Calcolatrice dell'angolo di riferimento

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a angolo di riferimento = min(a, 180° − a)

θ

L'angolo che inserisci, in gradi. Può essere un numero reale qualsiasi: positivo o negativo, minore di un giro o molti giri oltre, intero o con la virgola. Gli angoli negativi si misurano in senso orario a partire dall'asse orizzontale, che è la convenzione del rilievo topografico e di tutto ciò che gira dall'altra parte

a

L'angolo ripiegato nel primo mezzo giro: la prima riga avvolge il dato nell'intervallo da 0 incluso fino a 360 escluso, la seconda riporta indietro tutto ciò che supera 180. Dopo entrambe, l'angolo sta fra 0 e 180, che è tutta l'informazione di cui un angolo di riferimento ha bisogno, perché le due metà del cerchio sono l'una l'immagine speculare dell'altra

Angolo di riferimento

L'angolo acuto fra il lato terminale e l'asse orizzontale, in gradi, sempre fra 0 e 90. È una distanza e non una rotazione, ed è per questo che un angolo di 180 gradi ha angolo di riferimento 0: il lato terminale giace sull'asse da cui lo si misura. Stampato con due decimali, come sulla pagina degli angoli coterminali, così che un angolo dato al quarto di grado dia una risposta della stessa precisione

mod 360

Il resto della divisione per un giro completo, cioè quello che scarta i giri interi in eccesso. Il raddoppio — aggiungere 360 e poi prendere di nuovo il resto — serve perché l'operatore resto della maggior parte dei linguaggi di programmazione restituisce un risultato negativo per un dato negativo: senza, meno 45 uscirebbe come meno 45 invece che come 315, e ogni angolo negativo verrebbe ripiegato sul ramo sbagliato

min(a, 180° − a)

La distanza dalla parte più vicina dell'asse orizzontale: su una circonferenza di raggio uno, l'angolo e il punto che dista da lui 180 gradi sono i due luoghi in cui il lato terminale incontra l'asse, quindi l'angolo di riferimento è quello dei due che è più vicino. Scritta come un'unica espressione invece che come quattro regole di quadrante, copre anche i casi sull'asse senza un ramo speciale, ed è tutta qui la ragione per cui la formula è scritta così

Quadrante

In quale quarto di cerchio finisce il lato terminale dopo che l'angolo è stato avvolto e ripiegato: il primo quadrante va da 0 a 90 gradi, il secondo da 90 a 180, il terzo da 180 a 270 e il quarto da 270 a 360. I quattro angoli che stanno esattamente su un asse non appartengono a nessun quadrante, e questa pagina li stampa così invece di assegnarli a un vicino

Usa questa pagina quando valuti a mano una funzione trigonometrica, che è lo scopo per cui gli angoli di riferimento esistono, e quando ti serve anche il quadrante. Le due cose vanno insieme: l'angolo di riferimento dà il valore assoluto di seno, coseno o tangente, il quadrante dà il segno, e una pagina che ne desse solo uno ti lascerebbe il resto da fare a memoria. Gli angoli in cui questo conta di più sono quelli che incontri sui libri: 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330, che hanno tutti angoli di riferimento presi dalla stessa lista corta — 30, 45 e 60. È esattamente il punto dell'idea. Gli angoli sono infiniti, ma gli angoli di riferimento che vale la pena sapere sono pochi, quindi una tabella di nove angoli si riduce a una tabella di tre e il resto è contabilità di segni. La pagina è utile anche da sola, senza trigonometria, come modo di orientare un angolo. Se un topografo ti dà un azimut di 315 gradi, l'angolo di riferimento di 45 ti dice che dista 45 gradi dall'asse più vicino, e il quadrante ti dice quale asse sia: la stessa lettura risponde a domande sulla direzione del vento, sulle coordinate sullo schermo e su qualunque altra cosa misurata come angolo rispetto a una direzione fissa. Due casi vale la pena provarli sulla pagina prima di averne bisogno. Inserisci 180 e vedi che la risposta è 0: il lato terminale è sull'asse e la distanza da esso è nulla. Inserisci meno 45 e vedi che la risposta è 45: gli angoli negativi vengono avvolti e non rifiutati, e l'angolo di riferimento di un angolo orario è lo stesso della sua immagine speculare antioraria. E se stai confrontando questa pagina con la calcolatrice degli angoli coterminali, sappi che prendono lo stesso dato e rispondono a domande diverse: quella ti dà un altro angolo con lo stesso lato terminale, questa ti dà la distanza di quel lato terminale dall'asse più vicino. Insieme sono ciò che serve di solito a un problema di trigonometria, cioè un lato terminale identificato sia per posizione sia per distanza dall'asse.

1. Un angolo di 210 gradi

   1. Avvolgimento: 210 mod 360 = 210, già dentro un giro
   2. Ripiegamento: 210 è più di 180, quindi 360 − 210 = 150
   3. Distanza dall'asse più vicino: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

   L'angolo con cui la pagina si apre, e il caso da manuale: 210 gradi sta nel terzo quadrante, dove sia il seno sia il coseno sono negativi, e il suo angolo di riferimento è 30. Quindi il seno di 210 gradi è meno il seno di 30, cioè meno un mezzo, e il coseno è meno il coseno di 30, cioè meno la radice di tre fratto due. Le due cose che servono per arrivarci stanno su questa pagina e nella sua tabella: il valore assoluto dall'angolo di riferimento, i segni dal quadrante.

2. Un angolo di 135 gradi

   1. Avvolgimento: 135 mod 360 = 135
   2. Ripiegamento: 135 non supera 180, quindi resta 135
   3. Distanza dall'asse più vicino: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

   Il secondo quadrante, e l'angolo di riferimento che vale la pena sapere a memoria insieme a 30 e 60. Un angolo di 135 gradi sta 45 gradi oltre l'asse verticale, quindi il suo angolo di riferimento è 45 e seno e coseno hanno lo stesso valore assoluto — radice di due fratto due — con il seno positivo e il coseno negativo. Nota la forma dei due passaggi: il ripiegamento è ciò che porta l'angolo nella seconda metà del cerchio, e la distanza è ciò che lo porta fino all'asse. Servono entrambi per qualunque angolo del secondo, terzo o quarto quadrante.

3. Un angolo di 100,25 gradi

   1. Avvolgimento: 100,25 mod 360 = 100,25
   2. Ripiegamento: non supera 180, quindi resta 100,25
   3. Distanza dall'asse più vicino: 180 − 100,25 = 79,75

   La riga che giustifica i due decimali. Un angolo di un quarto di grado oltre 100 dà un angolo di riferimento che sta un quarto di grado sotto 80, e una pagina che arrotondasse le risposte ai gradi interi stamperebbe 80 sbagliando di un quarto di grado. Angoli di questo ordine sono normali nel rilievo topografico e in astronomia, dove si misurano in primi d'arco invece che in gradi interi, e 79,75 è il tipo di risposta che deve sopravvivere intatta al passaggio attraverso la pagina.

4. Un angolo di 180 gradi

   1. Avvolgimento: 180 mod 360 = 180
   2. Ripiegamento: 360 − 180 = 180
   3. Distanza dall'asse più vicino: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

   Il caso che coglie in fallo, e la ragione per cui l'ultimo passaggio è scritto come una distanza e non come un angolo di cui si ruota. Un angolo di riferimento misura quanto il lato terminale dista dall'asse orizzontale, e a 180 gradi il lato terminale giace proprio su quell'asse: la distanza è zero. La risposta è 0 e non 180, e questo angolo non appartiene a nessun quadrante: la tabella lo stampa come su un asse invece di archiviarlo nel secondo o nel terzo quadrante, che sarebbero entrambi sbagliati.

5. Un angolo di meno 45 gradi

   1. Avvolgimento: −45 diventa −45 + 360 = 315
   2. Ripiegamento: 315 è più di 180, quindi 360 − 315 = 45
   3. Distanza dall'asse più vicino: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

   Un angolo negativo, misurato in senso orario a partire dall'asse orizzontale, e la riga che mostra il passaggio di avvolgimento mentre si guadagna lo stipendio: meno 45 ha lo stesso lato terminale di 315 gradi, che sta nel quarto quadrante, e il suo angolo di riferimento è 45, lo stesso del 45 positivo. Angoli orari e antiorari della stessa ampiezza condividono l'angolo di riferimento e differiscono solo nel quadrante, che è esattamente la divisione del lavoro fra le due colonne della tabella qui sotto.

La pagina lavora in gradi, e gli angoli di riferimento che stampa sono in gradi; i radianti non sono accettati nella casella e non vengono stampati, quindi un angolo dato in radianti va convertito prima, moltiplicando per 180 e dividendo per pi greco. La risposta sta sempre fra 0 e 90 inclusi, il che significa che due angoli molto diversi possono condividerla: 30, 150, 210 e 330 hanno tutti angolo di riferimento 30, e il solo angolo di riferimento non può dirti da quale dei quattro sei partito. Per quello serve il quadrante, che la pagina dà nella tabella ma non stampa nel pannello dei risultati, perché un quadrante non ha nulla di meglio o di peggio e i badge di questo sito significano qualcosa quando compaiono. I quattro angoli che stanno esattamente su un asse — 0, 90, 180 e 270, con i loro negativi e i loro multipli — non hanno alcun quadrante, e la pagina lo dice invece di assegnarli a quello più vicino; chi ha bisogno di raggrupparli con un quadrante deve decidere quale convenzione usi il suo libro di testo. La casella dell'angolo accetta qualunque valore fino a un milione di gradi in entrambe le direzioni, molto oltre qualsiasi uso reale, ma i giri interi in eccesso vengono scartati, quindi la pagina non è uno strumento per contare i giri. Il risultato ha una larghezza di due decimali, non è una dichiarazione di precisione: è la larghezza giusta per un angolo misurato al quarto o al centesimo di grado, e troppo generosa per uno misurato al grado. La pagina non calcola le funzioni trigonometriche: dà l'angolo di riferimento e, nella tabella, il quadrante, che sono i due ingredienti, ma il valore effettivo di seno, coseno o tangente è un passaggio separato che la pagina non compie. Non ha nulla da dire nemmeno sugli angoli nello spazio a tre dimensioni, sulle coordinate sferiche o sulle rotazioni che non avvengono intorno a un asse fisso di un piano, tutti casi che usano idee imparentate ma non questa.

Come trovo l'angolo di riferimento di un angolo nel terzo quadrante?

Sottrai 180. Un angolo di 210 gradi, nel terzo quadrante, ha angolo di riferimento 30; uno di 240 ha 60; uno di 225 ha 45. La regola generale per tutto il cerchio è: sottrai 180 agli angoli fra 180 e 270, sottrai l'angolo da 360 per quelli fra 270 e 360, sottrailo da 180 nel secondo quadrante e prendilo così com'è nel primo. Questa pagina applica tutte e quattro le regole attraverso un'unica espressione, ed è per questo che gestisce anche i casi sull'asse su cui le quattro regole sbagliano.

Perché l'angolo di riferimento di 180 gradi non è 180?

Perché un angolo di riferimento è una distanza, non una rotazione. Misura quanto il lato terminale dista dall'asse orizzontale, e a 180 gradi il lato terminale giace su quell'asse: la distanza è zero. Lo stesso ragionamento dà 90 sia per 90 sia per 270 gradi, dato che quei due lati terminali stanno sull'asse verticale e distano quindi 90 gradi da quello orizzontale. Tutti e quattro quegli angoli stanno su un asse e non appartengono a nessun quadrante, e la tabella di questa pagina lo stampa invece di archiviarli sotto il più vicino.

L'angolo di riferimento può essere negativo?

No. La risposta sta sempre fra 0 e 90 gradi inclusi, qualunque cosa entri. Un angolo negativo non viene rifiutato: meno 45 gradi si misura in senso orario dall'asse orizzontale, che è lo stesso lato terminale di 315 gradi, e il suo angolo di riferimento è 45. Angoli orari e antiorari della stessa ampiezza condividono l'angolo di riferimento e differiscono solo nel quadrante in cui finiscono.

Quali angoli di riferimento vale la pena imparare a memoria?

Tre: 30, 45 e 60. Ogni angolo su cui un libro di testo ti interroga si riduce a uno di loro — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315 e 330 si riconducono tutti a uno dei tre — e il resto del lavoro è scegliere il segno dal quadrante. È tutta qui la riduzione che rende utile l'angolo di riferimento: gli angoli sono infiniti, ma quelli di cui ti serve conoscere i valori trigonometrici sono una manciata.

Qual è la differenza fra angolo di riferimento e angolo coterminale?

Un angolo coterminale è un altro angolo che finisce nello stesso posto: 400 gradi e 40 gradi hanno lo stesso lato terminale, e la calcolatrice degli angoli coterminali è la pagina che se ne occupa. L'angolo di riferimento è invece quanto quel lato terminale dista dall'asse orizzontale più vicino, sempre fra 0 e 90. Prendono lo stesso dato e rispondono a domande diverse, e un problema di trigonometria di solito li vuole entrambi: il lato terminale localizzato, e la sua distanza dall'asse.

Un angolo di meno 45 ha lo stesso angolo di riferimento di 45?

Sì, entrambi sono 45. I due angoli sono l'uno l'immagine speculare dell'altro rispetto all'asse orizzontale, quindi distano da esso la stessa quantità, e differiscono solo nel lato dell'asse su cui si trovano: 45 gradi sta nel primo quadrante e meno 45, cioè 315, sta nel quarto. È per questo che la risposta a una domanda sull'angolo di riferimento non basta mai da sola a identificare l'angolo da cui sei partito.

• Reference angle — the acute angle between the terminal side of an angle and the horizontal axis, which is the quantity this page computes, with the quadrant-by-quadrant values and the axis cases — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric functions — the sine, cosine and tangent whose values are recovered from a reference angle together with the sign given by the quadrant, which is what makes the reference angle useful — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit circle — the picture this page's arithmetic is really about, in which the terminal side meets a circle of radius one and the reference angle is the distance from that meeting point to the nearest axis — Wolfram MathWorld (United States)