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Calcolatrice del volume della piramide

Intervallo: 0 cm² – 1.000.000.000.000.000.000 cm²

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

48,00 cm³

Volume

Una calcolatrice del volume della piramide prende l'area della base e l'altezza della piramide e restituisce il volume che racchiude: area di base per altezza, diviso tre. È la formula più corta di questo sito e quella che contiene la costante più sorprendente. Tre piramidi identiche entrano esattamente in un prisma con la stessa base e la stessa altezza, qualunque poligono sia la base — un quadrato, un triangolo, un esagono — ed è da lì che viene la divisione per tre: per questo il volume di una piramide è un terzo di quello che conterrebbe una scatola con la stessa impronta e la stessa altezza. Vale la pena tenere a mente questo rapporto, perché trasforma una domanda difficile in una facile: se sai calcolare il volume del prisma, conosci già quello della piramide. La pagina chiede la base come area e non come lunghezza dei suoi spigoli, e la scelta è deliberata. La base di una piramide può essere un poligono qualsiasi — un quadrato, un triangolo, un paralume esagonale, la base a cinque lati di una tenda — e la formula usa la base soltanto attraverso la sua area, quindi chiedere due spigoli limiterebbe la pagina alle basi rettangolari senza accorciare di un passaggio i calcoli. Di conseguenza la pagina non può dare l'apotema della piramide, cioè la distanza dal vertice al centro di uno spigolo scendendo lungo una faccia: quella dipende dalla forma della base e non solo dalla sua area, e una base lunga e stretta e una compatta con la stessa area hanno apotemi molto diversi. Misurare l'area della base è di solito un passaggio separato, e le calcolatrici per l'area di rettangoli, quadrati, triangoli e cerchi sono tutte su questo sito; questa pagina prende il risultato di quel passaggio e fa la parte tridimensionale. Due esempi fissano la scala dei numeri. Una piramide con una base di 36 centimetri quadrati e un'altezza di 4 ha un volume di 48 centimetri cubi, e un prisma con la stessa base e la stessa altezza ne contiene tre volte tanti, 144. E la più grande piramide mai costruita, la Grande Piramide di Giza, ha una base di circa 52.900 metri quadrati — 230 metri di lato — e un'altezza di circa 146,6 metri, il che dà all'incirca 2,6 milioni di metri cubi di pietra. È la scala alla quale la divisione per tre smette di essere una curiosità e diventa la differenza tra un mucchio di roccia e una montagna. La tabella qui sotto parte da una base di un centimetro quadrato e arriva a quella piramide, e l'ultima riga è la più piccola risposta legittima della pagina: una piramide senza base o senza altezza non ha volume, che è un risultato e non un errore.

Piramidi da una base di un centimetro quadrato alla Grande Piramide di Giza

Area di base (cm²)Altezza (cm)Volume (cm³)
36448
110.33
1009300
48348
10012400
25001210000
529000000146602585046666666.67
000

Sette piramidi e una vuota. La prima riga è la misura con cui la pagina si carica. La terza è quella su cui provare l'aritmetica, perché ogni numero è esatto: una base di 100 centimetri quadrati con un'altezza di 9 ha un volume di 300, e una scatola con la stessa base e la stessa altezza ne contiene 900 — il prisma è sempre esattamente tre volte la piramide, su ogni riga di questa tabella. La seconda riga è dove la divisione per tre si fa scoprire: una base di 1 e un'altezza di 1 danno 0,33, che è un terzo, ed è il motivo per cui questa pagina stampa due cifre decimali e non quattro. La quinta e la sesta riga sono la stessa piramide in due scale, e l'ultima è la Grande Piramide di Giza, la cui base di 529.000.000 centimetri quadrati è 52.900 metri quadrati — 230 metri di lato — e la cui altezza di 14.660 centimetri è 146,6 metri. Quella riga è in centimetri cubi perché è l'unità della pagina; divisa per un milione è 2,585 milioni di metri cubi di pietra. La riga finale è tutta di zeri, cioè una piramide senza base o senza altezza, ed è una risposta e non un errore. Ogni cella viene ricalcolata dalla sua riga quando la pagina viene costruita, in centimetri quadrati e centimetri cubi. I numeri della tabella sono quelli restituiti dal calcolo e non testo scritto a mano: il separatore decimale lì è il punto (0.33 invece di 0,33) e le migliaia non sono raggruppate (529000000 invece di 529.000.000), mentre nel testo qui sopra si usa la convenzione italiana. Sono lo stesso numero scritto in due modi, non due risposte diverse.

Formula

V = A × h ÷ 3

A
L'area della base, in centimetri quadrati. È un'area e non una coppia di spigoli perché la base può essere un poligono qualsiasi: la formula usa la base solo per quanta superficie copre, quindi una base quadrata di 36 centimetri quadrati e una base esagonale di 36 centimetri quadrati danno lo stesso volume alla stessa altezza. Calcolare l'area è un passaggio a parte, e le calcolatrici per l'area di rettangoli, triangoli, cerchi e poligoni regolari sono tutte su questo sito
h
L'altezza perpendicolare, in centimetri: la distanza in linea retta dal piano della base fino al vertice, misurata ad angolo retto rispetto alla base. Non la lunghezza di uno spigolo obliquo e non la distanza misurata scendendo al centro di una faccia. È l'unica misura di una piramide che non si può prendere con un metro steso sulla superficie, ed è quella su cui si sbaglia più spesso: lo spigolo obliquo è sempre più lungo dell'altezza, perché è l'ipotenusa di un triangolo che ha per cateti l'altezza e metà diagonale della base
V
Il volume, in centimetri cubi. È un terzo di quello che conterrebbe un prisma con la stessa base e la stessa altezza, che è tutto il contenuto della formula: tre copie della piramide riempiono il prisma esattamente, qualunque sia la forma della base. È stampato con due cifre decimali invece di quattro perché la divisione per tre è l'unica operazione di questa famiglia che trasforma numeri interi in decimali periodici — una base di 1 e un'altezza di 1 danno 0,3333 e la lettura utile è che si tratta di un terzo
÷ 3
La costante che rende una piramide tale. Nasce dal fatto che tre piramidi congruenti si compongono in un prisma di uguale base e uguale altezza, quindi la piramide è esattamente un terzo del prisma — non approssimativamente, e non solo per le basi quadrate. È la stessa divisione della pagina del cono, dato che un cono è una piramide con il cerchio come base

Usa questa pagina quando hai una piramide e vuoi sapere quanto contiene o quanto materiale c'è dentro, e quando riesci a esprimere la base come un'area. Quest'ultima condizione è quella che decide se la pagina è giusta. Se la base è un quadrato o un rettangolo e ne conosci i due lati, l'aritmetica è breve abbastanza da farla a mente e le calcolatrici di area di questo sito ti danno la base in un passaggio; se la base è un esagono o un pentagono, o un contorno irregolare che hai misurato in un altro modo, è qui che va inserita quell'area. La formula è anche il controllo più rapido su qualunque oggetto a forma di piramide: qualunque sia la base, la forma contiene un terzo di quello che conterrebbe una scatola con la stessa impronta e la stessa altezza. Vale la pena applicarlo prima di credere a una cifra qualsiasi — un tetto a piramide su un'impronta di 100 metri quadrati e alto 9 metri racchiude 300 metri cubi d'aria, mentre lo stesso tetto tirato su fino a diventare una scatola a facce piane ne racchiuderebbe 900, e la differenza tra quei due numeri è il motivo per cui i tetti a piramide hanno l'aspetto che hanno. Due usi minori meritano una riga. Ricavare una piramide da un blocco pieno è una domanda di volume sugli scarti: una piramide scolpita in un blocco lascia indietro due terzi del blocco, che è la differenza più evidente tra il tagliare una forma dal materiale e il colarla. E riempire una piramide — una tramoggia, un silo per il grano, un mucchio di ghiaia a forma di cono, una clessidra — è questa pagina con la base uguale all'area del pavimento, dove la risposta è la capacità e la stessa risposta la darebbe una pagina del cono per una forma tonda. Se la piramide non ha le facce dritte, o il vertice non cade sopra il centro della base, la pagina vale lo stesso: la formula del volume usa soltanto l'altezza perpendicolare e l'area della base, e una piramide inclinata con la stessa base e la stessa altezza contiene esattamente quanto una diritta, che è un fatto davvero sorprendente e anche molto utile.

Esempi svolti

  1. Una base di 36 centimetri quadrati e un'altezza di 4

    1. Base per altezza: 36 × 4 = 144
    2. Divisione per tre: 144 ÷ 3 = 48

    È l'input con cui la pagina si carica, e la riga che mostra il rapporto su cui è costruita la formula: un prisma con la stessa base e la stessa altezza conterrebbe 144 centimetri cubi, e la piramide ne contiene esattamente un terzo. Vale la pena ricordare entrambi i numeri, perché passare dall'uno all'altro è una sola moltiplicazione o divisione e la cifra del prisma è di solito molto più facile da controllare a occhio rispetto alla dimensione dell'oggetto.

  2. Una base di 1 e un'altezza di 1

    1. Base per altezza: 1 × 1 = 1
    2. Divisione per tre: 1 ÷ 3 = 0,33333…, che arrotonda a 0,33

    La piramide unitaria, e il motivo per cui questa pagina stampa due cifre decimali dove la pagina del parallelepipedo ne stampa quattro. Uno diviso tre è 0,3333 con quattro decimali, che sembra la misura di qualcosa arrivata a tre decimillesimi; 0,33 si legge per quello che è, un terzo di qualcosa. È tutto l'argomento a favore di una larghezza più stretta qui: la divisione per tre è l'unica operazione di questa famiglia che produce in modo affidabile un decimale periodico, e più cifre non aggiungono nessuna informazione.

  3. Una base di 100 e un'altezza di 9

    1. Base per altezza: 100 × 9 = 900
    2. Divisione per tre: 900 ÷ 3 = 300

    La riga su cui verificare l'intera pagina, perché tutti e tre i numeri sono esatti e la versione con il prisma è evidente: una scatola con una base di 100 centimetri quadrati e un'altezza di 9 contiene 900 centimetri cubi, e la piramide ne contiene 300. Se un tetto a piramide coprisse 100 metri quadrati a 9 metri di altezza racchiuderebbe 300 metri cubi d'aria, che è il genere di cifra che decide quanto volume d'aria un edificio deve riscaldare.

  4. La Grande Piramide di Giza

    1. Area della base in centimetri quadrati: 230 m × 230 m = 52.900 m², cioè 529.000.000 cm²
    2. Altezza in centimetri: 146,6 m = 14.660 cm
    3. Base per altezza: 529.000.000 × 14.660 = 7.755.139.999.999,999…, cioè 7,75514 × 10¹²
    4. Divisione per tre: 7.755.140.000.000 ÷ 3 = 2.585.046.666.666,666…, che arrotonda a 2.585.046.666.666,67

    La più grande delle piramidi egizie, con la base originale di circa 230 metri di lato e l'altezza originale di circa 146,6 metri. La risposta è in centimetri cubi perché è l'unità della pagina, e non è una cifra che si legga direttamente: divisa per un milione diventa 2,585 milioni di metri cubi, cioè circa 2,6 milioni di metri cubi di pietra. È la riga in cui vale la pena notare la divisione per tre — la scatola che conterrebbe la piramide tiene 7,76 milioni di metri cubi, esattamente tre volte la piramide, quindi la stessa impronta e la stessa altezza danno il triplo del volume.

Limiti

La base deve essere piana e le facce devono salire dritte dai suoi spigoli fino a un unico vertice: una piramide a gradoni, come le piramidi egizie più antiche e le ziggurat, è una pila di scatole e lastre e non una piramide sola, e questa formula sbaglia di molto su di essa. Un tronco di piramide — una piramide con la punta tagliata, che è quello che sono in realtà quasi tutti i tetti e le tramogge — non è nemmeno questa forma; il volume lì richiede sia l'area superiore sia quella inferiore, mentre questa pagina ha un solo campo per la base. L'altezza deve essere la distanza perpendicolare dal piano della base fino al vertice, non la distanza misurata lungo uno spigolo o lungo una faccia; misurare lo spigolo obliquo è il modo più comune di ottenere una cifra troppo grande, e su una piramide alta lo è di parecchio e non di poco. L'area della base è un dato in ingresso e non qualcosa che la pagina calcola, quindi una base misurata come due lati va prima convertita in un'area, e una base irregolare va misurata con il metodo che le si addice. La pagina non può dare l'apotema, l'area della superficie o la lunghezza di uno spigolo, perché nessuna di queste si ricava dalla sola area della base: una base lunga e stretta e una compatta con la stessa area hanno apotemi diversi, superfici diverse e spigoli diversi. L'output è in centimetri cubi qualunque sia l'unità scelta nei menu, quindi una base inserita in metri quadrati torna come una risposta in centimetri cubi che devi convertire da solo — un milione di centimetri cubi per metro cubo, oppure un milionesimo di metro cubo per centimetro cubo. Due cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non una dichiarazione di precisione: sono oneste per una piramide misurata, ma molto grossolane per una grande, dove le ultime due cifre prima della virgola sono le uniche significative. La pagina dà per scontato che il vertice sia da qualche parte sopra la base e non le importa dove: una piramide diritta e una inclinata con la stessa base e la stessa altezza hanno lo stesso volume, il che è corretto ed è una cosa da sapere più che un limite. Non dice nulla infine sul peso, sul costo del materiale o sugli scarti prodotti ritagliando la forma da un blocco pieno: si ricavano tutti dal volume, ma nessuno di essi è stampato qui.

Domande frequenti

Perché il volume di una piramide è un terzo di quello del prisma che la contiene?
Perché tre piramidi con la stessa base e la stessa altezza entrano esattamente nel prisma, senza vuoti e senza sovrapposizioni, qualunque poligono sia la base. Non è un'approssimazione e non vale solo per le basi quadrate: una piramide a base triangolare e una a base esagonale sono entrambe esattamente un terzo del prisma che le conterrebbe. Lo stesso terzo compare nella pagina del volume del cono, dato che un cono è una piramide con il cerchio come base.
Devo inserire gli spigoli della base o la sua area?
La sua area. La formula usa la base solo per quanta superficie copre, quindi i due lati di una base rettangolare sarebbero un modo inutilmente stretto di porre la domanda. Inserire l'area permette anche di gestire basi che altrimenti la pagina non saprebbe descrivere: una base esagonale, una triangolare o un contorno irregolare misurato in un altro modo. Se la base è un rettangolo o un quadrato, le calcolatrici di area di questo sito ti danno l'area in un passaggio.
Quale altezza devo misurare?
L'altezza perpendicolare: la distanza in linea retta dal piano della base fino al vertice, misurata ad angolo retto rispetto alla base. Non la lunghezza di uno spigolo obliquo e non la distanza misurata scendendo al centro di una faccia. Lo spigolo obliquo è sempre più lungo dell'altezza — è l'ipotenusa di un triangolo che ha per cateti l'altezza e metà diagonale della base — quindi misurarlo dà una risposta troppo grande, e su una piramide alta molto troppo grande.
Quanta pietra c'è nella Grande Piramide di Giza?
La sua base originale era di circa 230 metri di lato, cioè 52.900 metri quadrati, e l'altezza originale era di circa 146,6 metri. Area della base per altezza diviso tre dà circa 2,6 milioni di metri cubi. Il confronto utile è con la scatola che la conterrebbe, che tiene tre volte tanto — 7,76 milioni — e quel divario è tutto il senso della divisione: stessa impronta e stessa altezza, un terzo del volume.
La pagina può darmi l'apotema o l'area della superficie?
No, e il motivo sta nel dato di partenza. L'apotema è la distanza dal vertice al centro di uno spigolo scendendo lungo una faccia, e dipende dalla forma della base e non solo dalla sua area: una base lunga e stretta di 100 centimetri quadrati e una compatta della stessa area hanno apotemi molto diversi e superfici molto diverse. Per calcolare l'uno o l'altra la pagina dovrebbe conoscere il contorno della base, che è esattamente ciò che si evita prendendo un'area invece di due spigoli.
Una piramide inclinata contiene meno di una diritta?
No, esattamente la stessa quantità, purché l'area della base e l'altezza perpendicolare siano le stesse. La formula del volume usa soltanto quei due numeri e non chiede mai dove si trovi il vertice sopra la base, quindi una piramide che pende da un lato contiene precisamente quanto una che sta dritta sopra il centro. È un risultato vero e non un effetto di arrotondamento, ed è lo stesso motivo per cui una pila di monete occupa lo stesso spazio anche se le monete non sono perfettamente allineate.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del volume del conoVolume, apotema e area superficiale di un cono.Calcolatrice volume parallelepipedoVolume e area superficiale di un parallelepipedo rettangolo.Calcolatrice del volume del cilindroVolume di un cilindro, aree delle basi e superficie laterale.Calcolatrice del volume della sferaQuanto spazio occupa una sfera, dal raggio o dal diametro.