Salta al contenuto principale
CalcMax

Calcolatrice area settore circolare

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 ° – 360 °

Risultato

13,0900 cm²

Area

Lunghezza dell'arco
5,2360 cm
Corda
5,0000 cm

La calcolatrice del settore circolare prende il raggio di un cerchio e un angolo al centro, e restituisce tre misure della fetta che quei due ritagliano: l'area, la lunghezza dell'arco e la corda. Un settore è la forma di una fetta di torta — la regione delimitata da due raggi e dall'arco che li unisce — ed è la prima pagina di questo gruppo in cui il modulo chiede due cose di tipo diverso. Il raggio è una lunghezza e l'angolo è un angolo, e nessuno dei due si ricava dall'altro: una fetta larga di un cerchio piccolo e una fetta stretta di un cerchio grande sono figure diverse, quindi servono davvero entrambi i numeri. Vale la pena notarlo perché la calcolatrice del cerchio qui accanto fa l'opposto: le dai una qualsiasi delle sue quattro misure e ti dà le altre, perché un cerchio è fissato da un solo numero. Un settore è un cerchio a cui è stato dato un morso, e quanto è grande il morso va detto a parte. Le tre uscite rispondono a tre domande diverse sulla stessa fetta. L'area è quanta superficie copre, cioè quello che ti serve per una fetta di pizza, per un appezzamento di terreno su un confine curvo o per l'apertura di un otturatore fotografico. La lunghezza dell'arco è quanto misura il bordo curvo, cioè quello che ti serve per un profilo piegato lungo una curva o per una recinzione su un confine bombato. La corda è la linea retta che chiude la fetta, cioè quello che ti serve per il lato piatto di una fetta o per la larghezza dell'apertura che sottende. Tutte e tre escono dalla stessa coppia di numeri, e tutte e tre sono una frazione fissa del cerchio intero — l'angolo diviso 360 — applicata alla misura corrispondente di quel cerchio. Ogni formula vale la pena di essere conosciuta da sola, e le tre sono esposte qui sotto. La pagina è anche il posto giusto per capire perché l'angolo si conta al centro e non sul bordo: è dal centro che i due raggi partono, ed è sempre dal centro che la frazione di cerchio ha senso, qualunque sia la dimensione della figura che stai misurando nel mondo reale.

Settori comuni, da un sesto di cerchio fino al cerchio intero

Raggio (cm)Angolo al centro (°)Area (cm²)Lunghezza dell'arco (cm)Corda (cm)
56013.095.2365
59019.6357.8547.0711
518039.269915.70810
536078.539831.41590
109078.539815.70814.1421
612037.699112.566410.3923
12270339.29256.548716.9706
50000

Otto settori, e le prime due colonne sono i due ingressi: vale la pena dirlo, perché ogni altra tabella di questo gruppo ha gli ingressi nascosti nella figura invece che stampati. La prima riga è quella con cui la pagina si carica, ed è la prima da leggere: a 60 gradi la corda è esattamente 5, uguale al raggio, perché il seno di 30 gradi è esattamente un mezzo. La quarta riga è il cerchio intero, e la sua area e la sua lunghezza dell'arco sono esattamente quelle che la pagina del cerchio stampa per un raggio di 5 — 78,5398 e 31,4159 — mentre la sua corda è 0, perché i due estremi si sono incontrati. La quinta riga è un cerchio diverso a un angolo diverso con la stessa area della quarta: un raggio di 10 cm a 90 gradi copre 78,5398 centimetri quadrati, quanto ne copre interamente un cerchio di 5 cm, il che ricorda che l'area dipende da entrambi gli ingressi. La settima riga è oltre la metà, dove la corda misura la via corta attraverso una fetta che è tre quarti del cerchio; la pagina la calcola senza protestare, e stabilire quale delle due regioni la corda ha ritagliato è compito della pagina del segmento, non di questa. L'ultima riga è un angolo di zero, dove la fetta si è ridotta a un solo raggio e tutte e tre le letture sono zero. Ogni numero qui è ricalcolato dal suo raggio e dal suo angolo quando la pagina viene costruita, in centimetri e gradi, e i quattro decimali sono gli stessi quattro decimali del pannello dei risultati: nella tabella il separatore decimale è il punto, nel testo qui sopra è la virgola, e sono lo stesso numero scritto in due modi.

Formula

A = (θ ÷ 360) × πr² L = (θ ÷ 360) × 2πr c = 2r × sen(θ ÷ 2)

Raggio
La distanza dal centro al bordo curvo, in centimetri. È metà dei lati diritti della fetta, e l'unico numero che dice quanto è grande il cerchio da cui è stata ritagliata
Angolo al centro
L'angolo fra i due lati diritti, misurato al centro, in gradi. Insieme al raggio fissa completamente la fetta, ed è il numero che dice quale frazione del cerchio hai preso: 90 è un quarto, 60 è un sesto
Area
La superficie che la fetta copre, in centimetri quadrati. Risulta dalla frazione di cerchio moltiplicata per l'area del cerchio intero, ed è l'unica delle tre che va con il quadrato del raggio: raddoppia il raggio e l'area diventa quattro volte tanto
Lunghezza dell'arco
La distanza lungo il bordo curvo, in centimetri. La stessa frazione del cerchio, applicata alla circonferenza invece che all'area: quindi va con il raggio e non con il suo quadrato, e vale esattamente il raggio quando l'angolo è un radiante
Corda
La linea retta da un estremo dell'arco all'altro, in centimetri. È il lato piatto della fetta, ed è l'unica delle tre uscite che richiede la trigonometria invece di una semplice frazione: è due volte il raggio per il seno della metà dell'angolo
sen(θ ÷ 2)
Il seno della metà dell'angolo, e la metà invece dell'angolo intero è la parte da tenere a mente: la corda e i due raggi formano un triangolo isoscele, e abbassando una linea dal centro si divide in due sia l'angolo sia la corda
θ ÷ 360
La frazione del cerchio intero che la fetta occupa. È il fattore che area e lunghezza dell'arco hanno in comune, ed è il motivo per cui entrambe sono semplicemente una copia in scala delle misure del cerchio
Quattro cifre decimali
Quanto è larga ogni lettura. Area e lunghezza dell'arco portano un π e quindi non finiscono quasi mai; la corda è esatta solo agli angoli in cui lo è il seno, ed è per questo che 60 gradi e 180 gradi danno numeri puliti e quasi tutti gli altri no

Le tre uscite rispondono a tre domande diverse sulla stessa fetta, e scegliere quella giusta è già metà del lavoro. L'area serve per tutto ciò che si compra o si conta a superficie: una fetta di pizza venduta a teglia, un cuneo di terreno fra due recinzioni che si incontrano a un angolo, un vetro tagliato su un telaio curvo, o la frazione di campo visivo che una data apertura diottrica lascia passare. La lunghezza dell'arco serve per tutto ciò che segue la curva: la lunghezza del profilo necessario intorno a un banco curvo, la recinzione lungo un confine bombato, la corsa di una cinghia intorno a parte di una puleggia, o quanto si sposta un punto sul bordo quando la ruota gira di un angolo dato. La corda serve per la linea diritta: la larghezza di una pala di ventola alla sua estremità, il dorso piatto di una fetta appoggiata su un piatto, la luce di un arco, o quanto distano due punti di un cerchio dopo che entrambi sono stati ruotati dello stesso angolo intorno a un centro comune. E c'è un quarto uso che attraversa tutti e tre: il settore è l'unità con cui si costruiscono moltissime cose circolari — un diagramma a torta non è altro che settori, un esagono è sei di essi, e un dente di ingranaggio è un settore con la punta tagliata.

Esempi svolti

  1. Una fetta di 60 gradi di un cerchio di raggio 5 cm

    1. Frazione del cerchio: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Area: (1/6) × π × 5² = 25π ÷ 6 = 13,0899…, che arrotonda a 13,09
    3. Lunghezza dell'arco: (1/6) × 2π × 5 = 10π ÷ 6 = 5,2359…, che arrotonda a 5,236
    4. Corda: 2 × 5 × sen(30°) = 10 × 0,5 = 5

    L'ingresso con cui la pagina si carica, e la riga che mostra che cosa sta facendo la frazione: una fetta di 60 gradi è esattamente un sesto del cerchio, quindi la sua area è un sesto di 25π e il suo arco è un sesto di 10π. La corda è la parte su cui vale la pena fermarsi: esce esattamente a 5, uguale al raggio, perché il seno di 30 gradi è esattamente un mezzo e il 2 e il mezzo si annullano. Sei di queste fette disposte punta contro punta formano un esagono regolare, ed è la pagina successiva.

  2. Un quarto di cerchio di raggio 5 cm

    1. Frazione del cerchio: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Area: 25π ÷ 4 = 19,6349…, che arrotonda a 19,635
    3. Lunghezza dell'arco: 10π ÷ 4 = 7,8539…, che arrotonda a 7,854
    4. Corda: 2 × 5 × sen(45°) = 10 × 0,7071068 = 7,0710678…, che arrotonda a 7,0711

    Il quarto di cerchio. La corda di un settore di 90 gradi è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui due cateti sono entrambi il raggio, quindi vale r√2 — qui 5√2, lo stesso 7,0711 che la pagina del quadrato stampa per la sua diagonale e lo stesso numero che servirebbe al quadrato inscritto nella pagina del cerchio. Tre pagine, un solo numero, e tutte e tre sono lo stesso triangolo visto da lati diversi.

  3. Un semicerchio

    1. Frazione del cerchio: 180 ÷ 360 = 1/2
    2. Area: 25π ÷ 2 = 39,2699…, che arrotonda a 39,2699
    3. Lunghezza dell'arco: 10π ÷ 2 = 15,7079…, che arrotonda a 15,708
    4. Corda: 2 × 5 × sen(90°) = 10 × 1 = 10

    L'angolo in cui la corda smette di essere una corda e diventa un diametro: i due estremi dell'arco sono ora opposti, quindi la linea retta che li unisce passa per il centro e vale 2r. Il seno di 90 gradi è esattamente 1, ed è per questo che il risultato è pulito. Tutto su questa riga è la metà del cerchio intero qui sotto, tranne la corda, che qui è alla sua massima lunghezza: oltre i 180 gradi la corda ricomincia a rimpicciolire anche mentre l'area continua a crescere.

  4. Un terzo di cerchio di raggio 6 cm

    1. Frazione del cerchio: 120 ÷ 360 = 1/3
    2. Area: 36π ÷ 3 = 12π = 37,6991…, che arrotonda a 37,6991
    3. Lunghezza dell'arco: 12π ÷ 3 = 4π = 12,5664…, che arrotonda a 12,5664
    4. Corda: 2 × 6 × sen(60°) = 12 × 0,8660254 = 10,3923048…, che arrotonda a 10,3923

    Un terzo di un cerchio di raggio 6, e la riga che collega questa pagina a quella accanto. La corda è 6√3, che è esattamente la diagonale corta di un esagono regolare di lato 6 — e non è una coincidenza: tre di queste fette formano mezzo esagono, e sei lo formano intero. Che l'area sia 12π e l'arco 4π è l'altra cosa da notare: quando la frazione viene pulita, i risultati conservano il π e lasciano cadere tutto il resto.

  5. Il cerchio intero

    1. Frazione del cerchio: 360 ÷ 360 = 1
    2. Area: 1 × π × 5² = 25π = 78,5398…, che arrotonda a 78,5398
    3. Lunghezza dell'arco: 1 × 2π × 5 = 10π = 31,4159…, che arrotonda a 31,4159
    4. Corda: 2 × 5 × sen(180°) = 10 × 0 = 0

    Un settore di 360 gradi è il cerchio intero, e area e lunghezza dell'arco sono esattamente quello che la pagina del cerchio stampa per un raggio di 5: lo stesso 78,5398 e lo stesso 31,4159. Devono esserlo: un settore che prende tutto il cerchio è il cerchio. La corda è quella interessante. Vale 0, e quella è la risposta corretta e non un guasto: i due estremi dell'arco sono tornati a congiungersi, quindi la linea retta fra loro non ha alcuna lunghezza. Una corda può essere zero mentre l'area è al suo massimo: le due misure non hanno nulla a che vedere l'una con l'altra.

Limiti

La pagina è solo per i settori: due raggi diritti e l'arco fra loro, su un cerchio piano. Un segmento circolare — la regione fra una corda e il suo arco, cioè quello che resta se da questa fetta tagli la corda — è una figura diversa e ha una pagina sua qui accanto. Le letture sono in centimetri e centimetri quadrati qualunque sia l'unità impostata nel menu, quindi un raggio inserito in pollici torna come una risposta in centimetri che devi convertire da solo; l'angolo è in gradi e il menu accetta radianti o gradi centesimali, ma il risultato viene sempre calcolato a partire dai gradi. Gli angoli sopra 360 gradi vengono rifiutati invece che riportati nel primo giro: oltre un giro completo c'è più di un modo di leggere quale fetta intendevi, e la pagina preferisce dirlo invece di indovinare. Quattro cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione e non un'affermazione sulla precisione: area e lunghezza dell'arco portano un π e non finiscono quasi mai, e la corda è esatta solo agli angoli in cui il seno lo è. La corda misura la linea retta attraverso la fetta, quindi per angoli sopra i 180 gradi sta misurando la via corta attraverso una fetta che è più di mezzo cerchio: è corretto, ma è raramente quello che ha in mente chi disegna un diagramma a torta. Qui non si gestisce una fetta di ellisse o di qualsiasi altra curva non circolare, né una fetta con la punta arrotondata, né lo spessore di una fetta fisica come una torta o uno spicchio di formaggio.

Domande frequenti

Perché questa pagina chiede due dati mentre quella del cerchio ne chiede uno?
Perché un settore non è fissato da un solo numero. Un cerchio lo è: dagli il raggio e sai tutto di lui. Un settore è un cerchio a cui è stato tolto un morso, e quanto è grande il morso va detto a parte: una fetta di 30 gradi di un cerchio grande e una di 180 gradi di un cerchio piccolo sono figure del tutto diverse. Il raggio fissa il cerchio e l'angolo fissa quanto ne hai preso, quindi servono entrambi e nessuno dei due si ricava dall'altro.
Perché a 60 gradi la corda è esattamente uguale al raggio?
Perché la corda è 2r·sen(θ/2), e a 60 gradi l'angolo metà è 30 gradi, il cui seno è esattamente un mezzo. Il 2 e il mezzo si annullano e resta r. È uno dei pochi angoli in cui la corda esce come numero intero, ed è il motivo per cui un esagono funziona: sei fette di 60 gradi disposte punta contro punta danno una figura in cui ogni lato — i sei raggi e le sei corde — ha la stessa lunghezza.
Qual è la differenza fra un settore e un segmento circolare?
Un settore è la fetta delimitata da due raggi e da un arco, come una fetta di torta. Un segmento circolare è la regione fra una corda e il suo arco: quello che resta della fetta quando ne tagli via il triangolo formato dai due raggi e dalla corda. La pagina del segmento qui accanto calcola quell'altra regione, e la sua area è l'area di questa pagina meno il triangolo.
Quale delle tre letture mi serve?
L'area se la fetta è una superficie: una fetta di pizza, un cuneo di terreno, un vetro. La lunghezza dell'arco se qualcosa segue la curva: un profilo intorno a un banco curvo, una recinzione su un confine bombato, la corsa di una cinghia su parte di una puleggia. La corda se ti serve la linea retta attraverso la fetta: la larghezza di una pala di ventola alla punta, la luce di un arco, o quanto distano due punti del bordo.
Per un cerchio intero la corda è 0. È un difetto?
No, è la risposta giusta. A 360 gradi i due estremi dell'arco sono tornati a congiungersi, quindi la linea retta che li unisce non ha lunghezza. Vale la pena notare che l'area è al suo massimo — il cerchio intero — nello stesso momento in cui la corda è al suo minimo, perché quelle due misure non hanno nulla a che vedere l'una con l'altra. Solo le corde si comportano così; la lunghezza dell'arco diventa semplicemente la circonferenza.
Posso inserire l'angolo in radianti?
Sì, il menu accanto all'angolo accetta gradi, radianti e gradi centesimali, e converte quello che digiti in gradi prima di calcolare qualsiasi cosa. Le voci della tabella di riferimento sono tutte in gradi, quindi un valore in radianti di circa 1,047 corrisponde alla stessa fetta della riga dei 60 gradi. Nulla cambia nell'uscita al variare dell'unità: l'area è in centimetri quadrati e arco e corda sono in centimetri in ogni caso.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice area segmento circolareArea tra una corda e il suo arco, da raggio e angolo.Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.Calcolatrice della lunghezza d'arcoLa lunghezza dell'arco tra due punti di una circonferenza.Calcolatrice dell'angolo al centroL'angolo che un arco sottende al centro della circonferenza.