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CalcMax

Calcolatrice dell'area del cerchio

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Risultato

78,5398 cm²

Area

Questa calcolatrice dell'area del cerchio risponde a una domanda sola — quanta superficie c'è dentro un cerchio — e la risponde partendo da una qualsiasi di tre misure: il raggio, il diametro oppure la circonferenza. È una comodità che vale più di quanto sembri, perché nella pratica la misura che si ha in mano non è quasi mai il raggio. Il raggio è la misura che si legge su un disegno, ma sul posto si misura il diametro di un tubo, o si passa un flessometro intorno a un tronco, e nessuna delle due è il raggio. Le tre strade convergono nella stessa formula. Dal raggio si va diretti: si moltiplica il raggio per se stesso e poi per pigreco. Dal diametro si dimezza prima e poi si fa la stessa cosa, il che è esattamente equivalente a elevare il diametro al quadrato e moltiplicare per pigreco diviso quattro. Dalla circonferenza si divide prima per due pigreco per tornare al raggio, e da lì si prosegue. Un dettaglio che vale la pena capire bene, perché è l'errore in cui si inciampa più spesso: l'area cresce con il quadrato del raggio, non con il raggio. Raddoppia il raggio e l'area non raddoppia, quadruplica. Un cerchio da trenta centimetri di raggio non copre il doppio di uno da quindici, ne copre quattro volte tanto, e la tabella in fondo alla pagina ha due righe costruite apposta per mostrare quel salto. È lo stesso fatto che rende una pizza grande molto più conveniente di due pizze medie, e la stessa ragione per cui un errore del dieci per cento sul raggio è un errore del ventuno per cento sull'area. C'è poi una cosa da sapere sul risultato stesso. Il raggio e il diametro sono numeri esatti, ma l'area di un cerchio è quasi sempre un numero irrazionale: contiene pigreco, quindi non finisce mai e non si può scrivere per intero. Le quattro cifre decimali che questa pagina stampa sono quindi un'approssimazione nella grande maggioranza dei casi, non una precisione. Se ti serve il valore esatto, quello che ti serve è l'espressione con il simbolo dentro, per esempio cento diviso pigreco, e non un numero con più cifre: nessun numero di cifre lo renderebbe esatto.

L'area del cerchio per i raggi più comuni

Raggio (cm)Diametro (cm)Area (cm²)
123.1416
2412.5664
3628.2743
51078.5398
1020314.1593
20401256.6371
0.510.7854
000

Otto cerchi e tre colonne, e la terza è la risposta mentre le prime due la spiegano. Il raggio e il suo diametro stanno insieme perché questa pagina non ripete quello che hai scritto: se hai inserito un diametro, l'unico posto dove vedere come è stato letto è qui. La prima riga è il cerchio di raggio 1, la cui area in centimetri quadrati è numericamente pigreco, che è una cosa comoda da sapere e un modo rapido per ricordare che cosa fa la formula quando il raggio vale 1. La prima e la seconda riga sono la coppia che mostra la relazione da tenere a mente: il raggio passa da 1 a 2 e l'area da 3,1416 a 12,5664, quattro volte tanto. La quarta riga è la coppia con cui la pagina si carica, ed è anche la riga che la pagina del cerchio stampa per lo stesso cerchio, 78,5398: le due pagine concordano su quella cifra fino all'ultima decimale perché nessuna delle due arrotonda il raggio prima di elevarlo al quadrato. La quinta e la sesta riga ripetono lo stesso salto su numeri più grandi, 10 e 20, dove l'area passa da 314,1593 a 1256,6371, di nuovo il quadruplo. La settima è un raggio di mezzo centimetro, la cui area è un quarto di pigreco, e l'ottava è un raggio di zero, dove il cerchio si è ridotto a un punto e l'area è uno zero vero e non una risposta mancante. Ogni valore qui è ricalcolato dal suo raggio quando la pagina viene costruita, in centimetri, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali che usa il pannello dei risultati. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

A = πr²

π
Il rapporto fra la circonferenza e il diametro, uguale per tutti i cerchi, circa 3,1416. Moltiplicare per esso è l'unico passaggio che introduce un'approssimazione in questa pagina, ed è la ragione per cui un'area è quasi sempre un numero che non finisce
r
Il raggio, in centimetri: la distanza dal centro al bordo. È la misura da cui la formula è definita, ed è quella che viene ricavata prima quando si parte dal diametro o dalla circonferenza invece che dal raggio
r²
Il raggio moltiplicato per se stesso, e la parte della formula che sorprende. È un quadrato, quindi raddoppiare il raggio quadruplica l'area e triplicarlo la moltiplica per nove: la superficie cresce molto più in fretta della misura da cui parte
Area
Quanta superficie racchiude il cerchio, in centimetri quadrati: sempre questa unità, qualunque cosa dicano i menu a tendina, e sempre un'unità al quadrato perché è una superficie e non una lunghezza
Circonferenza ÷ 2π
Come si torna al raggio quando la misura che hai è il bordo del cerchio, cioè il suo perimetro. Il risultato della divisione è in centimetri come la circonferenza, quindi da lì si prosegue esattamente come se il raggio l'avessi misurato
Diametro ÷ 2
Come si torna al raggio quando la misura che hai attraversa il cerchio da un bordo all'altro. È la stessa cosa che fare la metà, e vale la pena ricordare che l'area non si ricava dal diametro elevandolo al quadrato e moltiplicando per pigreco: manca un fattore quattro
Quattro cifre decimali
Quanto è larga la lettura. Per il raggio e il diametro è una scelta di comodo; per l'area è un'approssimazione reale, perché quasi ogni area contiene pigreco e non ha una scrittura decimale finita

Ogni volta che si paga, si copre o si riempie qualcosa di tondo e il prezzo è al metro quadrato. È la formula dietro il conto del materiale per una tovaglia rotonda, per un tavolo tondo, per un'aiuola circolare da pacciamare, per la lente di un riflettore, per il fondo di una pentola, per il pannello di una botte. La voce che si legge più spesso è quella del raggio o del diametro che si ha in mano: un tronco si misura intorno con una corda e si vuole la sezione, un tubo si misura da bordo a bordo e si vuole la superficie della bocca, un cerchio si traccia con un compasso e si vuole sapere quanta carta ci vuole per riempirlo. Vale anche per le grandezze che si confrontano invece che si comprano. La superficie di un pistone, l'area frontale di una conduttura, la sezione di un cavo: sono tutte grandezze che si confrontano fra loro, e la cosa da ricordare è che il confronto va fatto sulle aree e non sui diametri, perché un diametro doppio è un'area quadrupla. La differenza fra la pagina del cerchio e questa è che là si parte da una misura qualunque e si ricavano tutte le altre, mentre qui l'ingresso è una delle tre lunghezze e l'uscita è sempre e solo l'area. Se quello che ti serve è il raggio a partire dall'area, la pagina che lo fa è quella del cerchio.

Esempi svolti

  1. Un raggio di 5

    1. Eleva al quadrato il raggio: 5 × 5 = 25
    2. Moltiplica per π: 25 × π = 78,5398

    La coppia con cui la pagina si carica, e la stessa che la pagina del cerchio stampa per un raggio di 5: le due pagine concordano su questo numero fino all'ultima cifra. Il quadrato viene prima della moltiplicazione per pigreco, ed è quello l'ordine che conta: moltiplicare prima il raggio per pigreco e poi elevare al quadrato darebbe un numero completamente diverso.

  2. Un diametro di 12

    1. Dimezza il diametro per tornare al raggio: 12 ÷ 2 = 6
    2. Eleva al quadrato: 6 × 6 = 36
    3. Moltiplica per π: 36 × π = 113,0973

    La strada che passa dal diametro, che è la misura che si prende davvero quando si ha in mano un tubo o un coperchio. Vale la pena notare che cosa sarebbe successo sbagliando: elevando al quadrato il diametro intero e moltiplicando per pigreco si otterrebbe 452,3893, esattamente quattro volte il risultato giusto, e un numero che non ha nessun segnale di essere sbagliato. Il fattore quattro mancante è l'errore classico di questa formula.

  3. Una circonferenza di 20

    1. Dividi la circonferenza per 2π per tornare al raggio: 20 ÷ 6,2832 = 3,1831
    2. Eleva al quadrato: 3,1831 × 3,1831 = 10,1321
    3. Moltiplica per π: 10,1321 × π = 31,831

    La strada che passa dal bordo del cerchio, quella di chi ha passato un flessometro intorno a un tronco. Vale la pena guardare con attenzione le ultime cifre, perché è la riga che mostra una cosa vera sulle approssimazioni: l'area corretta è venti diviso pigreco, cioè 31,8310, mentre elevando al quadrato il raggio già arrotondato a 3,1831 si otterrebbe 31,8309. La differenza è nell'ultima cifra ed è il prezzo di aver arrotondato il raggio prima di usarlo. Questa pagina non lo fa: il raggio viene tenuto intero fino alla fine e arrotondato solo per essere stampato.

  4. Un raggio di 10 contro un raggio di 5

    1. Eleva al quadrato il raggio: 10 × 10 = 100
    2. Moltiplica per π: 100 × π = 314,1593
    3. Confronta con il raggio di 5: 314,1593 ÷ 78,5398 = 4

    Il raggio è raddoppiato e l'area è quadruplicata: 78,5398 per un raggio di 5, 314,1593 per un raggio di 10, e il rapporto fra i due è esattamente quattro. È il quadrato della formula che si fa sentire, ed è la cosa da tenere a mente ogni volta che si confrontano due cerchi: raddoppiare il diametro di una conduttura quadruplica la sua sezione, e un cerchio grande è molto più grande di quanto sembri accanto a uno piccolo.

  5. Un raggio di 0

    1. Eleva al quadrato il raggio: 0 × 0 = 0
    2. Moltiplica per π: 0 × π = 0

    Un cerchio ridotto a un punto, e la sua area è uno zero vero e non una risposta mancante. La differenza conta: lasciare vuota la casella del raggio non produce alcun risultato, mentre scriverci dentro zero produce zero, perché uno zero è una misura e una casella vuota è una misura che non è stata ancora presa. Un raggio di zero è anche il caso in cui la formula non ha bisogno di nessuna approssimazione.

Limiti

Questa pagina calcola l'area e nient'altro. Non dà il raggio, il diametro o la circonferenza a partire dall'area, e non dà l'area di una parte del cerchio: un settore, un segmento tagliato da una corda e una corona fra due cerchi concentrici hanno tutti formule proprie che qui non ci sono. Le tre misure di ingresso devono essere nella stessa unità, e l'area esce sempre in centimetri quadrati qualunque cosa dicano i menu a tendina, quindi un cerchio misurato in pollici torna come un numero in centimetri quadrati che va diviso per 6,4516 per essere letto in pollici quadrati. Il raggio viene tenuto intero fino alla fine del calcolo e arrotondato solo per essere stampato, il che significa che le quattro cifre del raggio che leggi e le quattro cifre dell'area che leggi non si riproducono a vicenda: elevando al quadrato il raggio stampato e moltiplicando per pigreco si ottiene un numero che può differire nell'ultima cifra da quello mostrato, e il valore corretto è quello mostrato, non quello ricalcolato. L'area di un cerchio è quasi sempre irrazionale, quindi le quattro cifre decimali sono un'approssimazione nella grande maggioranza dei casi e non un valore esatto: per un valore esatto serve l'espressione con il simbolo dentro, non più cifre. E un'area molto grande smette di avere senso a quattro decimali, perché a partire da certe dimensioni il numero non ha più cifre significative da riempire.

Domande frequenti

Quale delle tre misure conviene usare?
Quella che hai davvero in mano, perché tutte e tre portano alla stessa area e nessuna è più precisa delle altre quando il dato di partenza è lo stesso. Nella pratica il raggio è la misura che si legge su un disegno, il diametro quella che si prende su un tubo o su un coperchio, e la circonferenza quella che si ottiene passando un flessometro intorno a qualcosa di tondo. Se hai una scelta, il raggio è la via più corta: è l'unico dei tre che entra nella formula senza un passaggio preliminare.
Perché raddoppiare il raggio non raddoppia l'area?
Perché il raggio nella formula è elevato al quadrato. Un raggio doppio dà un quadrato quattro volte più grande, e quindi un'area quattro volte più grande. La tabella lo mostra su due righe vicine: un raggio di 5 dà 78,5398 centimetri quadrati e un raggio di 10 ne dà 314,1593, che è esattamente il quadruplo. La stessa regola vale per il diametro, perché anche quello entra al quadrato.
Che cosa vuol dire il 6,4516 che compare nelle limitazioni?
È il numero di centimetri quadrati che ci sono in un pollice quadrato, e serve a convertire un'area da un'unità all'altra. La conversione fra unità di superficie non è la stessa cosa della conversione fra unità di lunghezza: un pollice è 2,54 centimetri, ma un pollice quadrato è 2,54 × 2,54, cioè 6,4516 centimetri quadrati. Quindi un'area in centimetri quadrati si legge in pollici quadrati dividendola per 6,4516, non per 2,54.
Perché il raggio che leggo non riproduce l'area che leggo?
Perché il raggio stampato è arrotondato a quattro decimali mentre il calcolo lo tiene intero. Elevando al quadrato il raggio stampato e moltiplicando per pigreco si può ottenere un valore che differisce nell'ultima cifra da quello mostrato. Non è un errore: il valore corretto è quello mostrato, che è stato calcolato dal dato di partenza esatto, mentre quello ricalcolato parte da un raggio già approssimato. È lo stesso motivo per cui le coordinate di una mappa arrotondate non ridanno esattamente la distanza calcolata su quelle intere.
L'area di un cerchio è sempre un numero che non finisce?
Quasi sempre. Contiene pigreco, che è irrazionale, quindi il risultato è un numero decimale finito solo quando il quadrato del raggio contiene un fattore che semplifica il pigreco, cosa che con misure espresse in decimali non capita praticamente mai. Le quattro cifre decimali stampate sono quindi un'approssimazione, non una precisione. Se ti serve il valore esatto, quello che ti serve è l'espressione con il simbolo dentro, per esempio cento diviso pigreco, perché nessun numero di cifre lo renderebbe esatto.
Posso ricavare il raggio dall'area?
Sì, ma non da questa pagina: qui l'area è il risultato e non l'ingresso. La pagina che lo fa è quella del cerchio, dove puoi scrivere l'area e leggere il raggio, il diametro e la circonferenza corrispondenti. Il calcolo è una radice quadrata, e vale la pena ricordare che è una radice e non una divisione: dividere l'area per pigreco dà il quadrato del raggio, non il raggio.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.Calcolatrice della circonferenzaCirconferenza di un cerchio dal raggio o dal diametro.Calcolatrice da circonferenza a diametroIl diametro da una circonferenza, e anche il contrario.Calcolatrice area settore circolareArea, arco e corda del settore ritagliato da due raggi.