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CalcMax

Calcolatrice della lunghezza d'arco

Intervallo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervallo: 0 ° – 360 °

Risultato

7,8540 cm

Lunghezza dell'arco

Una calcolatrice della lunghezza d'arco prende il raggio di una circonferenza e un angolo al centro e restituisce quanto è lungo il pezzo di curva, in centimetri. Un arco di circonferenza è la parte curva compresa fra due punti della circonferenza, e l'angolo che lo individua è quello al centro, fra i due raggi che arrivano a quei punti. L'aritmetica è una proporzione e niente altro: il cerchio intero misura 360 gradi e il suo contorno intero è lungo 2πr, quindi un arco che sottende θ gradi è la frazione θ/360 di quel contorno. Qualunque frazione del cerchio copra l'angolo, l'arco copre la stessa frazione della circonferenza. Il motivo per cui questa pagina esiste da sola, invece di essere lasciata a una calcolatrice del cerchio completa, è che quasi tutti i posti in cui compare una curva non sono cerchi interi. Una curva di una strada è un arco; lo sono anche il percorso della maniglia di una porta, la spazzata di un tergicristallo, un bancone curvo, un arco architettonico, il nastro teso di un quadrante. In ognuno di questi casi la domanda riguarda la lunghezza della parte curva, perché è quella che viene tagliata, pagata, asfaltata o percorsa. In questa materia c'è una sola trappola ed è una trappola di unità di misura. La forma compatta di questa formula è L = rθ, e in quella forma θ è in radianti, non in gradi — il radiante è precisamente l'unità che esiste per far uscire quella riga senza un fattore davanti. Metti 60 gradi dentro L = rθ e il risultato torna circa 57 volte troppo grande. E non sembrerà sbagliato: sembrerà un arco lungo. Questa pagina accetta i gradi, perché 60 è più comodo da digitare di 1,0472, e la formula che calcola è scritta con il 360 dentro, così i gradi sono già stati sistemati prima che la moltiplicazione avvenga.

La lunghezza di un arco dal suo raggio e dall'angolo al centro

Raggio (cm)Angolo al centro (gradi)Lunghezza dell'arco (cm)
5605.236
5907.854
518015.708
536031.4159
109015.708
612012.5664
1227056.5487
500

Otto archi e tre colonne. La prima riga è la coppia con cui la pagina si carica, un sesto di cerchio. La quarta è la riga che controlla questa pagina contro il resto del sito: a 360 gradi l'arco si è chiuso in un cerchio intero, quindi deve valere la circonferenza, e 31,4159 è quello che le pagine del cerchio e della circonferenza stampano per un raggio di 5. La quinta riga è quella su cui vale la pena soffermarsi: un raggio di 10 a 90 gradi dà gli stessi 15,708 di un raggio di 5 a 180 gradi, perché raddoppiare uno e dimezzare l'altro lascia il prodotto invariato. La sesta è l'unica riga il cui risultato è un multiplo esatto di π: un raggio di 6 a 120 gradi è 4π, cioè 12,5664. Ogni valore qui è ricalcolato dai suoi due ingressi quando la pagina viene costruita, e dato che la pagina del settore circolare calcola la stessa grandezza dagli stessi due numeri, la colonna della lunghezza dell'arco di questa tabella e di quella devono leggersi identiche riga per riga. I numeri della tabella sono generati dal calcolo e usano il punto come separatore decimale, mentre nel testo della pagina i decimali si scrivono con la virgola: sono lo stesso numero scritto in due modi diversi, non due numeri diversi.

Formula

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Raggio
La distanza dal centro della circonferenza all'arco, in centimetri
θ (theta)
L'angolo al centro, in gradi — l'angolo fra i due raggi che incontrano gli estremi dell'arco. Non è l'angolo che l'arco sembra girare sulla pagina, e non è l'angolo fra i due estremi visto da fuori
360
Il cerchio intero in gradi, e la ragione per cui questa formula è scritta così. Dividere l'angolo per 360 lo trasforma nella frazione di cerchio che l'arco copre
2πr
La circonferenza — la lunghezza dell'intero cerchio, di cui si prende una frazione. Il π è la stessa costante che ha ogni cerchio, e r è di nuovo il raggio
L
La lunghezza dell'arco, in centimetri. La stessa frazione della circonferenza che l'angolo è di 360 gradi
L = rθ
La stessa formula nella sua forma compatta, quella che si trova sui manuali. In questa forma θ è in radianti, non in gradi — usare 60 qui al posto di 1,0472 è l'errore da cui tutta questa pagina mette in guardia
Quattro cifre decimali
Quanto è larga la lettura. Il risultato di solito non si può scrivere esattamente, perché π non si può: un quarto di cerchio di raggio 5 vale 7,8540 e si ferma lì

Qualunque cosa faccia parte di un cerchio e la cui lunghezza conti. Il caso più semplice è la misura: un muro curvo, un bancone curvo, una vetrata ad arco, una curva di un sentiero, la lunghezza di una recinzione che segue una curva invece di una linea retta — quello che si ordina è la lunghezza lungo la curva, ed è maggiore della distanza in linea d'aria fra i due estremi. I materiali che arrivano in strisce e si piegano sono il secondo caso: bordi, profili, guarnizioni, canaline, il tratto curvo di un corrimano, una lamiera piegata a un certo raggio. Calcolare la lunghezza prima di tagliare è tutto il punto, e un arco tagliato corto è uno scarto. Veicoli e macchine sono il terzo: la distanza spazzata da un tergicristallo, il percorso di un braccio robotico, una cinghia che scorre su una guida curva, la lunghezza di una catena che gira intorno a un pignone. In ognuno di questi casi la lunghezza dell'arco è la distanza realmente percorsa, ed è quella per cui va dimensionato il motore. Poi c'è l'uso scolastico. La proporzione si vede bene su un cerchio disegnato con il compasso — un arco di 90 gradi è un quarto della circonferenza, e puoi verificarlo con la formula — ed è il meccanismo che permette di passare ai settori, ai segmenti e infine ai radianti, che non sono niente di più complicato della stessa proporzione scritta al contrario.

Esempi svolti

  1. Un raggio di 5 e un angolo di 90 gradi

    1. L'angolo come frazione del cerchio: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. La circonferenza intera: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Un quarto di essa: 31,4159 ÷ 4 = 7,854

    Un quarto di cerchio, e la coppia con cui la pagina si carica. Le due letture da tenere a mente insieme sono questo 7,854 e il 31,4159 che lo stesso raggio dà a 360 gradi: uno è esattamente quattro volte l'altro, che è un modo rapido per vedere che l'angolo viene davvero usato come frazione e non come qualcos'altro.

  2. Un raggio di 5 e un angolo di 60 gradi

    1. L'angolo come frazione del cerchio: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. La circonferenza intera: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Un sesto di essa: 31,4159 ÷ 6 = 5,236

    Un sesto di cerchio, che è l'angolo che un triangolo equilatero forma al centro e la ragione per cui 60 gradi compare ogni volta che qualcosa viene diviso in sei. Questa è la riga che stampa anche la pagina del settore circolare, quindi le due pagine si possono mettere una accanto all'altra: qualunque valore abbia qui la lunghezza dell'arco, la pagina del settore mostra la stessa cifra per lo stesso raggio e lo stesso angolo.

  3. Un raggio di 5 e un giro intero

    1. L'angolo come frazione del cerchio: 360 ÷ 360 = 1
    2. La circonferenza intera: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Tutta quanta: 31,4159

    Il caso limite, e un controllo sull'intera pagina: a 360 gradi l'arco ha fatto tutto il giro e si è richiuso, quindi è la circonferenza, e la circonferenza di un cerchio di raggio 5 è 31,4159. Se questa riga stampasse qualcos'altro, la formula sarebbe sbagliata: è questo che la rende degna di stare in tabella.

  4. Un raggio di 10 e un angolo di 90 gradi

    1. L'angolo come frazione del cerchio: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. La circonferenza intera: 2 × π × 10 = 62,8319
    3. Un quarto di essa: 62,8319 ÷ 4 = 15,708

    Lo stesso quarto di cerchio del primo esempio e la stessa lunghezza dell'arco di 180 gradi con raggio 5. Raddoppiare il raggio e dimezzare l'angolo lascia l'arco invariato, perché la lunghezza dell'arco dipende dai due insieme e non da uno dei due. È la dimostrazione più economica che esista del perché la formula moltiplica invece di sommare.

  5. Un raggio di 5 e un angolo di 0

    1. L'angolo come frazione del cerchio: 0 ÷ 360 = 0
    2. La circonferenza intera: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Nessuna parte: 0

    Un angolo di zero significa che i due raggi si sono chiusi uno sull'altro e l'arco si è ridotto a un punto della circonferenza, quindi la sua lunghezza è zero. È una risposta vera e la pagina la riporta, il che è diverso dal lasciare vuota una casella: una casella vuota non ha niente con cui lavorare e non mostra alcun risultato.

Limiti

Questa pagina restituisce la lunghezza dell'arco e nient'altro. Non dà l'area del settore, la lunghezza della corda dritta fra i due estremi, l'angolo o il raggio: i primi due li copre la pagina del settore circolare, e andare all'indietro dalla lunghezza dell'arco all'angolo è un'altra pagina. L'angolo è in gradi ed è limitato a 360: un angolo al centro maggiore di un giro intero viene rifiutato invece di essere riportato dentro l'intervallo, perché un angolo al centro per definizione non supera un giro. Lo zero è accettato in entrambi gli ingressi e dà un arco di lunghezza zero, che è corretto per un punto e non è la stessa cosa di una casella vuota. I due ingressi sono presi nella stessa unità, quindi un raggio in pollici dà una lunghezza dell'arco in pollici; non viene convertito nulla. Il risultato è la lunghezza lungo un arco di circonferenza e non dice nulla su qualsiasi altra curva: un arco ellittico, una spirale, una catenaria o una curva che non sia un cerchio vero non verranno fuori giusti, e fra queste l'ellisse è il caso che la gente si aspetta più facile di quanto sia.

Domande frequenti

L'angolo è in gradi o in radianti?
In gradi. La formula che questa pagina calcola è (θ ÷ 360) × 2πr, scritta in modo che i gradi vengano divisi prima che succeda qualsiasi altra cosa. La forma compatta che puoi aver visto altrove, L = rθ, vuole invece i radianti, e vale la pena saperlo perché inserire 60 al posto di 1,0472 dà una risposta circa 57 volte troppo grande, e una risposta soltanto lunga non sembra sbagliata.
Quale angolo, in un disegno, è quello al centro?
Quello che ha il vertice nel centro della circonferenza, fra i due raggi che arrivano ai due estremi dell'arco. Non è l'angolo fra i due estremi misurato da un punto qualsiasi dell'arco, e non è l'angolo che la curva sembra girare sulla pagina. Se nel disegno ci sono più angoli segnati, quello al centro è l'unico con il vertice nel centro.
In che cosa è diversa dalla calcolatrice del settore circolare?
La pagina del settore dà tre letture per gli stessi due ingressi — l'area dello spicchio, la lunghezza dell'arco e la corda dritta fra gli estremi — perché chi lavora su un settore di solito ne vuole più di una. Questa pagina dà soltanto la lunghezza dell'arco. Le due concordano esattamente su quel numero, quindi se ti serve solo la lunghezza questa è la strada più corta.
L'angolo può superare i 360 gradi?
No, e la pagina lo rifiuta invece di riportarlo dentro l'intervallo. Un angolo al centro è per definizione un angolo al centro di un cerchio, e non può superare un giro intero; 400 gradi vorrebbero dire un arco più lungo dell'intera circonferenza, che non è un arco. Il limite è voluto ed è lo stesso della pagina del settore, così la stessa coppia di numeri viene accettata o rifiutata allo stesso modo su entrambe.
La lunghezza dell'arco dipende dal raggio?
Sì, e la dipendenza è una moltiplicazione e non una somma. Raddoppiare il raggio raddoppia l'arco, e raddoppiare l'angolo lo raddoppia ugualmente, quindi un arco di 180 gradi con raggio 5 e un arco di 90 gradi con raggio 10 hanno la stessa lunghezza. È per questo che la formula moltiplica i due invece di fare qualcos'altro con loro.
E se la curva non è un cerchio?
Allora questa pagina non ti darà la risposta giusta, e non te lo segnalerà nemmeno. Qui ogni arco è un pezzo di un cerchio vero. Un arco ellittico, una scala a chiocciola, una curva catenaria e la traiettoria di un oggetto lanciato hanno lunghezze che richiedono matematica diversa, e fra queste l'ellisse è quella che si presume più spesso una semplice frazione di cerchio quando non lo è.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice dell'angolo al centroL'angolo che un arco sottende al centro della circonferenza.Calcolatrice area settore circolareArea, arco e corda del settore ritagliato da due raggi.Calcolatrice della circonferenzaCirconferenza di un cerchio dal raggio o dal diametro.Calcolatrice del cerchioRaggio, diametro, circonferenza e area da uno solo di essi.