo, ed è anche quella che dice meno sulla forma, perché rettangoli molto diversi condividono lo stesso perimetro
Diagonale
La distanza in linea retta da un angolo a quello opposto, in centimetri. È l'ipotenusa del triangolo rettangolo formato dalla lunghezza e dalla larghezza, ed è sempre il segmento più lungo che sta dentro il rettangolo
l² + w²
La somma dei due quadrati, calcolata prima della radice e non dopo. È il teorema di Pitagora nella forma in cui il rettangolo lo usa, ed è la ragione per cui la diagonale è un po' più lunga della lunghezza ma mai lunga quanto la lunghezza più la larghezza
Quattro cifre decimali
La larghezza con cui viene scritto ogni risultato. L'area e il perimetro sono esatti ogni volta che lo sono i due dati di partenza, la diagonale quasi mai: essendo una radice quadrata si porta dietro una fila di cifre, e quattro decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione

I tre risultati rispondono a tre domande pratiche diverse sullo stesso oggetto, e capire quale ti serve è già metà del lavoro. Pavimenti, vernice, prato e tessuto si comprano ad area, quindi è quella la colonna da leggere quando il rettangolo è una superficie. Battiscopa, bordure, cornici, recinzioni e finiture si comprano a lunghezza, quindi quello è il perimetro: e vale la pena sapere che il perimetro da solo non identifica la forma, per cui una stanza di 4 per 3 e una striscia di 7 per 0 hanno la stessa quantità di battiscopa, cosa vera e inutile nella stessa misura. La diagonale serve quando il rettangolo deve passare dentro o attraverso qualcosa: un vano di porta, una cornice da squadrare, uno schermo che viene venduto per diagonale invece che per lati, o l'oggetto rigido più lungo che può stare disteso in una scatola. È anche il modo più rapido per verificare che un rettangolo sia davvero squadrato: misura le due diagonali di qualunque cosa debba essere rettangolare e, se coincidono, gli angoli sono di 90 gradi. È il trucco che i carpentieri usano sulle stanze e i corniciai sui passe-partout.

Esempi svolti

  1. Un rettangolo 4 per 3

    1. Area: 4 × 3 = 12
    2. Perimetro: 2 × (4 + 3) = 14
    3. Diagonale: √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

    Il dato con cui la pagina si apre, e l'unico rettangolo le cui tre risposte sono tutti numeri interi piccoli. È il triangolo 3-4-5 piegato a metà lungo la sua ipotenusa, ed è per questo che i conti vengono puliti: la diagonale di questo rettangolo è uno dei più antichi triangoli rettangoli interi che esistano. Se controlli a mano una sola riga di questa pagina, controlla questa: ogni passaggio è aritmetica che puoi fare senza calcolatrice.

  2. Un quadrato, 5 per 5

    1. Area: 5 × 5 = 25
    2. Perimetro: 2 × (5 + 5) = 20
    3. Diagonale: √(5² + 5²) = √50 = 7,0710678…, che arrotonda a 7,0711

    Un rettangolo i cui lati sono per caso uguali: è un quadrato, ma non ha bisogno di una pagina diversa. Metti lo stesso numero in entrambe le caselle e le tre formule danno le risposte giuste. La diagonale è 5√2, una radice quadrata che non finisce mai, ed è per questo che la calcolatrice del quadrato qui accanto stampa lo stesso 7,0711 per un lato di 5. Due pagine, un numero, ed è lo stesso numero di proposito.

  3. Un rettangolo 6 per 4

    1. Area: 6 × 4 = 24
    2. Perimetro: 2 × (6 + 4) = 20
    3. Diagonale: √(36 + 16) = √52 = 7,2111025…, che arrotonda a 7,2111

    La riga da tenere accanto a quella sopra: questo rettangolo è più lungo e più stretto del 5 per 5, copre un po' meno superficie — 24 contro 25 — e ha esattamente lo stesso perimetro di 20, ma la sua diagonale è 7,2111 contro 7,0711. Stessa quantità di bordo, forma diversa, e la diagonale è il risultato che se ne accorge. È tutto qui il motivo per cui un perimetro da solo descrive male un rettangolo.

  4. Il rettangolo 5-12-13

    1. Area: 12 × 5 = 60
    2. Perimetro: 2 × (12 + 5) = 34
    3. Diagonale: √(144 + 25) = √169 = 13

    L'altro triangolo rettangolo intero di questa pagina, e più grande del primo. Vale la pena ricordare un rettangolo 5-12-13 come secondo controllo accanto al 3-4-5, perché è abbastanza grande da far emergere un errore di scala: un rettangolo di 12 per 5 metri è una stanza plausibile, e la sua diagonale di esattamente 13 metri è una misura che puoi verificare con la fettiera invece che con la formula.

  5. Un rettangolo senza larghezza

    1. Area: 7 × 0 = 0
    2. Perimetro: 2 × (7 + 0) = 14
    3. Diagonale: √(49 + 0) = 7

    Una larghezza di zero è ammessa, e i tre risultati che ne escono sono tutti corretti e significano tutti una cosa diversa. Il rettangolo è stato schiacciato fino a diventare un segmento: non copre nessuna area, quindi l'area è 0; non ha una diagonale vera e propria, quindi la diagonale si accascia sulla lunghezza stessa, a 7; e il perimetro resta 2 × 7 = 14, cioè la distanza lungo il segmento e ritorno, due volte. Un perimetro per una figura senza area sembra un errore e non lo è.

Limiti

La pagina è solo per i rettangoli: quattro lati, quattro angoli retti, lati opposti uguali. Un parallelogramma che non sia un rettangolo ha la stessa struttura due-dentro-tre-fuori ma una diagonale diversa, e la pagina del parallelogramma qui accanto è quella che se ne occupa. I risultati sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque unità sia scelta nel menu a tendina, quindi una lunghezza inserita in pollici torna indietro come una risposta in centimetri che devi convertire da solo. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione: l'area e il perimetro sono esatti quando lo sono i dati di partenza, mentre la diagonale è una radice quadrata e le sue ultime due cifre non significano nulla se i dati di partenza non erano esatti. La pagina non controlla quale dei due dati sia il più lungo, e non ne ha bisogno: ogni formula qui è simmetrica in lunghezza e larghezza, quindi scambiarle dà le stesse tre risposte e nessun avviso. Una larghezza di zero è accettata e produce un insieme di risposte reale, anche se degenere; la pagina non la tratta come una casella vuota. Qui non c'è nulla che gestisca un rettangolo con gli angoli arrotondati, un rettangolo disegnato su una superficie curva, o lo spessore di un pannello o di una trave a sezione rettangolare, che è una terza dimensione per cui questa pagina non ha un campo.

Domande frequenti

Ha importanza quale lato metto nella casella della lunghezza?
No. Ogni formula di questa pagina tratta lunghezza e larghezza allo stesso modo: l'area le moltiplica, il perimetro le somma e la diagonale le eleva al quadrato e le somma, quindi scambiare le due caselle dà esattamente le stesse tre risposte. La pagina non controlla quale sia la più lunga, e non ne ha bisogno. Se ti è più comodo tenere le idee chiare mettendo sempre prima il numero più grande, è un'abitudine e non un obbligo.
Perché la diagonale è più lunga della lunghezza ma più corta della lunghezza più la larghezza?
Perché è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che la diagonale ritaglia, quindi è la radice quadrata della lunghezza al quadrato più la larghezza al quadrato. Elevare al quadrato, sommare e poi estrarre la radice dà sempre qualcosa in mezzo alle due: più grande di ciascun lato da solo, perché prima della radice hai sommato una quantità positiva, e più piccolo della somma dei due lati, perché il quadrato di una somma è maggiore della somma dei quadrati. La differenza fra la diagonale e la somma dei due lati è quello che risparmi tagliando in diagonale invece di girare intorno.
Il perimetro viene uguale per due rettangoli diversi. È un difetto?
No, e la tabella è disposta in modo da mostrarlo due volte: 4 per 3 e 7 per 0 hanno entrambi un perimetro di 14, e 5 per 5 e 6 per 4 hanno entrambi un perimetro di 20. Il perimetro fissa quanto bordo ha un rettangolo, non la sua forma: molti rettangoli diversi condividono lo stesso perimetro pur avendo aree e diagonali diverse. Se ti serve descrivere un rettangolo per intero ti servono due numeri, ed è esattamente per questo che la pagina ne chiede due.
Posso usarla per controllare se un angolo è squadrato?
Sì, ed è il trucco più vecchio che ci sia. Misura entrambe le diagonali di ciò che stai controllando. Se sono uguali, i quattro angoli sono retti e hai un rettangolo; se non lo sono, hai un parallelogramma o una figura con un angolo storto, e la diagonale più lunga sta dal lato dell'angolo ottuso. Su una stanza grande è più facile confrontare due diagonali misurate che provare a misurare un angolo di 90 gradi, ed è per questo che i muratori fanno così.
Perché una larghezza di zero dà un perimetro di 14 invece di nulla?
Perché un rettangolo schiacciato è comunque una figura, solo degenere. Schiacciarlo a larghezza zero lo trasforma in un segmento lungo 7, che non copre nessuna area: l'area è 0 e la diagonale si accascia sulla lunghezza. La formula del perimetro non se ne cura: il doppio della somma di lunghezza e larghezza è il doppio di 7, cioè la distanza lungo il segmento e ritorno, una volta per ciascuno dei due lati lunghi che ora stanno uno sopra l'altro. La risposta è reale, e la pagina tratta lo zero come un dato e non come una casella vuota.
In che cosa è diversa dalla calcolatrice del quadrato?
Un quadrato è un rettangolo con i lati uguali, quindi tutto quello che c'è qui funziona anche su un quadrato: metti lo stesso numero in entrambe le caselle e le tre risposte sono giuste. La differenza è la direzione della domanda. Questa pagina prende due numeri e dà le risposte; la pagina del quadrato prende uno qualsiasi fra lato, perimetro e area e ricava gli altri, perché un quadrato ha un solo grado di libertà e un rettangolo ne ha due. Usa questa pagina quando conosci entrambi i lati, e quella del quadrato quando conosci una sola misura e vuoi le altre.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del quadratoLato, perimetro o area di un quadrato, più la diagonale.Calcolatrice area parallelogrammaArea e perimetro di un parallelogramma da basi e altezza.Calcolatrice del perimetroPerimetro delle figure piane più comuni dai loro lati.Calcolatrice dell'area del trapezioArea di un trapezio dalle due basi e dall'altezza.