Calcolatrice del trapezio

A = ((a + b) ÷ 2) × h P = a + b + c + d x = (c² − d² + Δ²) ÷ (2Δ) h = √(c² − x²)

a, b

I due lati paralleli, in centimetri: le basi. Può essere più lunga l'una o l'altra; la pagina lavora sulla loro differenza e non le importa quale tu chiami superiore. La loro media, (a + b) ÷ 2, moltiplicata per l'altezza, è l'area: è la formula su cui è costruita tutta la pagina

c, d

I due lati obliqui, in centimetri: i lati che non sono paralleli. Le loro lunghezze decidono se la figura esiste, perché insieme devono coprire la differenza fra le basi. Non devono essere uguali — un trapezio con lati obliqui di 5 e 4 è del tutto ordinario — e quando lo sono la figura si dice isoscele e l'altezza è semplicemente la radice quadrata del lato obliquo al quadrato meno metà differenza fra le basi al quadrato

Δ

La differenza fra le due basi, |b − a|, in centimetri. È la base del triangolo che i due lati obliqui e le due basi racchiudono, ed è la grandezza che decide in quale dei tre casi ti trovi: più corta di quanto i lati obliqui riescano a coprire, esattamente al limite, o più lunga di quanto possano raggiungere. Quando vale 0 — basi uguali — la figura è un parallelogramma e i quattro lati smettono di determinarne l'altezza, ed è per questo che la pagina segnala un errore invece di rispondere

x

Dove cade l'altezza lungo la differenza fra le basi, in centimetri: la distanza da un estremo della differenza al piede della perpendicolare. Deriva dal teorema del coseno applicato al triangolo di lati c, d e Δ, e la pagina la usa solo per arrivare all'altezza. Può cadere fuori dall'intervallo da 0 a Δ, ed è quello che succede quando un lato obliquo pende verso l'esterno oltre l'estremo della base più corta: la figura resta un trapezio e l'aritmetica continua a funzionare

h

L'altezza, in centimetri: la distanza perpendicolare fra le due basi parallele, e il numero che serve alla formula dell'area. Esce uguale alla radice quadrata di c² − x² ed è stampata con quattro decimali. Dato che è la radice di una differenza, il caso in cui i lati obliqui non coprono la differenza fra le basi è il caso in cui il numero sotto la radice diventerebbe negativo: è per questo che la pagina verifica prima la disuguaglianza triangolare, invece di lasciare che la radice produca un valore senza senso

A, P

L'area in centimetri quadrati e il perimetro in centimetri. L'area è la media delle basi per l'altezza, che è lo stesso che metà della loro somma per l'altezza: un trapezio e un rettangolo della stessa altezza coprono la stessa superficie quando la larghezza del rettangolo è la media delle due basi. Il perimetro è la somma dei quattro lati e non chiama in causa l'altezza in nessun passaggio

Usa questa pagina quando quello che hai sono i quattro bordi. È il caso consueto per un terreno: un appezzamento con due lati paralleli e due che non lo sono, misurato percorrendone il confine con il metro a nastro, dove le basi e i lati obliqui si misurano facilmente e l'altezza perpendicolare no — per averla dovresti attraversare il lotto, cosa che in pendenza o in mezzo a una coltura è esattamente ciò che non puoi fare. È anche il caso di un pannello tagliato su un disegno che dà quattro bordi e nessuna altezza, e quello del controllo di una figura che qualcun altro ha specificato: inserisci i quattro lati e vedi se descrivono davvero un trapezio. La settima riga della tabella è quella da guardare per quel controllo: lati obliqui di 4 e 2 con basi di 10 e 4 danno un'altezza di 0, perché la differenza di 6 è esattamente quanto i due lati obliqui sommano e la figura si è piegata in piano. Accorcia anche uno solo dei due e la pagina segnala un errore. Usa la calcolatrice dell'area del trapezio quando hai le due basi e l'altezza e non i lati obliqui, dato che prende direttamente quella coppia e salta il passaggio intermedio. Usa la calcolatrice dell'area del parallelogramma quando le due basi sono uguali, perché allora la figura è un parallelogramma e i quattro lati di questa pagina smettono di determinarla. E usa la calcolatrice dell'area del triangolo quando la base più corta è 0: un triangolo è un trapezio con una base nulla, e la quarta riga della tabella qui sotto è il triangolo rettangolo 6-8-10 trovato per quella via, con un'area di 24.

1. Basi di 4 e 10 con lati obliqui di 5 e 5

   1. Differenza fra le basi: 10 − 4 = 6
   2. I due lati obliqui sono uguali, quindi se ne prendono metà ciascuno: 6 ÷ 2 = 3
   3. Altezza: √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Media delle basi: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Area: 7 × 4 = 28
   6. Perimetro: 4 + 10 + 5 + 5 = 24

   La riga con cui la pagina si apre, e quella da rifare a mano, perché i numeri sono il triangolo 3-4-5 travestito: un lato obliquo di 5 e metà della differenza fra le basi, 3, danno un'altezza di 4 esatta. L'altezza è anche l'unica grandezza che non si legge dai quattro lati, ed è tutto qui il senso della pagina. Confronta l'area con il rettangolo che ha la stessa altezza e larghezza 7 — la media delle basi — e ottieni gli stessi 28 centimetri quadrati: è il modo più pulito per vedere perché la formula dimezza la somma invece di fare qualcosa di più ingegnoso.

2. Basi di 7 e 10 con lati obliqui di 5 e 4

   1. Differenza fra le basi: 10 − 7 = 3
   2. I lati obliqui sono diversi, quindi la differenza si divide in modo disuguale: (25 − 16 + 9) ÷ (2 × 3) = 18 ÷ 6 = 3
   3. Altezza: √(25 − 9) = √16 = 4
   4. Media delle basi: (7 + 10) ÷ 2 = 8,5
   5. Area: 8,5 × 4 = 34
   6. Perimetro: 7 + 10 + 5 + 4 = 26

   Un trapezio scaleno, dove i due lati obliqui hanno lunghezza diversa e l'altezza cade altrove che a metà della differenza fra le basi. La risposta dice che il lato obliquo di 4 centimetri sta verticale fra gli estremi destri delle due basi — la distanza x esce uguale all'intera differenza di 3, quindi l'altro lato obliquo non ne prende nulla — che è quello che fa una coppia di lati obliqui disuguali; l'altezza esce poi uguale alla lunghezza di quel lato stesso. L'altezza viene comunque esattamente 4, quindi questa riga e la prima hanno la stessa altezza e aree diverse, 28 e 34 centimetri quadrati, solo perché le loro basi differiscono. È un promemoria del fatto che i quattro lati di un trapezio lavorano tutti: la stessa altezza di 4 sta qui su due coppie di basi diverse, quindi sono loro quattro insieme, e non l'altezza da sola, a fissare l'area.

3. Basi di 0 e 10 con lati obliqui di 6 e 8

   1. Differenza fra le basi: 10 − 0 = 10
   2. Lati obliqui disuguali: (36 − 64 + 100) ÷ (2 × 10) = 72 ÷ 20 = 3,6
   3. Altezza: √(36 − 12,96) = √23,04 = 4,8
   4. Media delle basi: (0 + 10) ÷ 2 = 5
   5. Area: 5 × 4,8 = 24
   6. Perimetro: 0 + 10 + 6 + 8 = 24

   Un triangolo vestito da trapezio: con una base nulla la figura si chiude in un triangolo, e i numeri qui sono il triangolo rettangolo 6-8-10, la cui area di 24 centimetri quadrati è la stessa risposta che dà la calcolatrice dell'area del triangolo. L'aritmetica ricorda che la formula del trapezio contiene dentro di sé quella del triangolo: con una base a zero la media delle basi diventa metà dell'altra base, che è esattamente il fattore del triangolo. Il perimetro di una figura con un lato di lunghezza nulla è semplicemente la somma degli altri tre, che qui fa anche 24: una coincidenza di questi numeri, non una regola.

4. Basi di 4 e 10 con lati obliqui di 4 e 2

   1. Differenza fra le basi: 10 − 4 = 6
   2. I due lati obliqui sommano a 4 + 2 = 6, esattamente la differenza
   3. Altezza: i lati obliqui riescono appena a coprire la differenza, quindi l'altezza è 0
   4. Media delle basi: (4 + 10) ÷ 2 = 7
   5. Area: 7 × 0 = 0
   6. Perimetro: 4 + 10 + 4 + 2 = 20

   Il confine di ciò che la pagina accetta, e la ragione per cui controlla i lati obliqui prima di estrarre una radice. Qui i due lati obliqui sommano esattamente alla differenza fra le basi, quindi giacciono entrambi distesi sulla base più lunga, le due basi finiscono una sopra l'altra e la figura non racchiude nulla. La pagina risponde 0 invece di rifiutare, perché quei quattro lati descrivono davvero una figura: una figura piatta. Accorcia di un centimetro uno dei due lati obliqui e non esiste più alcun trapezio, ed è quello il caso segnalato come errore, sulla base del fatto che un numero negativo sotto una radice quadrata non è un'altezza.

Questa pagina calcola l'area, il perimetro e l'altezza di un trapezio a partire dai suoi quattro lati, e nient'altro. Non dà gli angoli, le diagonali, la lunghezza della mediana né la posizione dell'altezza lungo le basi, tutte cose che i quattro lati determinano comunque: la pagina semplicemente non le riporta, e la diagonale di un trapezio in particolare richiede una seconda applicazione della stessa aritmetica triangolare che la pagina fa già al proprio interno. Non funziona all'indietro: non c'è una via da un'area ai lati che la producono, e un trapezio con un'area assegnata ha infinite descrizioni in termini di quattro lati. Le uscite sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque unità sia stata inserita, perché i menu a tendina convertono ogni lato in centimetri prima dell'aritmetica. La pagina presume che la figura sia un trapezio con esattamente una coppia di lati paralleli e che i due lati che inserisci come basi siano la coppia parallela: scambia una base con un lato obliquo e la pagina calcolerà l'altezza di un'altra figura senza segnalare alcun errore, perché quattro numeri che formano un triangolo valido con la differenza fra le basi danno sempre una risposta. Entrambe le basi sono trattate come lunghezze che non possono essere negative. Basi uguali sono segnalate come errore invece che risolte, il che è deliberato ma vale la pena saperlo: in quel caso la figura è un parallelogramma e la sua altezza davvero non è determinata dai quattro lati, quindi una pagina che restituisse un numero se lo starebbe inventando. La pagina non dice in quale dei tre casi degeneri ti trovi al di là del messaggio di errore: un trapezio piegato con altezza 0 riceve risposta, mentre lati obliqui troppo corti per coprire la differenza fra le basi vengono rifiutati, e fra i due casi c'è la differenza di un centimetro su un solo lato obliquo. Le quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione condivisa con le altre pagine di area di questa sotto-categoria, non una dichiarazione di precisione: un lato misurato al centimetro sposta l'altezza più della quarta cifra decimale. Qui non si tiene conto di sfridi, scarti di taglio o terreno irregolare, quindi l'area restituita è quella della figura così com'è descritta e non la quantità di materiale da ordinare.

Come si trova l'area di un trapezio dai suoi quattro lati?

Prima si trova l'altezza, poi si fa la media delle basi e si moltiplica. Le due basi differiscono di una certa quantità Δ; quella differenza, insieme ai due lati obliqui, forma un triangolo, e l'altezza del trapezio è l'altezza di quel triangolo. Per basi di 4 e 10 con lati obliqui di 5 e 5: la differenza è 6, ogni lato obliquo ne prende 3, l'altezza è √(25 − 9) = 4, la media delle basi è 7 e l'area è 28 centimetri quadrati.

Perché la pagina rifiuta alcune quaterne di lati?

Perché la maggior parte delle quaterne di lati non descrive un trapezio. I due lati obliqui devono riuscire a coprire la differenza fra le basi, esattamente come i due lati minori di un triangolo devono riuscire a coprire il maggiore. Basi di 10 e 4 differiscono di 6, quindi lati obliqui di 4 e 2 arrivano appena — l'altezza è 0 — mentre lati di 3 e 2 non possono coprire 6 in alcun modo, e una tale figura non esiste. La pagina lo segnala invece di restituire un numero negativo dalla radice quadrata.

E se le due basi sono lunghe uguali?

Allora la figura è un parallelogramma, e i suoi quattro lati non lo determinano più. Lati di 5, 5, 6 e 6 descrivono un rettangolo di 6 per 5 con altezza 5, e anche una figura inclinata quasi fino a schiacciarsi con un'altezza vicina a zero: stessi quattro lati, aree diverse. Questa pagina segnala un errore invece di sceglierne una al posto tuo. La calcolatrice dell'area del parallelogramma prende invece una base e un'altezza e risponde direttamente a quella domanda.

Che cos'è un trapezio isoscele e in che modo semplifica le cose?

È un trapezio i cui due lati obliqui sono uguali. La differenza fra le basi si divide allora in parti uguali fra i due lati, quindi ogni lato obliquo e metà della differenza formano un triangolo rettangolo, e l'altezza è √(lato obliquo² − (Δ ÷ 2)²). Con basi di 4 e 10 e lati obliqui uguali, Δ è 6, la sua metà è 3 e un lato obliquo di 5 dà √(25 − 9) = 4. La prima riga della tabella è questo caso, e la sua figura è simmetrica: i due angoli alla base sono uguali, e così le due diagonali.

Il triangolo è un caso particolare di trapezio?

Aritmeticamente sì, quando una delle basi è 0. La media delle basi diventa allora metà della base rimasta, e la formula dell'area si trasforma in metà base per altezza, che è la formula del triangolo. Inserisci una base superiore di 0 con lati obliqui di 6 e 8 e una base inferiore di 10 e la pagina restituisce 24 centimetri quadrati, la stessa risposta che la calcolatrice dell'area del triangolo dà per un triangolo 6-8-10. Che poi un triangolo conti come trapezio è una questione di definizione, ma alla formula non importa.

Perché l'altezza non è uno dei quattro lati?

Perché in un trapezio non è affatto un lato: è la distanza perpendicolare fra le due basi parallele, e sta dentro la figura invece che sul suo bordo. È l'unica grandezza che non puoi ottenere facendo il giro del bordo con il metro, ed è per questo che una pagina come questa è utile: ricava l'altezza dai quattro lati che puoi misurare. L'altezza coincide con il lato obliquo più corto solo nel caso degenere in cui quel lato sta perpendicolare a entrambe le basi.

• Trapezoid — the four-sided figure with one pair of parallel sides that this page describes, including the area formula based on the average of the bases and the relations between the sides and the height — Wolfram MathWorld (United States)
• Isosceles Trapezoid — the case where the two legs are equal, where the base difference splits evenly and the height is the square root of the leg squared minus half the difference squared — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle — the figure the two legs and the difference between the bases form, and the source of the triangle inequality that decides whether four given sides describe a trapezoid at all — Wolfram MathWorld (United States)