Calcolatrice dell'area del trapezio
Risultato
Area
Una calcolatrice dell'area del trapezio prende i due lati paralleli e la distanza fra loro e restituisce quanta superficie copre la figura, in centimetri quadrati. Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: quei due sono le basi, e tutto il resto discende da loro. La formula è la media delle due basi moltiplicata per l'altezza, e la media è la parte che vale la pena capire, perché spiega perché questa pagina è più generale di quelle che le stanno accanto. Prendi un trapezio e copialo, gira la copia di mezzo giro e unisci le due lungo uno dei lati obliqui: quello che esce è un parallelogramma la cui base è la somma delle due basi e la cui altezza è rimasta la stessa. La quota del trapezio è la metà di quella, che è come dire la media delle due basi per l'altezza. Quando le due basi sono uguali, farne la media non cambia niente e la formula si riduce a base per altezza, cioè al parallelogramma. Quando una delle due è zero, la media è la metà dell'altra e la formula diventa quella del triangolo. Quindi un trapezio non è una figura bizzarra che aveva bisogno di una regola propria: è il caso generale, e le altre due sono quello che diventa alle estremità. C'è una cosa da sapere prima di iniziare a digitare, e fa risparmiare parecchio tempo: non importa quale base scrivi in quale casella. La formula somma le due prima di fare qualsiasi altra cosa, quindi un trapezio appoggiato sul lato più lungo e lo stesso trapezio appoggiato sul lato più corto danno la stessa risposta, e una base superiore più lunga di quella inferiore non è un errore: significa solo che la figura è capovolta. La parola che invece richiede attenzione è altezza. È la distanza perpendicolare fra le due basi, non la lunghezza di uno dei lati obliqui, per la stessa ragione per cui lo è nella pagina del triangolo.
L'area di un trapezio dai suoi due lati paralleli e dalla distanza fra loro
| Base superiore (cm) | Base inferiore (cm) | Altezza (cm) | Area (cm²) |
|---|---|---|---|
| 6 | 10 | 4 | 32 |
| 5 | 9 | 6 | 42 |
| 3 | 7 | 2 | 10 |
| 8 | 8 | 5 | 40 |
| 0 | 10 | 4 | 20 |
| 12 | 4 | 7 | 56 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 1 | 9 | 10 | 50 |
Otto trapezi e quattro colonne, e due delle righe sono la ragione per cui la pagina esiste. La quarta è la riga del parallelogramma: due basi di 8 con un'altezza di 5 danno 40, che è quello che la pagina del parallelogramma stampa per la stessa figura, quindi questa tabella e quella si incontrano su quella riga. La quinta è la riga del triangolo: una base superiore di 0 con una base inferiore di 10 e un'altezza di 4 dà 20, che è quello che la pagina del triangolo dà quando inserisci una base di 10 e un'altezza di 4. Lette insieme, quelle due righe dicono che il trapezio è il caso generale e che le altre figure ne sono le estremità. La prima riga è la coppia con cui la pagina si carica, e la sesta è la sua immagine allo specchio: una base superiore di 12 su una base inferiore di 4 è una figura che sta in piedi sul lato più lungo, e scambiare le due voci porta ugualmente a 56 — provaci e guarda la risposta rifiutarsi di cambiare. La settima è un parallelogramma piccolo, due basi di 2 con un'altezza di 3, che la formula generale gestisce senza alcun caso speciale. Ogni valore qui è ricalcolato dai suoi tre ingressi quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.
Formula
A = (a + b) ÷ 2 × h
- a
- Una delle due basi parallele, in centimetri. Quale chiami a e quale b non ha importanza: le due basi vengono sommate, quindi scriverle al contrario dà lo stesso risultato
- b
- L'altra base parallela, in centimetri. Può essere più lunga o più corta di a; una base superiore più lunga di quella inferiore è soltanto la figura capovolta
- h
- La distanza perpendicolare fra le due basi, in centimetri: misurata ad angolo retto rispetto a entrambe, mai lungo un lato obliquo
- (a + b) ÷ 2
- La media delle due basi, e tutto il trucco della formula. L'area di un trapezio si comporta come se la figura fosse un rettangolo la cui larghezza è la media delle due basi
- Due
- Il divisore, e la ragione per cui questa pagina contiene le altre due figure. Quando le basi sono uguali il dimezzamento e la media si annullano e torna base per altezza; quando una base è zero la media vale la metà dell'altra e compare il dimezzamento del triangolo
- Area
- Quanta superficie racchiude il trapezio, in centimetri quadrati: sempre questa unità, qualunque cosa dicano i menu a tendina
- Quattro cifre decimali
- Quanto è larga la lettura. Dimezzare la somma di due basi è esatto quando le basi sono centimetri interi, quindi una frazione compare solo se ce l'hanno gli ingressi stessi
Qualunque cosa abbia la forma di un trapezio e venga prezzata o coperta in base all'area. I tetti sono il caso classico e la ragione per cui la figura ha un nome nel vocabolario di ogni artigiano: un tetto a padiglione, una testata a due falde vista di lato, il trapezio fra due abbaini, sono tutti questa formula, e le coperture si ordinano al metro quadrato. Il terreno è l'altro caso storico. Un appezzamento con due lati paralleli e due che non lo sono è un trapezio, e un appezzamento con più lati di così si taglia di solito in trapezi e triangoli, che è come i geometri misurano il suolo irregolare da molto prima che esistessero le calcolatrici. Al di là di quei due è la stessa figura che ricompare ogni volta che una cosa è più larga a un'estremità che all'altra: un vialetto che si allarga, una striscia di terra fra due strade che divergono, un pannello fonoassorbente, un tratto di canalizzazione che si allarga, un piano di tavolo trapezoidale, la faccia di una diga, un canale di scolo. Vale la pena conoscerla anche per una ragione che non ha niente a che vedere con i trapezi. Dato che il caso delle basi uguali dà il parallelogramma e il caso della base nulla dà il triangolo, questa sola formula copre l'area di ogni quadrilatero con una coppia di lati paralleli: se ricordi solo questa, hai le altre due in regalo, e anche il rettangolo. È in questo senso che la pagina è quella generale.
Esempi svolti
Una base superiore di 6, una base inferiore di 10 e un'altezza di 4
- Somma le due basi: 6 + 10 = 16
- Dimezza per ottenere la larghezza media: 16 ÷ 2 = 8
- Moltiplica per l'altezza: 8 × 4 = 32
La coppia con cui la pagina si carica. È anche la riga buona per mostrare che l'ordine delle basi non conta: metti 10 nella casella superiore e 6 in quella inferiore, e viene di nuovo 32. I due valori vengono sommati prima che succeda qualsiasi altra cosa, quindi le caselle non sono davvero una superiore e una inferiore: sono semplicemente i due lati paralleli.
Una base superiore di 12, una base inferiore di 4 e un'altezza di 7
- Somma le due basi: 12 + 4 = 16
- Dimezza: 16 ÷ 2 = 8
- Moltiplica per l'altezza: 8 × 7 = 56
Un trapezio la cui base superiore è più lunga di quella inferiore, il che non è un errore e non è una figura diversa in alcun modo che conti: significa solo che la figura sta in piedi sul lato più lungo. Dato che le due basi vengono sommate prima di ogni altra cosa, inserire 4 sopra e 12 sotto porta agli stessi 56. Prova in entrambi i modi e guarda la risposta rifiutarsi di cambiare.
Una base superiore di 8 e una base inferiore di 8
- Somma le due basi: 8 + 8 = 16
- Dimezza: 16 ÷ 2 = 8
- Moltiplica per l'altezza: 8 × 5 = 40
La riga del parallelogramma. Quando le due basi sono uguali non resta niente da mediare, e la formula fa quello che fa la pagina del parallelogramma: base per altezza, 40. Il dimezzamento e la media si annullano esattamente a vicenda, ed è per questo che questa pagina contiene quella figura invece di farle concorrenza.
Una base superiore di 0 e una base inferiore di 10
- Somma le due basi: 0 + 10 = 10
- Dimezza: 10 ÷ 2 = 5
- Moltiplica per l'altezza: 5 × 4 = 20
La riga del triangolo, e l'altra estremità della formula. Una base superiore di zero significa che la figura è stata schiacciata fino a un punto, quindi è un triangolo con una base di 10 e un'altezza di 4, e la pagina del triangolo dà 20 esattamente per quei due numeri. La media fra 0 e 10 è 5, che è la metà della base, cioè il dimezzamento del triangolo che arriva dall'altra direzione.
Una base superiore di 1, una base inferiore di 9 e un'altezza di 10
- Somma le due basi: 1 + 9 = 10
- Dimezza: 10 ÷ 2 = 5
- Moltiplica per l'altezza: 5 × 10 = 50
Una striscia stretta sopra una molto più larga, che è l'aspetto reale di un appezzamento che si restringe o di una canalizzazione che si allarga. La media fra 1 e 9 è 5, e 5 è anche la media fra 0 e 10: è lo stesso fatto della riga precedente, visto da un'altra coppia di numeri. Qui non è servito nessun decimale e non è stato arrotondato niente.
Limiti
Questa pagina calcola l'area e nient'altro. Non dà il perimetro, i lati obliqui, l'altezza o gli angoli, e non risale da un'area a una misura mancante: un'area da sola non determina un trapezio, quindi non c'è niente a cui risalire. L'altezza è la distanza perpendicolare fra le due basi e non la lunghezza di un lato obliquo; se l'unica misura che hai corre lungo uno dei lati obliqui, è il numero sbagliato per questa casella. Le due basi e l'altezza devono essere nella stessa unità, e il risultato è sempre in centimetri quadrati qualunque cosa dicano i menu a tendina, quindi una figura misurata in pollici torna come un numero in centimetri quadrati che va diviso per 6,4516 per essere letto in pollici quadrati. La figura deve avere esattamente una coppia di lati paralleli: un quadrilatero generale senza lati paralleli va spezzato in triangoli, e una figura con due coppie di lati paralleli è un parallelogramma, che questa pagina calcola comunque ma che ha una pagina propria. Un trapezio disegnato su una superficie curva è fuori portata, e così il volume di un solido con facce trapezoidali.
Domande frequenti
- Qual è la base maggiore e quale la base minore?
- In questa pagina non c'è differenza pratica. I due lati paralleli vengono sommati prima di ogni altra cosa, quindi chiamare una base maggiore e l'altra base minore serve solo a descrivere la figura, non a decidere dove scriverle. Se la base superiore risulta più lunga di quella inferiore, la figura è semplicemente capovolta e il risultato non cambia di una cifra.
- Che cosa è esattamente l'altezza?
- La distanza perpendicolare fra i due lati paralleli, misurata ad angolo retto rispetto a entrambi. Non è la lunghezza di uno dei lati obliqui, che è sempre maggiore quando la figura pende. È lo stesso avvertimento che sta nella pagina del triangolo, e per la stessa ragione: inserire un lato obliquo dà un'area più grande che sembra del tutto plausibile.
- Perché esiste la pagina del parallelogramma se questa lo copre?
- Perché quasi nessuno che vuole l'area di un parallelogramma lo pensa come a un trapezio con due basi uguali, e obbligarlo a quel passaggio è fatica senza vantaggio. Le due pagine concordano esattamente: dai a questa due basi di 8 e un'altezza di 5 e ottieni 40, che è quello che la pagina del parallelogramma stampa per la stessa figura. La sovrapposizione è voluta, e la tabella di ciascuna delle due pagine ha una riga che insiste su quel punto.
- E se una delle basi è zero?
- Allora il trapezio è stato schiacciato fino a un punto ed è un triangolo, e la risposta è corretta. Una base superiore di zero con una base inferiore di 10 e un'altezza di 4 dà 20, lo stesso 20 che la pagina del triangolo dà per una base di 10 e un'altezza di 4, perché è la stessa figura. Lo zero viene trattato come un valore vero e non come una casella vuota; lasciare vuota una casella è diverso e non mostra alcun risultato.
- Posso ricavare una base mancante dall'area?
- Non dall'area da sola. Un'area non determina un trapezio: esistono infiniti trapezi con la stessa area e lati molto diversi, quindi non c'è niente su cui tornare indietro. Se conosci l'area, l'altezza e una delle due basi, allora l'altra base segue dalla formula riorganizzandola, ma è un calcolo che faresti a mano e non qualcosa che questa pagina offre.
- Funziona anche per una figura con due coppie di lati paralleli?
- Dà il numero giusto, sì, perché una figura con due coppie di lati paralleli è un parallelogramma, e si è già visto che questa formula si riduce a base per altezza quando le due basi sono uguali, che è esattamente il caso del parallelogramma. Ma una figura così ha una pagina propria, e usarla è di solito più chiaro che trattare un rettangolo come un trapezio.
Riferimenti
- Trapezoid — the shape, the vocabulary of bases and legs, and the area formula this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — what a trapezoid becomes when its two bases are equal, and the base-times-height result it collapses into — Wolfram MathWorld (United States)
- Quadrilateral — the family this shape belongs to, and where the trapezoid sits in it relative to the parallelogram and the rectangle — Wolfram MathWorld (United States)